(新高考)高考数学一轮复习第17讲《导数的应用-利用导数证明不等式》达标检测(解析版)

1、导数的应用利用导数证明不等式达标检测A组应知应会1(河南豫南九校联考)设定义在(0，)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1，则()Af(2)f(1)ln 2Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)eq f(1,x)(ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，则F(x)在(0，)上单调递增，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.2（定海区校级模拟）若0 x1x2ln x2ln x1Be x2e x1x1ex2Dx2ex1x1ex2【解析】选C.令f(x)eq f(ex,x)，则f(x)eq f(xexex,x2)eq f(e

2、x（x1）,x2).当0 x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0 x1x21，所以f(x2)f(x1)，即eq f(ex2,x2)x1ex2，故选C.3（春宁波期末）已知函数f(x)aexln x1.(e2.718 28是自然对数的底数)(1)设x2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当aeq f(1,e)时，f(x)0.【解】 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexeq f(1,x).由题设知，f(2)0，所以aeq f(1,2e2).从而f(x)eq f(1,2e2)exln x1，f(x)eq f(1,2e2)exeq

3、 f(1,x).当0 x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当aeq f(1,e)时，f(x)eq f(ex,e)ln x1.设g(x)eq f(ex,e)ln x1，则g(x)eq f(ex,e)eq f(1,x).当0 x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当aeq f(1,e)时，f(x)0.4(武汉调研)已知函数f(x)ln xeq f(a,x)，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x)eq f(2a1,a).【解】(1)f(x)eq

4、 f(1,x)eq f(a,x2)eq f(xa,x2)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上单调递增；若0 xa，则f(x)0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)eq f(2a1,a)，只需证ln a1eq f(2a1,a)，即证ln aeq f(1,a)10.令函数g(a)ln aeq f(1,a)1，则g(a)eq f(1,a)eq f(1,a2)eq f(a1,a2)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(a)ming(1)

5、0.所以ln aeq f(1,a)10恒成立，所以f(x)eq f(2a1,a).5(广东茂名一模)已知函数f(x)eq f(aex1,x)(aR)的图象在x2处的切线斜率为eq f(e,2).(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)exln xf(x)，证明：g(x)1.【解】(1)由f(x)eq f(aex1（x1）,x2)，得切线斜率kf(2)aeeq f(21,22)eq f(e,2)，解得a2.所以f(x)eq f(2ex1,x)，其定义域为(，0)(0，)，且f(x)2ex1eq f(x1,x2).令f(x)0，解得x1，故f(x)在区间(1，)上单调递增；

6、令f(x)0，解得x1，即exln xeq f(2ex1,x)1等价于xln xeq f(x,ex)eq f(2,e).设h(x)xln x(x0)，则h(x)ln x1.因为heq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)lneq f(1,e)10，所以当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,e)时，h(x)0.故h(x)在区间eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,e)上单调递减，在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)，)上单调递增，所以h(x)在(0，)上的最小值为heq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)eq

7、f(1,e).设m(x)eq f(x,ex)eq f(2,e)(x0)，则m(x)eq f(1x,ex).所以当x(0，1)时，m(x)0；当x(1，)时，m(x)m(x)成立，即g(x)1.B组强基必备1（济宁期末）已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)求证：当0 x11eq f(x2,x1).【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)ln xex，所以f(x)eq f(,x)exeq f(xex,x)，因为函数f(x)是单调函数，所以f(x)0或f(x)0在(0，)上恒成立，当函数f(x)是单调递减函数时，f(x)0，所以eq

8、f(xex,x)0，即xex0，xexeq f(x,ex).令(x)eq f(x,ex)，则(x)eq f(x1,ex)，当0 x1时，(x)1时，(x)0，则(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x0时，(x)min(1)eq f(1,e)，所以eq f(1,e).当函数f(x)是单调递增函数时，f(x)0，所以eq f(xex,x)0，即xex0，xexeq f(x,ex)，由得(x)eq f(x,ex)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又(0)0，x时，(x)0，所以0.综上，的取值范围为eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,e)0，)(2)证明：由(1)可知，当eq f(1,e)时，f(x)eq f(1,e)ln xex在(0，)上单调递减，因为0 x1f(x2)，即eq f(1,e)ln x1ex1eq f(1,e)ln x2ex2，所以e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11eq f(x2,x1)，只需证ln x1ln x21eq f(x2,x1)，即证lneq f(x1,x2)1eq f(x