2023学年辽宁铁岭市清河第二中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为A． B． C． D．2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．3．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④4．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列5．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．6．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．7．函数在的图像大致为A． B． C． D．8．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．10．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A． B． C． D．11．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．12．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.14．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______.15．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______.16．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，若，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围19．（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围.20．（12分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值；设的平分线与边交于点，已知，，求的值.22．（10分）等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）设，记为数列前项的和，若，求．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．【题目详解】解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴

设正方体的棱长为，则，∴．

取，连接，则共面，在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.

故选D．【答案点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．2、A【答案解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．【题目详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．则几何体的体积为．故选：．【答案点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．3、A【答案解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.【题目详解】由题意得：定义域为，，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；，，不是最值，③错误；令，当时，，，，此时与无交点；当时，，，，此时与无交点；综上所述：与无交点，④正确.故选：.【答案点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.4、D【答案解析】

由折线图逐项分析即可求解【题目详解】选项，显然正确；对于，，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D【答案点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题5、B【答案解析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【题目详解】由，所以其共轭复数.故选：B.【答案点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.6、D【答案解析】

，，得解．【题目详解】，，，所以，故选D【答案点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．7、B【答案解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【题目详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【答案点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．8、C【答案解析】

先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.【题目详解】由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，又有，综上得的取值范围是.故选：C【答案点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.9、B【答案解析】

列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.【题目详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，退出循环，输出的为.故选：B.【答案点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.10、A【答案解析】

详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。11、B【答案解析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【题目详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【答案点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．12、B【答案解析】

由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可【题目详解】因为，又依题意知的值域为，所以得，，所以，令，得，则的图象的对称中心为.故选：B【答案点睛】本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【答案解析】

建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．【题目详解】解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，设，则，，，，，，，显然当取得最大值4时，取得最小值1．故答案为：1．【答案点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．14、【答案解析】

以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.【题目详解】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，，，设点，空间中的动点满足，，所以，整理得，，当，时，取最大值，所以，三棱锥的体积为.因此，三棱锥体积的最大值为.故答案为：.【答案点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15、18【答案解析】

将已知已知转化为的形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值.【题目详解】因为，所以.故填：.【答案点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.16、127【答案解析】

已知条件化简可化为,等式两边同时除以，则有，通过求解方程可解得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.【题目详解】由..故答案为:.【答案点睛】本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【答案解析】

（1）解法一：作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.【题目详解】（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，，，，，.（1）设平面的一个法向量为，则，令，则，.∴，又，∵，，又平面，平面.（2）设平面的一个法向量为，则，令，则，.∴.同理可算得平面的一个法向量为∴，又由图可知二面角的平面角为一个钝角，故二面角的余弦值为.【答案点睛】本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.18、（1）.（2）.【答案解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．试题解析：（1）不等式等价于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得实数的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．19、（1）；（2）.【答案解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后运用两角和的正弦公式算出；（2）化简，由余弦定理得，利用基本不等式求出，确定角范围，进而求出的取值范围.【题目详解】（1）由正弦定理，得：，且为锐角（2）【答案点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.20、（1）（2）【答案解析】

（1）当时，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集为．（2）由题可得，因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，所以，解得，当时，，函数的图象与轴没有交点，不符合题意；当时，，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意．综上，可得．21、；.【答案解析】

利用正弦定理化简求值即可；利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.【题目详解】解：，由正