《正整数指数函数》-完整版课件

第三章指数函数和对数函数

正整数指数函数知识点一正整数指数函数的运算性质

在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题：问题1：计算32·33的值．提示：32·33＝35＝243.问题2：计算(23)2和(22)3的值．提示：(23)2＝82＝64，(22)3＝43＝64.问题3：计算35÷32的值．提示：35÷32＝33＝27.

若a>0，b>0，对于任意正整数m，n，指数运算有以下性质：(1)am·an＝

；(2)(am)n＝

＝

；(3)(a·b)n＝

；am＋nam·n(an)man·bnam－n1一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%.

问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？提示：1＋20%＝1.2(倍)．

问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的函数关系式是什么？提示：y＝a×1.2x.知识点二正整数指数函数函数

(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.y＝ax1．正整数指数幂的运算性质是学习指数函数的基础，在使用时，注意(ab)n与anam等的含义，才能正确地运算．

2．正整数指数函数是形式定义，与幂函数的定义既有联系又有区别．虽都具有幂的形式，但指数函数的底数为常数，指数是自变量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)这种形式的函数才是正整数指数函数．考点一正整数指数幂的运算1．下列各式运算错误的是 (

)A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18解析：A中，原式＝a7b8；B中，原式＝a3b3；C中，

原式＝－a6b6；D中，原式＝－a18b18.答案：C2．计算：(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．解：原式＝[2×(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋5＝4a6b－1.考点二正整数指数函数的图像和性质[一点通]

正整数指数函数的图像特点：(1)正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．(2)当0<a<1时，y＝ax(x∈N＋)是减函数．当a>1时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．答案：C[例3]

(12分)某林区2011年木材蓄积200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？[思路点拨]根据增长率为5%，可分别列出经过1年、2年的木材蓄积量，然后列出y＝f(x)的表达式，第(2)问可根据正整数指数函数的图像来求．考点三

正整数指数函数的应用(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像见下图，x0123…y200210220.5231.5…

作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万m3时)所经过的时间x年的值,因为8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)．即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3.

[一点通]

1.人口、工地、复利、环境、细胞分裂等方面的问题是近几年高考的热点，应特别关注，涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，α为变化率，x为自变量，x∈N＋，y为x年变化后的函数值；2.作函数的图像应先列表再作出图像，从左向右看，若图像上升，则函数是增函数；若图像下降，则函数是减函数，其实可总结出当a>0，α>0时，y＝a(1＋α)x是增函数．5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2007年

某地区农民人均收入为3150元(其中工资收入为1800元，

其他收入为1350元)，预计该地区自2008年起的5年内，

农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收

入每年增加160元．根据以上数据，2012年该地区农民

人均收入介于 (

)A．4200元～4400元 B．4400元～4600元C．4600元～4800元 D．4800元～5000元解析：设自2008年起的第n年农民的工资收入为y＝1800×(1＋6%)n.其他收入为y2＝1350＋160n，则第n年的收入y＝y1＋y2＝1800×(1＋6%)n＋1350＋160n，所以2012年农民人均收入为1800×(1＋6%)5＋1350＋160×5≈4558.8(元)．答案：B6．已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量

为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1000年后镭的质

量．(可以用计算器)解：镭原来质量为20克；100年后镭的质量为20×95.76%(克)；200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x(克)．∴y与x之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．∴经过1000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．1．正整数指数幂的运算应注意以下几点：(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；(3)要注意运算律的逆用，如amn＝(am)n＝(an)m；(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．2．形如y