概率论与数理统计0-随机变量的数学期望

第三章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数,.但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,.,在评价某地区粮食产量的水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量;,在评价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,,平均长度较大,,则质量就较好.,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括:数学期望、方差、相关系数、矩.第一节随机变量的数学期望内容要点：平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物、作出决策等具有重要作用.X2,1,p,i{PX.xpE(X),则定义的数学期望(均值)pxX设是连续型随机变量,,)xf(Xxf(x)dx.(EX),X,为一实函数,则也是一随机变量,理论上,)Y,再按定义求出的数学期望.但这种求法一般比较复杂.地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.1,,,则)(XYg)E(YX（1）若为离散型随机变量,为X2,,,p}xXP{则．ii.g(x))E[g(X)],其概率密度为,ii1i2）.(x))](Xdxg(x)fE(Y).,不必知道的分布,:(i)求时,,,,2)Z1,),2,p(i,jZ,pg(x,y)[E(Z)Eg(X,Y)]ijij1,其概率密度为则（2）.)dx)f)],Y(x,yg(x,yE(Z),则设2);X);XX)E(E(XX);,则YX,)YX)E(E(XY)中，已计算得不一定能推出:(i)注Y,X)YE(X)(E(XY))E(X)E(YE(XY)}P{Y0},0}0,P{X1}{Y0P{X1}PYP{X1,不，这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形例题选讲：XX,,,所得分数分别记为,它们的分布律分别为讲义例例1甲012XX012,1.00p.308p.0020..6试评定他们的成绩的好坏.2121ii我们来计算的数学期望,(分解).88.1.0220100)XXE(.,那么,11,)..5(20.10E(X)00.610.3.乙的成绩远不如甲的成绩很明显,2某种产品的每件表面上的疵点数服从参数,2(80.;8元;个为二等品,1,求4.点数超过;.产品价值的平均值0.代表每件产品上的疵点数,.0.8X4k80.0k..00141101{X4}1P{X:,设代表产品的价值}4{X4}PPP{X1}P{1}4P{1P{X8E(Y)10}40P{X8.8.000e10e8).(14kk80.80.20kk但到站的之间都恰有一辆客车到站,和例3.,,求他候车时间的数学期望.解(以分计).pi,AP{X70}P(,AB)P(A)P(B)为.,)..22(27E(X)105070900,x0F(x)x/4,03)(4例X求).XE(1,x4,01/,F)(xf()X0,.dx2E(X)4248400记使用寿命为某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.例5(:),(;1500元一台付款X,2;1X一台付款2000元;2500元3,一台付款2X,3X一台付款3000元.X10xe,fx,10x/10,00.xY.即有先求出寿命落在各个时间区间的概率,解X11,.0952edx11}1,.08610eeedxXP{1,XP{3}.e7408010.x/10022.00.1x/101,07790.eedxe}P{2X311330.0.2/x1023100.x/3.k即平均一台收费元得,.15)7且例6X~f(,x),E(X),0.120b,1其,求a1,1b)dxax(2x(axdx(x)b)dxxf),010,1a.2/1b2xx,,)f(F(x)tdttdt102220x0,1所02.1021,)2k1,X(,,72k.0)f(x,N,0x0.10/x)2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(01e)F(x,/x解)21,X(k,0x00,xe1(x)]1[1F,F(x)k/2x2为},X0,x02ex0,F)f,(x(x)N/2x,00x22xN.dxeE(N)xf(x)dxmin0/2x:8(设例32Y01X010003求).(XYY),EE(X),E(解.为3E(X)13102(EY)88882331E(X0(30)1)08881(330)328./X,例9(.X)]XE(E[解22机变量函数数学期望的计算公式,有1xf(x)dx(EX)2sin(x)E(sinX)(cosx)|dxsin,xf001x(E(X)x),dx302221dxE[XE(X)].02222222120例)X,Y(31x,,x1,23,xy)f(.0,1.E(Y),EXYdydx),yyfE(Y)(x解3dydx3x3x/11x2xx1x33ln3dx.32224xx11xdydxE)x,yf(.dydx34x11/单位设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量例3它服从区间上的均匀分布,每销售出一吨商品,),,问应组织多少货源若销售不出,)是单位解设组织货源吨,显然应要求国家收益(t,t40002000XYt.表),g(XYt,X4X4000x2000,2000/1)(,xf则为其他,014000dxxdxxfxg)E(Y()()200020002000t2000t40003(4xt)).108(2t14000t62吨商品为好达到最大考虑的取值使,.2222.例)](X)X)][E(XE(E[XE)E(X),E(X222证,)]E(XE(X)E[X(X)]}2XE(XX)[E(XE[XE(X)])]E{2222E()])E)2E(XE(X)[(X)]XE([)222例求解因.),pX~b(n,nX1,i次试验成功,则X,2,,n)(i1,XXX0,iin12,p)(1pE(X)1pP{X1}p,P{X0}1p,0iiin所以.npE(X(EX))i,例(位旅客自机场开出,个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求(,并设各旅客是否下车相互独立).0,i解,10.,i1,2,1,i站没有人下车易i知.X1012,,)/101(