高三理科数学培养讲义：第2部分 专题3 第6讲 统计与统计案例

1、PAGE23第6讲统计与统计案例高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：变量的相关性及回归分析2022全国卷T18；2022全国卷T18；2022全国卷T19；2022全国卷T19分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：试题背景新颖且信息量大，主要考查学生的数学建模思想以及对数据的提取、分析及应用概率统计知识解决实际问题的能力，难度较大，得分不高题型2：独立性检验2022全国卷T18；2022全国卷T18题型3：概率与统计的综合问题2022全国卷T18；2022全国卷T18；2022全国卷T18题型1变量的相关性及回归分析核心知识储备1变量的相关性1正相关：在散点图中，点散布在从左下角到

2、右上角的区域2负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域3相关系数r：当r0时，两变量正相关；当r0时，两变量负相关；当|r|1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|1且|r|越接近于0，相关程度越低2线性回归方程方程eqoy,suC直线l的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l上D在给定范围内，随着年龄增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故A项正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145cm，故B项正确；根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年

3、平均身高每年的增量，故C项正确；各取一人具有随机性，根据数据作出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故D项错误题型2独立性检验核心知识储备独立性检验的步骤1根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界，然后查临界值表确定临界值02利用公式K2eqfnadbc2,abcdacbd计算随机变量K2的观测值3如果0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”高考考法示例【例2】2022全国卷某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生

4、产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间单位：min绘制了如图2313所示的茎叶图：图23131根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高并说明理由；2求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式3根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异附：K2eqfnadbc2,abcdacbd，解1第二种生产方式的效率更高理由如下：由茎叶图可知

5、：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟因此第二种生产方式的效率更高由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种

6、生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高2由茎叶图知meqf7981,280列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式5152由于K2eqf401515552,2020202010，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异方法归纳独立性检验的方法步骤1根据数据列出22列联表；2根据公式计算K2找观测值；3比较观测值与临界值表中相应的检验水平，作出统计判断对点即

7、时训练某省召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方面力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在20,40内的产品视为合格品，否则为不合格品如图2314是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表设备改造前样本的频率分布直方图图2314表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值15,2020,2525,3030,3535,4040,45频数43696283241完成下面的22列联表，并判断是否有99%

8、的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计2根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；3企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在20,25或30,35内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X单位：元，求X的分布列和数学期望附：

9、PK200K2eqfnadbc2,abcdacbd解1根据图和表得到22列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将22列联表中的数据代入公式计算得：K2eqfnadbc2,abcdacbdeqf4001728281922,20020036436，有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关2根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为eqf172,200eqf43,50，设备改造后产品为合格品的概率约为eqf192,200eqf24,25；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优3由表知：一等品的频率

10、为eqf1,2，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为eqf1,2；二等品的频率为eqf1,3，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为eqf1,3；三等品的频率为eqf1,6，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为eqf1,6由已知得：随机变量X的取值为：240,300,360,420,480PX240eqf1,6eqf1,6eqf1,36，PX300Ceqoal1,2eqf1,3eqf1,6eqf1,9，PX360Ceqoal1,2eqf1,2eqf1,6eqf1,3eqf1,3eqf5,18，PX420Ceqoal1,2eqf1,2eqf1,3eqf1,3，PX480eqf1,2eq

11、f1,2eqf1,4随机变量X的分布列为：X240300360420480Peqf1,36eqf1,9eqf5,18eqf1,3eqf1,4EX240eqf1,36300eqf1,9360eqf5,18420eqf1,3480eqf1,4400题型3概率与统计的综合问题核心知识储备1统计中的数字特征1平均数：eqtoeqf1,n12n；2方差：s2eqf1,n1eqto22eqto2neqto23标准差：seqrf1,n1to22to2nto22直方图的三个结论1最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；2中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；3平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形

12、的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和高考考法示例【例3】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元1请将两家公司各一名推销员的日工资y单位：元分别表示为日销售件数n的函数关系式；2从两家公司各随机抽取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图：图2315若将该频率视为概率，请回答下列问题：记乙公司一名员工的日工资为X单位：元，求X的分布列和数学期望；某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利

13、用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由解1由题意得，甲公司一名推销员的日工资y单位：元与销售件数n的函数关系式为：y80n，nN*，乙公司一位推销员的日工资y单位：元与销售件数n的函数关系式为：yeqblcrcavs4alco1120n45，nN*，,8n240n45，nN*2记乙公司一名员工的日工资为X单位：元，由条形图得X的可能取值为120,128,144,160，PX120eqf1010,100，PX128eqf30,100，PX144eqf40,100，PX160eqf10,100，所以X的分布列为：X120128144160PX的数学期望EX120128144160136元由条形

14、图知，甲公司一名员工的日均销售量为424446485045件，甲公司一名员工的日均工资为125元由知乙公司一名员工的日均工资为136元故应该应聘乙公司方法归纳解决概率与统计综合问题的一般步骤对点即时训练某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如图2316：图23161通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值eqto甲与eqto乙及方差seqoal2,甲与seqoal2,乙的大小；只需写出结论2根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：学业成绩低于70分70分到89分不低于90分学业水平一般良好优秀根据所给数据，频率可以视为

15、相应的概率从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C：“抽到的甲班学生的学业水平高于乙班学生的学业水平等级”，求C发生的概率；从甲班中随机抽取2人，记X为学业水平优秀的人数，求X的分布列和数学期望解1由茎叶图能得到eqto甲eqto乙，seqoal2,甲seqoal2,乙2记A1，A2，A3分别表示事件：甲班学生学业水平成绩为一般，良好，优秀；记B1，B2，B3分别表示事件：乙班学生学业水平成绩为一般，良好，优秀；则PCPA2B1A3B1A3B2PA2B1PA3B1PA3B2PA2PB1PA3PB1PA3PB2eqf12,20eqf9,20eqf5,20eqf9,20eqf5,20eqf9,20e

16、qf99,200从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为eqf1,4，所以，随机变量X的所有可能取值为0,1,2，且XBeqblcrcavs4alco12，f1,4PX0Ceqoal0,2eqblcrcavs4alco1f3,4eqsup72eqf9,16，PX1Ceqoal1,2eqf1,4eqf3,4eqf3,8，PX2Ceqoal2,2eqblcrcavs4alco1f1,4eqsup72eqf1,16随机变量X的分布列是：X012Peqf9,16eqf3,8eqf1,16数学期望EX2eqf1,4eqf1,2高考真题12022全国卷如图2317是某地区2000年至2022年环境基础设

17、施投资额y单位：亿元的折线图图2317为了预测该地区2022年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2022年的数据时间变量t的值依次为1,2，17建立模型：eqoy,sup7；根据2022年至2022年的数据时间变量t的值依次为1,2，7建立模型：eqoy,sup7991分别利用这两个模型，求该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值；2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由解1利用模型，该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为eqoy,sup719亿元利用模型，该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为eqoy,sup7999亿元2利

18、用模型得到的预测值更可靠理由如下：从折线图可以看出，2000年至2022年的数据对应的点没有随机散布在直线y上下，这说明利用2000年至2022年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2022年相对2022年的环境基础设施投资额有明显增加，2022年至2022年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2022年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2022年至2022年的数据建立的线性模型eqoy,sup799可以较好地描述2022年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠从计算结果看，相对于2022年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠最新模拟22022郑州模拟为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如图2318所示的等高条形图，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是图2318A药物B的预防效果优于药物A的预防效果B药物A的预防效果优于药物B的预防效果C药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D药物A，B对该疾病均没有预防效果B本题考查条