高考数学热点《三角函数与解三角形》练习

热点05三角函数与解三角形热点05三角函数与解三角形从新高考的考查情况来看，三角函数与解三角形重点是：①以三角函数的定义，同角三角函数的基本关系和诱导公式作为工具考查三角恒等变形；②三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现；③主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变形等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题．1、从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反三、触类旁通。2、三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β，eq\f(α,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,4)))等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。3、利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。4、解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。热点1、三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y＝sinx，y＝cosx的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．热点2、三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．热点3、解三角形新高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理、面积公式，常中线、周长、面积、实际问题等来命题．A卷（建议用时60分钟）一、单选题1．（2021·广东·模拟预测）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，据这些信息，可得（）A． B． C． D．2．（2021·山东省青岛第五十八中学高三期中）如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则的值是（）A． B． C． D．3．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）已知，且，则等于（）A． B． C． D．4．（2021·江苏盐城·高三期中）已知，，则（）A． B． C． D．5．（2021·江苏泰州·高三期中）的值为（）A．1 B． C． D．26．（2021·江苏南通·模拟预测）函数在上的零点个数为（）A． B． C． D．7．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，下面结论错误的是（）A．在区间上单调递减B．是函数图象的一个对称中心C．在上的值域为D．图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象8．（2021·山东淄博·一模）已知在区间上的最大值是，则实数的最小值是（）A． B． C． D．9．（2021·山东·模拟预测）已知函数(，)的部分图像如图所示，则函数的单调递减区间为（）A．()B．()C．()D．()10．（2021·江苏泰州·高三期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边长c的值为（）A． B． C． D．11．（2021·广东河源·模拟预测）的内角的对边分别为.已知，则（）A． B． C． D．12．（2021·山东菏泽·高三期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）.A．2 B．3 C．5 D．1013．（2021·山东聊城·高三期中）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（）A．1 B． C． D．二、多选题14．（2021·河北衡水中学模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（）A． B．2 C．3 D．415．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．B．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象C．的图象关于直线对称D．若，则16．（2021·福建师大附中高三期中）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（）A．则为等边三角形；B．已知，则；C．已知，，，则最小内角的度数为；D．在，，，解三角形有两解．17．（2022·全国·高三专题练习）已知､，，则（）A． B．C． D．三、填空题18．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，在中，为边上靠近的三等分点，，，，则=________，_______.19．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于__________．20．（2021·辽宁·高三期中）已知，若x1，x2，x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，若x1＋x2＋x3的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝_______．21．（2021·甘肃省武威第一中学高三阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，则b=___________.22．（2021·陕西·西安中学高三期中）函数的最大值为_________四、解答题23．（2021·河北邯郸·高三期末）已知中，内角的对边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.24．（2021·浙江·台州一中高三期中）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.25．（2021·福建龙岩·高三期中）在△ABC中，角的对边分别为，且.（1）求角C；（2）若，D为边BC的中点，△ABC的面积且，求AD的长度.26．（2021·四川·树德中学高三期中）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．（1）若，求的面积；（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．27．（2021·上海杨浦·一模）已知函数.（1）若，求函数在上的零点；（2）已知，函数，，求函数的值域.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知，均为锐角，且，则的最大值是（）A． B． C． D．2．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）A． B． C． D．3．（2021·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（）A． B． C． D．4．（2021·上海嘉定·一模）已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能为（）A． B． C． D．5．（2021·新疆高三期中）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（）A． B． C． D．6．（2021·江苏·金陵中学高三期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（）A． B． C． D．7．（2021·广东顺德·高三阶段练习）已知函数，且有，，则在区间内至少有（）个零点．A．4 B．8 C．10 D．128．（2021·山东师范大学附中高三期中）对于函数，下列结论正确的是（）A．是以为周期的函数 B．的减区间为C．的最大值为1 D．图象的对称轴为9．（2021·山东济南·一模）函数在上的图象如图所示，则的解析式可能是（）A．B．C．D．二、多选题10．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，下列结论正确的是（）A．的最小正周期为 B．为偶函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数的最小值为111．（2021·福建·三明一中高三期中）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、(垂足均不与重合).在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（）A．点到点的直线距离是一个定值B．新增步道的长度可以为C．新增步道、长度之和可以为D．当点为的中点时，草坪的面积为12．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数若存在实数，，，（）满足，则（）A．B．C．D．13．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（）A．若，则B．的最大值为C．D．角的最小值为14．（2021·全国·模拟预测）某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（）A．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米B．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米C．方案二中整个工程造价最低为万元D．两个方案中整个工程造价最高为万元三、填空题15．（2021·江苏南通·高三期中）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得点落在边上点处，得到折痕.已知，，则当___________时，折痕最短，其长度的最小值为_________cm.16．（2021·北京十四中高三期中）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值是______.四、解答题17．（2021·福建龙岩·高三期中）已知函数，最小正周期是，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围.18．（2021·山东·泰安一中模拟预测）在①的周长为6，②，③这三个条件中任选一个，补充在下画问题中.若问题中的三角形存在，判断的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且成等差数列，，___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（2021·山东·泰安一中模拟预测）设