石群自动控制原理(第7章)课件

第七章线性离散系统的分析与校正7-1离散系统的基本概念7-2信号的采样与保持7-3z变换理论7-4离散系统的数学模型7-5离散系统的稳定性与稳态误差7-6离散系统的动态性能分析7-7离散系统的数字校正7-8离散控制系统设计石群自动控制原理(第7章)课件17-1离散系统的基本概念连续系统：①系统中所有信号都是时间的连续函数。②信号在全部时间上都是已知的。离散(时间)系统①系统中至少一处信号是脉冲或数码。②那些信号只定义在离散时间上。采样/脉冲控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。数字/计算机控制系统系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。石群自动控制原理(第7章)课件21.采样控制系统采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值，而无法获取瞬时之间的信息。

①周期采样：采样时间间隔具有规律性。

等周期采样：采样时间间隔两两相等。

②非周期/随机采样：采样时间间隔是时变的、随机的。假定：本章仅讨论等周期采样，如果系统中有几个采样器，则它们是同步等周期的。1.采样控制系统3例7-1(P305)例7-1(P305)4T为采样周期，τ为采样持续时间。炉温采样控制，当检流计指针与电位器接触时，电机才在采样信号作用下调节炉温。这种采样控制下，电机时转时停，若再采用较大开环增益，不仅利于系统稳定，还能抑制响应超调。T为采样周期，τ为采样持续时间。5通常，测量元件、执行元件、被控对象是模拟元件，其输入和输出是连续信号，即时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号。

脉冲元件的输入和输出是脉冲序列，即时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号。采样器保持器连续信号脉冲序列通常，测量元件、执行元件、被控对象是模拟元件，采样器6采样系统：采样器和保持器是特殊环节。⑴信号采样和复现①采样：连续信号转变为脉冲信号。②采样器，例如采样开关。③T是采样周期，fs=1/T是采样频率。④采样角频率：ωs=2π/T=2πfs，单位是rad/s⑤采样持续时间τ<<T，τ<<max{连续部分的时间常数}，通常认为τ趋近于0。⑥矩形面积等于强度采样系统：采样器和保持器是特殊环节。7⑦复现：脉冲信号转变为连续信号。⑧复现装置，又称为保持器。⑨采样器输出脉冲信号，其高频分量相当于连续部分的噪声。因此，采样器后面串联信号复现滤波器，可由保持器实现。采样频率足够高时，接近于连续信号。⑦复现：脉冲信号转变为连续信号。8⑵采样系统的典型结构图①开环采样系统：采样器位于闭合回路之外，或者系统无闭合回路。②闭环采样系统：采样器位于闭合回路之内。③典型结构图：⑵采样系统的典型结构图9④线性采样系统：采样开关的输出与输入存在线性关系，且系统其余部分的传递函数都具有线性特性。2.数字控制系统

①以数字计算机为控制器。②包括离散工作的计算机和连续工作的被控对象。③闭环控制系统。④线性采样系统：10石群自动控制原理(第7章)课件11

计算机作为系统的控制器，其输入和输出是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都离散的信号。

被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号。

连续-A/D-离散-D/A-连续Analog--Digital计算机作为系统的控制器，其输入和输出是二进制12请分析：采样信号与数字信号的区别和联系？区别采样：在离散时刻，采集连续的幅值。编码：即A/D过程，将采样值进行0、1编码。联系两者都是离散信号，且可以相互转化。解码：即D/A过程，将数码转换成连续信号。

模拟-采样-量化-数字-解码-复现-模拟请分析：采样信号与数字信号的区别和联系？13⑴A/D转换器①将连续模拟信号转换为离散数字信号的装置。②A/D转换包括采样和量化两个过程。③任何数值的离散信号必须表示成最小位二进制的整数倍，才能成为数字信号，才能进行运算。④数字计算机中信号在时间和幅值上都是断续的。⑤采样信号，例如记作，其数字信号记作。⑥A/D转换器若有足够的字长表示数码，或者称为精度高，即量化单位q足够小，则量化引起的幅值断续性可以忽略。⑦若采样编码是瞬间完成，并用理想脉冲等效代替数字信号，则数字信号可以看成脉冲信号，A/D转换器可用每隔T秒瞬时闭合一次的理想采样开关S来表示。⑴A/D转换器14石群自动控制原理(第7章)课件15⑵D/A转换器①将离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。②D/A转换包括解码和复现两个过程。离散数字--解码--离散模拟--复现(保持器)--连续模拟

采样频率足够高时，连续模拟趋近于真正连续。③计算机的输出寄存器和解码网络相当于信号保持器。

⑵D/A转换器16⑶数字控制系统的典型结构图假定：①A/D足够字长，量化单位q足够小，忽略幅值断续性。②采样编码过程是瞬时完成的。③可用理想脉冲幅值等效代替数字信号大小。④A/D可用周期T的理想开关代替。数字控制器(数字校正装置)表示每隔T输出数字量⑶数字控制系统的典型结构图数字控制器表示每隔T输出数字量173.离散控制系统的特点①数字计算机构成数字校正装置，软件实现控制规律，易于修改、控制灵活。②采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，提高系统抗干扰能力。③允许采用高灵敏度控制元件，提高控制精度。④可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率，经济性好。⑤对于传输延迟，甚至大延迟控制系统，可以引入采样的方式稳定。4.离散系统的研究方法数学基础：Z变换。3.离散控制系统的特点187-2信号的采样与保持1.采样过程①采样器，又称采样开关：把连续信号变换为脉冲序列。②采样过程：用一个周期性闭合的采样开关S表示。7-2信号的采样与保持19通常可认为，采样开关的闭合时间τ非常小，是ms、μs级的，远小于采样周期T和系统连续部分的最大时间常数。分析时，可认为τ=0，这样的采样器可用理想采样器来代替，且采样过程可看成是幅值调制过程。

c图所示为a图信号调制在b图载波上的结果。通常可认为，采样开关的闭合时间τ非常小，是ms、20石群自动控制原理(第7章)课件212.采样过程的数学描述⑴采样信号的拉氏变换不能给出连续函数在采样间隔之间的信息。求解的过程中，初始值通常规定采用。若是有理函数，则可表示成的有理函数形式。2.采样过程的数学描述22石群自动控制原理(第7章)课件23只要可表示s的有限次多项式之比，就可推导出的闭合形式。拉氏变换法研究离散系统，虽可得到的有理函数，但却是s的超越函数，不便分析和设计。z变换可以把离散系统的s超越方程变换为z的代数方程。只要可表示s的有限次多项式之比，就可推导出24⑵采样信号的频谱采样信号不包含采样间隔之间的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。研究采样信号的频谱，是为了找出和之间的联系。⑵采样信号的频谱25石群自动控制原理(第7章)课件26石群自动控制原理(第7章)课件273.香农采样定理如果采样器的输入信号具有有限带宽，并且有直到的频率分量，则使信号圆满地从采样信号中恢复过来的采样周期T，满足以下条件：

理想滤波器频率特性的幅值必须在处突然截止，则在理想滤波器输出端可准确得到的连续频谱，仅是幅值变为1/T倍，频谱形状没有畸变。

3.香农采样定理28石群自动控制原理(第7章)课件29控制工程实践中，总是取，不取等于的情况。4.采样周期的选取正常趋势：T越小、越大，获得控制信息越多，控制效果越好。①T过小：增加计算负担，控制规律复杂，无实际意义。②T过大：控制过程大误差，降低动态性能，稳定性差。控制工程实践中，总是取，不取等于的情30根据频域性能指标选T控制系统的闭环频率响应通常具有低通滤波特性，随动系统输入信号频率高于闭环谐振频率时，信号通过系统会很快衰减，可认为通过系统的控制信号的最高频率是。随动系统，认为开环系统的截止频率等于闭环系统的谐振频率。随动系统选取：根据时域性能指标选T基于单位阶跃响应，根据经验公式：

根据频域性能指标选T31石群自动控制原理(第7章)课件325.信号保持工程实践中，理想滤波器并不存在，只能用特性接近的低通滤波器代替，零阶保持器是常用的低通滤波器之一。把数字信号转换为连续信号的装置，称为保持器。⑴保持器的数学描述采样时刻上，连续信号的函数值等于脉冲序列的脉冲强度。保持器具有外推作用，表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。

多项式外推公式：由确定外推系数m表示保持器的阶数，工程实践普遍采用m=0阶保持器。5.信号保持多项式外推公式：由确定外推系数m表33⑵零阶保持器阶次m=0，则外推公式为：显然，上式也成立。所以，零阶保持器按照常值外推，其数学表达式为：把nT采样值保持到(n+1)T，使采样信号变成阶梯信号。

连接阶梯信号中点，可得到与e(t)形状一致，但时间落后T/2的响应e[t-(T/2)]。⑵零阶保持器连接阶梯信号中点，可得到与e(t)形34零阶保持过程是理想脉冲的结果。

零阶保持器零阶保持器传递函数(脉冲响应的拉氏变换)：

零阶保持器频率特性：零阶保持过程是理想脉冲35石群自动控制原理(第7章)课件36零阶保持器特性：①低通特性。根据幅频特性可知，零阶保持器基本上是一个低通滤波器。但与理想滤波器特性相比，在处，幅值是初值的63.7%，且截止频率不止一个，因此主要频谱分量和部分高频频谱分量都可以通过，进而造成数字控制系统的输出中存在纹波。②相角滞后特性。根据相频特性，零阶保持器的相角滞后，随着的增大而增大。在处滞后，使闭环系统稳定性变差。③时间滞后特性。零阶保持器的输出为阶梯信号，平均响应为，说明输出比输入滞后，相当于给系统增加一个延迟时间为的延迟环节，是系统总的相角滞后增大，对系统稳定性不利，且阶梯输出增加系统输出中的纹波。

零阶保持器特性：37⑶一阶保持器阶次m=1，则外推公式为：

解得外推系数：得：⑶一阶保持器解得外推系数：得：38石群自动控制原理(第7章)课件39一阶保持器与零阶保持器相比较：①复现原信号的准确度更高。②幅频特性普遍较大，允许通过高频分量较多，更易造成纹波。③相角滞后更严重，处滞后可达，对稳定性更加不利。结论：数字控制系统中，普遍采用零阶保持器，很少采用一阶保持器，基本不用更高阶保持器。工程实践中，可用输出寄存器实现零阶保持器，还应附加模拟滤波器，有效去除采样频率及其谐波频率附近的高频分量。一阶保持器与零阶保持器相比较：407-3z变换理论①z变换的思想源于连续系统。②线性离散系统的性能，可用z变换的方法获得。③z变换是采样函数拉氏变换的变形，称为采样拉氏变换。1.z变换定义

7-3z变换理论41各项均含有项，则为s的超越函数。令，T为采样周期，z是复数变量，z变换算子。z的s反解：

这种写法只是书写方便，意义同前各项均含有项，则为s的超越函数。令，T为采样周期，z是复数变422.z变换方法取，可将s域超越函数变换为z的幂级数或者有理分式。⑴级数求和法例7-6求单位阶跃函数1(t)的z变换。(对比P313例7-3

)解：

若，即则可得封闭形式：2.z变换方法例7-6求单位阶跃函数1(t)的z变换。43例7-7设

求理想脉冲序列的z变换。解：

比较例7-6和例7-7的结论：相同的z变换E(z)对应相同的采样函数e*(t)，但是不一定对应于相同的连续函数e(t)。例7-7设求理想脉冲序列的z变换。解：比较例7-44⑵部分分式法例7-8已知连续函数的拉氏变换为，求。

解：

根据：得：⑵部分分式法例7-8已知连续函数的拉氏变换为45例7-9设，求。解：

根据欧拉公式：注意！本课程主要研究：①常用时间函数z变换后，是z的有理分式，且分母多项式的次数大于或等于分子多项式的次数。②分母z多项式的最高次数等于相应传递函数分母s多项式的最高次数。例7-9设，求46P322表7-2z变换表

谁也不能全背下来！且让我指出考试常用的变换，哈！P322表7-2z变换表47表7-2:重点：1、2、3、4、5、8次重点：7、9、16、173.z变换性质(证明考试不考，了解即可)⑴线性定理

表7-2:48⑵实数位移定理例7-10计算滞后一个采样周期的函数的z变换。解：⑶复数位移定理理解为乘以指数序列。

⑵实数位移定理49例7-11计算的z变换。解：⑷终值定理若为有限值，且极限存在，则：例7-12设z变换函数为求。解：

例7-11计算的z变换。50⑸卷积定理

定义离散卷积：

若则卷积定理是沟通时域与z域的桥梁。4.z反变换先z变换，把s超越方程或者离散系统差分方程转换为z的代数方程，然后写出离散系统脉冲传递函数(z传递函数)，再用z反变换求出离散系统时间响应。

z反变换：单边性：时

⑸卷积定理51⑴部分分式法（查表法）

设已知的z变换函数无重极点，且考虑分子普遍含有z，则：

为在极点处的留数。⑴部分分式法（查表法）为52例7-13已知

求z反变换。解：例7-13已知求z反变换。解：53⑵幂级数法（综合除法）

如果无穷幂级数收敛，则是采样脉冲序列的脉冲强度。工程实际中，只需计算有限的几项，可用幂级数法，但是不易求得通项的、封闭的表达式。⑵幂级数法（综合除法）如果无穷幂级数收敛，则54例7-14设z变换函数求z反变换。解：

注意：无穷幂级数只要在z平面的某个区域内是收敛的，则用z变换法解决离散系统问题时，就不需要指出具体在什么z值上收敛。例7-14设z变换函数求z反变换。解：注意：无穷55⑶反演积分法（留数法）当z变换函数E(z)除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法用部分分式法和幂级数法求z反变换，只能采用反演积分法。当然，反演积分法对E(z)为有理分式的情况也适用。

设为z平面上包围全部极点的封闭曲线。沿逆时针方向，对两端同时积分。⑶反演积分法（留数法）设为z平面上包围56对于围绕原点的积分闭路：则根据柯西留数定理，设除有限个极点外，在域G上是解析的。如果有闭合路径包含了这些极点，则：对于围绕原点的积分闭路：则根据柯西留数定理，设除有限57例7-15设z变换函数求z反变换。解：

例7-15设z变换函数求z反变换。解：58

留数计算方法：⑴若为单极点，则：⑵若有n阶重极点，则：5.关于z变换的说明⑴z变换的非唯一性①z变换只与采样序列对应，而与原连续时间函数并非一一对应。②对于给定z变换E(z)，由于采样信号只在采样瞬间和原连续时间函数相同，所以E(z)反变换也不可能是唯一的。③对于连续时间函数，z变换和z反变换都不是唯一的。留数计算方法：⑴若59⑵z变换的收敛区间拉氏变换存在性条件：双边z变换的定义：若令：则：则其收敛条件：⑵z变换的收敛区间拉氏变换存在性条件：双边z变换的定义：若令60大多数工程问题中，因为n<0时，e(nT)=0，所以z变换是单边的，其定义式：且E(z)为有理分式函数，因而z变换的收敛区间与E(z)的零极点分布有关。

满足时，双边z变换一致收敛，即e(nT)的z变换存在。例：公比为：，当时，大多数工程问题中，因为n<0时，e(nT)=0，所以61其收敛区间为：E(z)的零点是z=0，极点是z=a，收敛区域如图7-21所示。

大多数工程问题中的z变换都存在，所以可不必特别指出z变换的收敛区间。其收敛区间为：E(z)的零点是z=0，627-4离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型有三种：①差分方程②脉冲传递函数③离散状态空间表达式1.离散系统的数学定义将输入序列，变换为输出序列的一种变换关系，称为离散系统，记作：简记为：如果关系F是线性的，就称为线性离散系统；如果关系F是非线性的，就称为非线性离散系统。

7-4离散系统的数学模型63⑴线性离散系统⑵线性定常离散系统定义：输入与输出关系不随时间改变的线性离散系统。2.线性常系数差分方程及其解法①n阶后向差分方程(n≥m)

⑴线性离散系统64②n阶前向差分方程(n≥m)解常系数线性差分方程：经典法、迭代法、z变换法。经典法：需要求解微分方程，计算量大。⑴迭代法根据差分方程的后向描述或者前向描述，结合已知的初始条件，利用递推关系，求解输出序列。

②n阶前向差分方程(n≥m)65石群自动控制原理(第7章)课件66⑵z变换法对差分方程两端取z变换，并利用z变换的实数位移定理，得到z的代数方程，再求解z反变换得输出序列。⑵z变换法673.脉冲传递函数为了研究线性离散系统的分析和校正等问题，用z变换导出脉冲传递函数。⑴脉冲传递函数定义零初始条件：t<0时，均为0。当线性定常离散系统满足零初始条件时，定义其脉冲传递函数为：

3.脉冲传递函数68

实际系统输出往往是连续信号c(t),则可在输出端虚设一个理想采样开关，与其它采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。如果实际输出比较平滑，且采样频率较高，可用描述。虚设采样开关是不存在的，只表明脉冲传递函数所能描述的，只是输出在采样时刻上的离散值。实际系统输出工作，并具有相同的采样周期。69⑵脉冲传递函数意义

对于线性定常离散系统：输出为单位脉冲响应序列：若输入为单位序列：当输入单位脉冲序列时间移动k个单位：输出单位脉冲序列时间相应移动k个单位：则和称为“加权序列”，即当对一个连续信号采样时，每一采样时刻的脉冲值，就等于该时刻的函数值。

任何一个采样序列，都可以认为是被加了权的脉冲序列。⑵脉冲传递函数意义对于线性定常离散系统：输出为单位脉冲响70对于线性定常离散系统：

若输入采样信号为：

系统脉冲传递函数G(z)，等于系统加权序列K(nT)的z变换。对于线性定常离散系统：若输入采样信号为：系统脉71⑶脉冲传递函数求法系统后向差分方程后向差分方程和脉冲传递函数的关系：方法①：

⑶脉冲传递函数求法系统后向差分方程后向差分方程和脉冲传递函数72方法②：根据z变换表，直接由G(s)得到G(z)。加权序列的采样拉氏变换与其z变换的关系：

加权序列：采样拉氏变换：方法②：根据z变换表，直接由G(s)得到G(z)。加权序列的73石群自动控制原理(第7章)课件744.开环系统脉冲传递函数影响求解开环系统脉冲传递函数的两个因素：①组成系统的环节②采样开关的数目和位置⑴采样拉氏变换的两个性质①周期性②不必重复离散化⑵有串联环节时的开环系统脉冲传递函数①串联环节之间有采样开关

4.开环系统脉冲传递函数75②串联环节之间无采样开关

②串联环节之间无采样开关76石群自动控制原理(第7章)课件77结论：串联环节之间有、无同步采样开关时，总的脉冲传递函数G(z)和输出z变换C(z)是不相同的。①不同点：G(z)、C(z)的零点。②相同点：G(z)、C(z)的极点。结论：串联环节之间有、无同步采样开关时，总的脉冲78⑶有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数⑶有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数79

说明：当G0(s)为s有理分式函数时，Z[G0(s)/s]也必然是z的有理分式函数。说明：80石群自动控制原理(第7章)课件81比较两例的开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相同，零点不同。

结论：

零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。5.闭环系统脉冲传递函数由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，因此闭环离散系统没有唯一的结构图形式。本例图比较两例的开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相本例图82虚线开关是虚设的，所有开关都是T。

-虚线开关是虚设的，所有开关都是T。-83

闭环离散系统的特征方程：注意：只要e(t)处没有采样开关，r*(t)(包括虚构的r*(t))便不存在，此时不可能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出C(z)。-闭环离散系统的特征方程：注意：只要e(t)处没有采样开84石群自动控制原理(第7章)课件85石群自动控制原理(第7章)课件86由于上式求不出C(z)/R(z)，所以无法求解闭环传递函数，但可以求出C(z)和c*(t)。由于上式求不出C(z)/R(z)，所以无法求解闭环传87①②①②88③④③④89⑤⑥⑤⑥90⑦⑧⑦⑧916.z变换法的局限性及修正z变换⑴z变换法的局限性①z变换法的推导，建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上，每个理想脉冲的面积，等于采样瞬时上的时间函数。这假定，只当采样持续时间远小于系统最大时间常数时才成立。②C(z)只能确定c(t)在采样瞬时上的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。③用z变换法分析离散系统时，系统连续部分的传递函数G(s)的极点至少要比其零点数多2，即G(s)的脉冲传递函数K(t)在t=0时必须没有跳跃，或者满足：否则，z变换法得到c*(t)和c(t)差别较大，甚至完全不符。6.z变换法的局限性及修正z变换92石群自动控制原理(第7章)课件93z变换法得到的输出曲线拉氏变换法得到的输出曲线不满足z变换法得到的输出曲线拉氏变换法得到的输出曲线不满足94⑵修正z变换法z变换的一种推广，是研究离散系统在采样间隔中响应的一种普遍有效的方法。本质：分频而不影响原频。⑵修正z变换法95

为的脉冲过渡函数。Sn1的输出值为：Sn1的采样输出为：S1的输出z变换为：为的脉冲过渡函数。Sn1的输96

采样间隔之间，需要补插q个点，则n=q+1。采样间隔之间，需要补插q个点，则n=q+1。97石群自动控制原理(第7章)课件98修正z变换法也可以应用于闭环离散系统。

修正z变换法也可以应用于闭环离散系统。997-5离散系统的稳定性与稳态误差1.s域到z域的映射

s域虚轴()单位圆()

主要带：到的周期带，z平面点从逆时针变化到，转了一圈。次要带：其余的周期带。稳定区：s域左半平面，主要带和次要带，映射成z平面的单位圆内部。

7-5离散系统的稳定性与稳态误差s域虚轴(100⑴等线映射s平面等线，映射到z平面以原点为圆心，为半径的同心圆。s平面虚轴z平面原点圆心的单位圆s平面虚轴左侧z平面单位圆内部同心圆s平面虚轴右侧z平面单位圆外部同心圆

⑴等线映射101⑵等线映射在特定T的情况下，由可知，s平面等线映射成z平面一簇从原点出发的射线，相角从正实轴开始计量。在s平面处水平线，映射为z平面负实轴。⑵等线映射102⑶等线映射s平面上的等线：为等线与虚轴之间的夹角。等线从s域到z域的映射关系为：除和外，当为常数时，左半s平面上的等线，映射为z平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，起点为z平面上正实轴的1处，终点为z平面的原点。

⑶等线映射103石群自动控制原理(第7章)课件104s平面主要带映射为z平面上的单位圆及单位圆内的负实轴。由，s平面上所有次要带，在z平面上均映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。s平面主要带映射为z平面上的单位圆及单位圆内的负实轴。1052.离散系统稳定的充分必要条件定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定充要条件①系统齐次微分方程的解收敛②系统特征方程式的根均具有负实部③系统传递函数的极点均位于左半s平面⑴时域中离散系统稳定的充分必要条件设线性定常(后向)差分方程为

对应的齐次差分方程为2.离散系统稳定的充分必要条件106设通解为，代入齐次方程，得

得差分方程的特征方程不失一般性，设特征方程有n个不同的特征根，则：上式系数由给定的n个初始条件决定。当特征根时，必有。则线性定常离散系统稳定充要条件是：当且仅当(后向)差分方程所有特征根模设通解为，代入齐次方程，得得差分107⑵z域中离散系统稳定的充分必要条件-z域充要条件：系统特征方程所有特征根的分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模小于1，即：上述稳定充要条件是在特征方程无重根的情况下推导出来的，但是对于有重根的情况，也是正确的。现实不存在临界稳定情况，是不稳定的。-⑵z域中离散系统稳定的充分必要条件-z域充要条件：所有特征根1083.离散系统的稳定性判据连续系统劳斯-赫尔维茨稳定判据，实质是判断系统特征方程根是否都在s左半平面。离散系统的稳定性判据就是寻找某个z域到w域的映射，使z平面上单位圆内映射成w平面上左半平面，这种坐标变换称为双线性变换，或称w变换。然后，在w平面上，利用劳斯-赫尔维茨稳定判据进行间接判别。⑴w变换与劳斯稳定判据

3.离散系统的稳定性判据109z稳定，特征方程根都在z单位圆内。w稳定，特征方程根都在w左半平面。w域，可用劳斯判据。研究u的分子，有什么结论？u的分母始终为正，则：①当时，即：w虚轴z单位圆周。

②当时，即：w左半z单位圆内。③当时，即：w右半z单位圆外。z稳定，特征方程根研究u的分子，有什么结论？u的分母110石群自动控制原理(第7章)课件111离散系统稳定性判别：①w劳斯判据②z朱利判据⑵朱利判定判据类似于连续系统的赫尔维茨判据，根据z特征方程，判断其根是否在z单位圆内。离散系统稳定性判别：①w劳斯判据②z朱利判据112石群自动控制原理(第7章)课件113石群自动控制原理(第7章)课件114朱利稳定判据：特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面单位圆内的充分必要条件是：

当n为偶数时当n为奇数时以及下列(n-1)个约束条件成立：缺点：不容易确定临界稳定的条件和不稳定的程度。朱利稳定判据：特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面115石群自动控制原理(第7章)课件116石群自动控制原理(第7章)课件1174.采样周期与开环增益对稳定性的影响主要影响因素：开环增益K、零极点分布、传输延迟和采样周期T。4.采样周期与开环增益对稳定性的影响118石群自动控制原理(第7章)课件119石群自动控制原理(第7章)课件120由例7-30可知，K与T对离散系统稳定性有如下影响：①当T一定时，增大K会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。②当K一定时，越增大T，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至使系统变得不稳定。总之，K大、T大，离散系统稳定性差。5.离散系统的稳态误差连续系统中，计算稳态误差方法：①拉氏变换终值定理，求稳态误差②系统误差传递函数，动态误差系数，求出动态误差的稳态分量。可将这两种方法推广至离散系统。由例7-30可知，K与T对离散系统稳定性有如下影响：121离散系统没有唯一的典型结构图形式，设如图结构：离散系统没有唯一的典型结构图形式，设如图结构：122

注意：线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。此外，G(z)与采样周期T有关，典型输入R(z)也与T有关，因此，离散系统的稳态误差与采样周期T有关。研究稳态误差前，先要判断系统的稳定性是否满足！注意：线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身研究稳123说明：①对于求解离散系统扰动稳态误差，只需求出系统扰动误差的z变换函数En(z)，然后应用z变换的终值定理求解。②对于非单位反馈等复杂系统，讨论型别与静态误差系数。说明：1246.离散系统的型别与静态误差系数零阶保持器不影响开环系统脉冲传递函数的极点。G(z)的极点与G(s)的极点是一一对应的。G(s)根据s=0极点个数确定连续系统型别，G(z)根据z=1极点个数确定离散系统型别。以图7-43为例，研究三种典型信号的稳态误差。6.离散系统的型别与静态误差系数125⑴单位阶跃输入时的稳态误差

其中称为静态位置误差系数。0型系统的定义：G(z)没有z=1的极点，若G(z)有多余等于1个z=1的极点，则这样的系统叫做1型或1型以上的离散系统。结论：①0型离散系统在采样瞬时存在位置误差。②1型或1型以上离散系统，在采样瞬时没有位置误差。

⑴单位阶跃输入时的稳态误差其中126⑵单位斜坡输入时的稳态误差

其中称为静态速度误差系数。0型离散系统的Kv=0，而1型系统的Kv为有限值，2型及以上系统的Kv=∞。结论：①0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用。②1型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差。③2型或2型以上离散系统，在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。

⑵单位斜坡输入时的稳态误差其中127⑶单位加速度输入时的稳态误差

其中称为静态加速度误差系数。0型及1型系统的Ka=0，2型系统的Ka为常值，3型及以上系统的Ka=∞。结论：①0型和1型离散系统不能承受单位加速度函数作用。②2型离散系统单位加速度函数作用下存在速度误差。③3型或3型以上离散系统，在单位加速度函数作用下不存在采样瞬时的稳态误差。

⑶单位加速度输入时的稳态误差其中128石群自动控制原理(第7章)课件1297-6离散系统的动态性能分析应用z变换法分析线性定常离散系统的动态性能，通常有时域法、根轨迹法和频域法，其中时域法最简便。1.离散系统的时间相应在已知离散系统结构和参数时，常假定1(t)作用。①存在E*(s)时，可求②不存在E*(s)时，R(z)为固化形态。不求，根据R(s)，研究拉氏变换固化，然后直接求C(z)，求解c*(t)。

展成幂级数，z反变换，求解c*(t)。7-6离散系统的动态性能分析展成幂级数，z反变换，求解130石群自动控制原理(第7章)课件131离散系统时域指标，只能按照采样周期整数倍的采样值计算，因此是近似的。离散系统时域指标，只能按照采1322.采样器和保持器对动态性能的影响采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响其零点。对于闭环离散系统，开环脉冲传递函数零点的变化，必然引起闭环脉冲传递函数极点的改变。因此，采样器和保持器影响闭环离散系统的动态性能。2.采样器和保持器对动态性能的影响133石群自动控制原理(第7章)课件134石群自动控制原理(第7章)课件1352号线：有采样器，没有零阶保持器。3号线：有采样器，有零阶保持器。1号线：没有采样器，没有零阶保持器。2号线：有采样器，3号线：有采样器，1号线：没有采样器，没有136采样器和保持器对离散系统动态性能的影响结论：①采样器可使系统tp和ts略有减小，但使σ增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。特例：有时在具有大延迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度。②零阶保持器使tp和ts都增大，σ和振荡次数N都增大。因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。3.闭环极点与动态响应的关系离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位圆内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。采样器和保持器对离散系统动态性能的影响137设闭环脉冲传递函数

m个零点和n个极点可以是实数，也可以是共轭复数。若闭环极点都在z平面单位圆内，则此时离散系统稳定。为便于讨论，假定无重极点，这不失一般性，设闭环脉冲传递函数m个零点和n个138右端第1项z反变换为M(1)/D(1)，是c*(t)的稳态值，若值为1，则单位反馈离散系统在单位阶跃信号作用下稳态误差为0。

第2项的z反变换为c*(t)的瞬态值。根据pk在单位圆内的位置，可以确定c*(t)的动态响应形式。下面讨论：⑴正实轴上的闭环单极点设pk为正实数，pk对应的瞬态分量为：

若，闭环单极点位于z平面上单位圆外正实轴上，有，故动态响应按指数规律发散的脉冲序列。若，闭环单极点位于右半z平面上单位圆周上，有，故动态响应，为等幅脉冲序列。右端第1项z反变换为M(1)/D(1)，单位反馈离散系统在单139若，闭环单极点位于z平面上单位圆内的正实轴上，有，故动态响应是按指数规律收敛的脉冲序列，且越接近原点，越大，衰减越快。⑵负实轴上的闭环单极点

设为负实数，根据，当n为奇数时，为负；当n为偶数时，为正。故负实数极点对应的动态响应是交替变号的双向脉冲序列。

若，闭环单极点位于z平面上单位圆外负实轴上，则为交替变号的发散脉冲序列。若，闭环单极点位于左半z平面单位圆周上，则为交替变号的等幅脉冲序列。若，闭环单极点位于z平面140若，闭环单极点位于z平面单位圆内的负实轴上，则为交替变号的衰减脉冲序列，且离原点越远近，衰减越快。若，闭环单极点位于z平面141结论，由上图7-46可知：⑴若闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。①实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快。②实极点位于单位圆上，脉冲序列等幅变化。③实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。结论，由上图7-46可知：142⑵若闭环实数极点位于左半z平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。①实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛。②实极点位于单位圆上，脉冲序列等幅变化。③实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。⑵若闭环实数极点位于左半z平面，则输出动态响应形143⑶z平面上的闭环共轭复数极点设和是一对共轭复数极点，，其中是共轭复数极点相角，从z正实轴起，逆时针为正。一对共轭复数极点对应瞬态分量为

⑶z平面上的闭环共轭复数极点144

其中，其中，145根据，一对共轭复数极点对应的瞬态分量按振荡规律变化，振荡角频率为。z平面上共轭复数极点位置越左，便越大，振荡角频率也就越高。根据：①若，闭环极点z单位圆外，动态响应发散。②若，闭环极点z单位圆上，动态响应等幅。③若，闭环极点z单位圆内，动态响应收敛，且越小，即复极点越靠近原点，收敛越快。闭环共轭极点分布与相应动态响应形式的关系如后图：

根据146石群自动控制原理(第7章)课件147z平面单位圆内的共轭复数极点，对应输出动态响应形式收敛。复极点位于左侧单位圆内对应振荡频率高于右半情况。总结：①闭环实极点在z平面左半单位圆内，输出衰减脉冲交替变号，动态质量很差。②闭环复极点在左半，输出衰减高频脉冲，动态欠佳。③设计离散系统，应把闭环极点安置在z平面右半单位圆内，且尽量靠近原点。z平面单位圆内的共轭复数②闭环复极点在左半，输出衰减高频148讨论的所有极点都在原点的情况。由s域到z域的等σ线映射可知，左半s平面上的等σ线，映射为z平面上单位圆内的一簇同心圆。显然，z平面原点，对应s平面。在连续系统中，σ称为稳定度，故全部极点都在原点的系统，称为具有无穷大稳定度的离散系统。因是的有限项幂级数，故输出脉冲序列必在有限拍(有限采样周期)内结束，这是离散系统特征。最小拍连续系统动态过程，理论上时才结束。最小ts

讨论的所有极点都在原点的情况。由s域到z1497-7离散系统的数字校正

设计线性离散系统方法：模拟化设计和离散化设计。

①模拟化：求出系统数字部分的等效连续环节，按连续系统理论设计校正装置，再将校正装置数字化。

②离散化：直接数字设计法，将系统按离散化(数字化)进行分析，求出系统脉冲传递函数，按离散系统理论设计数字控制器。可以实现较复杂的控制规律，具一般性。1.数字控制器的脉冲传递函数

7-7离散系统的数字校正1502.最少拍系统设计在采样过程中，称一个采样周期为一拍。所谓最少拍系统，是指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。典型输入：

2.最少拍系统设计151根据：

是不含的多项式。最少拍系统设计原则：①若系统广义对象G(s)无延迟。②在z平面单位圆上及单位圆外无零极点。③选闭环Φ(z)，使系统在典型输入作用时，经最少采样周期后，能使输出序列在各采样时刻稳态误差为0，完全跟踪，确定数字控制器D(z)。

根据：是不含152最少拍系统要求自某个开始，在时，有：则系统动态过程在时结束，调节时间是。

使为0的条件是中包含有的因子，即中不包含因子。为使D(z)简单，阶数最低，可取F(z)=1，此时Φ(z)全部极点均位于z平面的原点。此时，E(z)=A(z)。下面讨论典型输入时，数字控制器D(z)确定方法。最少拍系统要求自某个开始，在时153⑴单位阶跃输入

最少拍系统经过1拍，采样瞬时完全跟踪输入，ts=T。⑴单位阶跃输入最少拍系统经过1拍，采样瞬时完全跟踪输入，154⑵单位斜坡输入

最少拍系统经过2拍，采样瞬时完全跟踪输入，ts=T

。⑵单位斜坡输入最少拍系统经过2拍，采样瞬时完全跟踪输入，155⑶单位斜坡输入

最少拍系统经过3拍，采样瞬时完全跟踪输入，ts=3T

。⑶单位斜坡输入最少拍系统经过3拍，采样瞬时完全跟踪输入，156前提要求：按照t2/2、t、1(t)顺序：选取Φ(z)应对低于其阶次的输入则维持Φ最少拍；选取Φ(z)应对高于其阶次的输入则C无法跟踪R；选取Φ(z)应对等于其阶次的输入则无差维持Φ最少拍重要结论：最少拍系统的调节时间，只与所选择的闭环脉冲传递函数Φ(z)有关，而与典型输入信号无关。前提要求：按照t2/2、t、1(t)顺序：157分析：按照1(t)设计Φ，采用输入1(t)为称为最少拍匹配。输出经过1拍跟踪输入。下面讨论两种非匹配设计方案：按照1(t)设计Φ，采用输入t。按照1(t)设计Φ，采用输入t2/2。分析：158A.

方式：经过1拍，有限值误差跟踪！B.

方式：经过1拍，误差值逐渐增至无穷大，不能跟踪！A.方式：经过1拍，有限值误差跟踪！B.方式：经过1拍159对单位斜坡输入设计的最少拍系统，下面具体以3种典型输入信号论证。思考：何谓匹配最少拍，何谓非匹配最少拍？对单位斜坡输入设计的最少拍系统，下面具160

①斜坡设计最少拍系统：②斜坡设计最少拍系统：③斜坡设计最少拍系统：①斜坡设计最少拍系统：②斜坡设计最少拍系统：③斜坡161石群自动控制原理(第7章)课件162石群自动控制原理(第7章)课件163石群自动控制原理(第7章)课件164石群自动控制原理(第7章)课件165比较各种典型输入下的R(z)与C(z)可以发现，按斜坡输入设计的最少拍控制系统，对于输入t、1(t)都是仅在前2拍出现差异，从第3拍起实现完全跟踪，故均为二拍系统，ts=2T，但无法跟踪t2/2。

注意：典型输入与控制器匹配为最佳最少拍响应。比较各种典型输入下的R(z)与C(z)可以发现，按斜166由图7-52，得知下列结论：①对于快速性，按t输入设计的最少拍系统，在t、1(t)输入作用下，动态过程均为2拍。②对于准确性，t最少拍系统对1(t)和t，在采样时刻均无稳态误差，但对t2/2，采样时刻稳态误差为T2。③对于动态性能，t最少拍系统对t的响应性能较好，因为是量身定做，但对1(t)响应性能较差，有100%的超调量。按照某种输入设计的最少拍系统，对其它输入适应性较差。④对于平稳性，在各种典型输入下系统进入稳态后，在非采样时刻一般均存在纹波，从而增加系统的机械磨损，上述最少拍系统设计方法，只有理论意义，并不具备实用性。由图7-52，得知下列结论：167分析：按照t2/2设计Φ，采用输入t2/2为称为最少拍匹配。输出经过3拍跟踪输入。下面讨论两种非匹配设计方案：按照t2/2设计Φ，采用输入1(t)。按照t2/2设计Φ，采用输入t。体会：杀鸡用宰牛刀！大炮打蚊子！分析：168A.

方式：经过3拍，无误差完全跟踪！B.

方式：经过3拍，无误差完全跟踪！A.方式：经过3拍，无误差完全跟踪！B.方式：经过3拍169石群自动控制原理(第7章)课件170根据取闭环脉冲、误差脉冲传递函数为：

探究：设计最少拍系统的隐含兼顾条件：①消去G(z)传输延迟环节z-1。②补偿G(z)在单位圆上的极点。满足兼顾条件，则算出的D(z)可确保给定系统成为在对应输入下的最少拍系统。本题的隐含兼顾条件：

①Φ(z)消去G(z)传输延迟环节z-1。②Φe(z)补偿G(z)在单位圆上的极点。根据取闭环脉冲、误差脉1713.无纹波最少拍系统设计由于最少拍系统在非采样时刻存在纹波，工程界不允许，故希望设计无纹波最少拍系统。无纹波最少拍系统的设计要求①在某种典型输入作用下设计的系统②其输出响应经过尽可能少的采样周期后③不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入④而且在采样间隔不存在纹波⑴最少拍系统产生纹波的原因设单位反馈离散系统如图7-53所示，按单位斜坡输入设计的最少拍系统，其T=1。3.无纹波最少拍系统设计172

根据例7-33结果根据例7-33结果173显然，经过2拍，零阶保持器输入序列e2(nT)并不是常值脉冲，而是围绕平均值上下波动，从而保持器的输出电压V在2拍后也围绕平均值波动，进而使电机转速不稳，产生输出纹波。因此，无纹波输出就必须要求序列e2(nT)在有限个采样周期后，达到相对稳定(不波动)。显然，经过2拍，零阶保持器输入序列e2(nT)并174为了e2(nT)达到相对稳定(不波动)，进而实现无纹波输出，需要：①设计最少拍系统②对被控对象G0(s)加以限定③对闭环脉冲Φ(z)提出要求⑵无纹波最少拍系统的必要条件为了在稳态过程中获得无纹波的平滑输出c*(t)，被控对象G0(s)必须有能力给出与输入r(t)相同平滑输出c(t)。若对t设计最少拍系统，则G0(s)的稳态输出也必须是斜坡函数，故G0(s)必须至少有一个积分环节，使被控对象在零阶保持器常值输出信号作用下，稳态输出为等速变化量。为了e2(nT)达到相对稳定(不波动)，进而实现无纹波输出，175若对t2/2设计最少拍系统，则G0(s)至少应包含两个积分环节。一般地说，若输入信号为则无纹波最少拍系统的必要条件是：

※被控对象G0(s)中，至少应包含(q-1)个积分环节。

※上述条件是不充分的，即当G0(s)满足上述条件时，最少拍系统不一定无纹波。（P368例7-33）下述讨论中，总假定这一必要条件成立。若对t2/2设计最少拍系统，则G0(s)至少应包含两个积分环176⑶无纹波最少拍系统的附加条件如果经过l个采样周期后，e2(nT)进入稳态，有常值(可以是0)则根据最少拍系统产生纹波的原因可知，此时最少拍系统无纹波。因此，无纹波最少拍系统要求E2(z)为z-1的的有限多项式。⑶无纹波最少拍系统的附加条件177进行最少拍系统设计时，Φe(z)的零点可以完全对消R(z)的极点。因此表明只要为的有限多项式，就是的有限多项式。此时在确定典型输入作用下，经过有限拍后，e2(nT)就可以达到相应的稳态值，从而保证系统无纹波输出。极点多项式总是有限多项式，不影响为的有限多项式。则要求为待定多项式。

进行最少拍系统设计时，Φe(z)的零点可以完全对消178结论：①当要求最少拍系统无纹波时，闭环脉冲传递函数Φ(z)应满足最少拍要求的形式，且其附加条件是Φ(z)必须包含G(z)的全部零点，不论这些零点在z平面何处。②最少拍系统设计的前提是G(z)在单位圆上、外无零极点，或可被Φ(z)及Φe(z)补偿，要求Φ(z)包含G(z)在单位圆内的零点数，就是无纹波最少拍系统比有纹波最少拍系统所增加的拍数。⑷无纹波最少拍系统设计(增加附加条件)①当输入为1(t)时，设：结论：179当被控对象G0(s)含有积分环节时(1/s环节数≥1)时，常数(a0+a1+a2)=0。请思考为什么？

②当输入为t时，设：当被控对象G0(s)含有积分环节时(1/s环节数≥1180在无纹波最少拍系统必要条件成立时，

※被控对象G0(s)中，至少应包含(q-1)个积分环节。则：即从第3拍起，e2(nT)保持为常数。若G0(s)不包含积分环节，则从n=3起，e2(nT)斜坡增加。注意：一般地说只要展开项取有限项，结果分析与取三项类似，即仍然可得无纹波输出。在无纹波最少拍系统必要条件成立时，※被控对象181石群自动控制原理(第7章)课件182石群自动控制原理(第7章)课件183石群自动控制原理(第7章)课件1844.PID数字控制器的实现

4.PID数字控制器的实现185第七章作业

P382习题7-107-157-17

7-207-22第七章作业186第七章线性离散系统的分析与校正7-1离散系统的基本概念7-2信号的采样与保持7-3z变换理论7-4离散系统的数学模型7-5离散系统的稳定性与稳态误差7-6离散系统的动态性能分析7-7离散系统的数字校正7-8离散控制系统设计石群自动控制原理(第7章)课件1877-1离散系统的基本概念连续系统：①系统中所有信号都是时间的连续函数。②信号在全部时间上都是已知的。离散(时间)系统①系统中至少一处信号是脉冲或数码。②那些信号只定义在离散时间上。采样/脉冲控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统。数字/计算机控制系统系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统。石群自动控制原理(第7章)课件1881.采样控制系统采样系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值，而无法获取瞬时之间的信息。

①周期采样：采样时间间隔具有规律性。

等周期采样：采样时间间隔两两相等。

②非周期/随机采样：采样时间间隔是时变的、随机的。假定：本章仅讨论等周期采样，如果系统中有几个采样器，则它们是同步等周期的。1.采样控制系统189例7-1(P305)例7-1(P305)190T为采样周期，τ为采样持续时间。炉温采样控制，当检流计指针与电位器接触时，电机才在采样信号作用下调节炉温。这种采样控制下，电机时转时停，若再采用较大开环增益，不仅利于系统稳定，还能抑制响应超调。T为采样周期，τ为采样持续时间。191通常，测量元件、执行元件、被控对象是模拟元件，其输入和输出是连续信号，即时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号。

脉冲元件的输入和输出是脉冲序列，即时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号。采样器保持器连续信号脉冲序列通常，测量元件、执行元件、被控对象是模拟元件，采样器192采样系统：采样器和保持器是特殊环节。⑴信号采样和复现①采样：连续信号转变为脉冲信号。②采样器，例如采样开关。③T是采样周期，fs=1/T是采样频率。④采样角频率：ωs=2π/T=2πfs，单位是rad/s⑤采样持续时间τ<<T，τ<<max{连续部分的时间常数}，通常认为τ趋近于0。⑥矩形面积等于强度采样系统：采样器和保持器是特殊环节。193⑦复现：脉冲信号转变为连续信号。⑧复现装置，又称为保持器。⑨采样器输出脉冲信号，其高频分量相当于连续部分的噪声。因此，采样器后面串联信号复现滤波器，可由保持器实现。采样频率足够高时，接近于连续信号。⑦复现：脉冲信号转变为连续信号。194⑵采样系统的典型结构图①开环采样系统：采样器位于闭合回路之外，或者系统无闭合回路。②闭环采样系统：采样器位于闭合回路之内。③典型结构图：⑵采样系统的典型结构图195④线性采样系统：采样开关的输出与输入存在线性关系，且系统其余部分的传递函数都具有线性特性。2.数字控制系统

①以数字计算机为控制器。②包括离散工作的计算机和连续工作的被控对象。③闭环控制系统。④线性采样系统：196石群自动控制原理(第7章)课件197

计算机作为系统的控制器，其输入和输出是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都离散的信号。

被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号。

连续-