2021年福建省福州市闽侯荆溪中学高三数学理联考试题含解析

2021年福建省福州市闽侯荆溪中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为(

)A.

B.

C.

D.2参考答案：B2.下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．3.已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z对应的点在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由足zi=2+i，得z==1﹣2i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（1，﹣2），∴z对应的点在复平面的第四象限．故选：D．4.若某程序框图如图所示，则输出的的值是(

)A.22

B.27

C.31

D.56参考答案：C5.三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为(

)A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不存在参考答案：C6.程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入

A.B．

C．D．参考答案：A略7.函数（）（其中）的图象如图所示，为了得到sin的图象，可以将的图象

A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度参考答案：A略8.已知向量，若共线，则m的值为A. B.2 C. D.参考答案：D略9.若，则直线必不经过()A．第一象限B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B10.已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式给定，若为D上任一点，点A的坐标为，则的最大值为

（

）

A．3 B．4 C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、、、四点在半径为的球面上，且，，则三棱锥的体积是

．参考答案：8略12.已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为____________．参考答案：略13.13．设，，则的值是____________．参考答案：14.在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起。假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为

参考答案：

0.967615.设函数，则“为奇函数”是“”的

条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）参考答案：略16.平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：

①m，使曲线E过坐标原点；

②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN

的面积不大于m。

其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）参考答案：①④⑤【知识点】命题的真假判断与应用；轨迹方程．A2解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||?||=m（m≥4），∴?=m①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．故答案为：①④⑤．【思路点拨】利用平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||?||=m（m≥4），可得?=m，对选项进行分析，即可得出结论．17.已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m=

；x1234y0.11.8m4参考答案：3.1【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意，=2.5，代入线性回归方程为=1.3x﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故答案为3.1．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，（）.（1）讨论函数在上零点的个数；（2）若有两个不同的零点，，求证：.（参考数据：e取2.8，ln2取0.7，取1.4）参考答案：解：（1）由题得，，（）当时，单调递增；当时，单调递减.∴当时，①当即时无零点，故在上无零点.②即时，由单调性可知在上有唯一零点为.③即时，由于，（ⅰ）若即显然由单调性可知在上有两个零点.（ⅱ）即，由单调性可知在上只有一个零点.综上，当时，在上无零点；当或时，在上有唯一零点；当时，在上有两个零点.（2）由题知，，两式相加得，两式相减得即∴即不妨设，，令（），则∴在上单调递增，则，∴即∴又∴，即令，∴，∴在上单调递增，又∴，即.19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值．

参考答案：∴＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则略20.【选修4－1：几何选讲】在中，，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。（1）求证：；（2）若AC=3，求的值。参考答案：(Ⅰ)证明：， ～， 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(Ⅱ)解：～， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

略21.随着科学技术的飞速发展，网络也已逐渐融入了人们的日常生活。网购作为一种新的消费途径，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2014年，“”表示2015年，依次类推：y表示人数）：x12345y（万人）2050100150180

（Ⅰ）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万；（Ⅱ）该公司为了吸引网购者，特别推出两种促销方案：【方案一】金额每满600元，可减50元；【方案二】金额超过600元，可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖3的结果互不影响.中奖一次打9折，中奖二次打8折，中奖三次打7折.①某网购者打算买1000元的产品，应选择哪一种方案？②有甲乙两位网购者都买了超过600元的产品，且都选择了方案二，求至少有一位网购者中奖的概率.附：在线性回归方程中，.参考答案：（Ⅰ），预计到年该公司的网购人数能超过万；（Ⅱ）①应选择方案二；②【分析】（Ⅰ）根据最小二乘法计算可得回归直线方程，利用可解得，从而确定年份；（Ⅱ）①计算出方案一需付款金额；根据二项分布计算出方案二的数学期望，得到平均付款金额后与方案一的金额比较，选择金额较少的方案；②计算出甲乙均未中奖的概率，根据对立事件概率公式求得结果.【详解】（Ⅰ）（1）由表中数据可知：，，，，线性回归方程：令

预计到年该公司的网购人数能超过万（Ⅱ）①选择方案一：需付款：（元）选择方案二：设所需付款元，则元则；；；元

应该选择方案二②设网购者未中奖的事件为，则甲乙均未中奖的概率为故甲乙至少有一位中奖的概率为：从而甲乙两位网购者至少有一位选择方案二的概率为：【点睛】本题考查回归直线的求解以及利用回归直线求解预估值、二项分布的概率分布和数学期望的计算、对立事件概率公式的应用，属于常考题型.22.（本小题满分12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大．2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：）