高二数学人教A版选择性必修第二册第四章421等差数列的概念课件1

等差数列的概念（1）等差数列的概念（1）1高二数学人教A版选择性必修第二册第四章421等差数列的概念课件12事实下定义表示方法性质特殊元素事实下定义表示方法性质特殊元素3问题1

什么是等差数列呢？问题1什么是等差数列呢？4追问1：请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？追问1：请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？5例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？an＝6＋(n－1)×0＝6.f(x)＝dx＋(a1－d)当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1.d＜0时，等差数列{an}单调递减;有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？令－3n＋11＝－289，得n＝100，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组，求得未知变量，是解决等差数列相关问题的常用方法.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.一共有个等式，将它们进行累加，有(2)等差数列的通项公式；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；追问2：你能给出等差数列的定义吗？d＜0时，等差数列{an}单调递减;当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.北京天坛圜丘坛的地面石板数：9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48．②(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：25，24，23，22，21．③例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，69，18，27，36，45，54，63，72，81．①对于数列①，我们发现：18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，换一种写法，就是：18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示数列①，则有：

a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.9，18，27，36，45，54，63，72，81．①对于79，18，27，36，45，54，63，72，81．①对于数列①，有这样的规律：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.38，40，42，44，46，48．②25，24，23，22，21．③✔✔9，18，27，36，45，54，63，72，81．①8如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.从第2项起每一项与它的前一项的差追问2：你能给出等差数列的定义吗？同一个常数如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的9(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)9，7，5，3，1，－1；是，d＝－2；(3)6，6，6，6，6，6；是，d＝0；(4)0，1，0，1，0，1.不是，1－0＝1，0－1=－1；追问3：你能判断下列数列是否为等差数列吗？(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)910追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即此时，我们把A叫做a和b的等差中项.a和b的等差中项是它们的算术平均数.追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b11问题2如何推导等差数列的通项公式呢？问题2如何推导等差数列的通项公式呢？12追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an＋1－an＝d.追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？13追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an14追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可得an＝a1＋(n－1)d，追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可15由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a416归纳可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1.追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).当n＝1时，上17首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*

)追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项18追问3：还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？

an－an－1＝d，

an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，……a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有个等式，将它们进行累加，有n－1

an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*)追问3：还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？a19问题2如何推导等差数列的通项公式呢？首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*

)问题2如何推导等差数列的通项公式呢？首项为20追问4：你能写出这些等差数列的通项公式吗？(1)5，9，13，17，21；an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)9，7，5，3，1，－1；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)6，6，6，6，6.an＝6＋(n－1)×0＝6.追问4：你能写出这些等差数列的通项公式吗？(1)5，9，21问题3

观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an＝a1＋(n－1)d所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；

当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n，(n∈N*)时的函数值，即an＝f(n).＝dn＋(a1－d)，问题3观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an22追问1：等差数列{an}的图象与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象有什么关系?追问1：等差数列{an}的图象与一次函数f(x)＝dx＋(a2312a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(24追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？任给f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则an＝kn＋b，

a1＝f(1)＝k＋b；an＝f(n)＝nk＋b，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋b

，…an＋1－an

＝[(n＋1)k＋b]－(nk＋b)＝k，n∈N*所以，数列{an}是以(k＋b)为首项，k为公差的等差数列.追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数25追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？数列{an}是公差不为0的等差数列⇔数列的通项公式an是关于n的一次函数.追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数26追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？2712a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)d＞0时，数列{an}单调递增;d＜0时，数列{an}单调递减.12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(28d＞0时，等差数列{an}单调递增;d＜0时，等差数列{an}单调递减;d＝0时，等差数列{an}为常数列.追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？d＞0时，等差数列{an}单调递增;追问3：可以从函数的角度29问题4利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？问题4利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？30例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.分析：有了通项公式，只要将n＝1代入，就能求得a1；由通项公式写出an－1的表达式，由an－an－1可求得公差d.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差31解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.例1已知32追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差d.由于已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为公差d.追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列{an}为33解法2：a1＝5－2×1＝3，a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.解法2：a1＝5－2×1＝3，例1已知等差数列{an}的通34追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次项系数即为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值.追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列35解法3：a1＝5－2×1＝3，因为an＝5－2n，所以公差d＝－2.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.解法3：a1＝5－2×1＝3，例1已知等差数列{an}的通36

研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或前n项和公式，看成关于n的函数，用函数方法得到数列的相关性质，是研究数列时的常用方法.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或37例2求等差数列8，5，2，…

的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？分析：只要知道首项a1和公差d，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差d可以由任意一项和它前一项的差求得.例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，38分析：求得通项公式以后，它是一个关于n的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．例2求等差数列8，5，2，…

的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？分析：求得通项公式以后，它是一个关于n的方程，判断－289是39解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11，所以a20＝－3×20＋11＝－49.令－3n＋11＝－289，得n＝100，所以－289是该数列中的第100项.解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.40

等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本量”，由这两个基本量，可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.例2求等差数列8，5，2，…

的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本41根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组，求得未知变量，是解决等差数列相关问题的常用方法.例2求等差数列8，5，2，…

的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方421等差数列的概念(1)等差数列及等差中项的定义；(2)等差数列的通项公式；递推公式、归纳和累加法.(3)通项公式的应用.函数与方程.2研究方法递推公式应用通项公式问题5

回顾本节课的探究过程，你学到了什么？函数与方程的思想1等差数列的概念(1)等差数列及等差中项的定义；(43课后作业1．求下列各组数的等差中项：647和895；(2)和.2．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，

a7＝12．求a4．课后作业1．求下列各组数的等差中项：44等差数列的概念（1）等差数列的概念（1）45高二数学人教A版选择性必修第二册第四章421等差数列的概念课件146事实下定义表示方法性质特殊元素事实下定义表示方法性质特殊元素47问题1

什么是等差数列呢？问题1什么是等差数列呢？48追问1：请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？追问1：请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？49例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？an＝6＋(n－1)×0＝6.f(x)＝dx＋(a1－d)当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1.d＜0时，等差数列{an}单调递减;有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？令－3n＋11＝－289，得n＝100，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方程或方程组，求得未知变量，是解决等差数列相关问题的常用方法.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.一共有个等式，将它们进行累加，有(2)等差数列的通项公式；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；追问2：你能给出等差数列的定义吗？d＜0时，等差数列{an}单调递减;当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.北京天坛圜丘坛的地面石板数：9，18，27，36，45，54，63，72，81．①(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48．②(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：25，24，23，22，21．③例2求等差数列8，5，2，…的通项公式an和第20项，509，18，27，36，45，54，63，72，81．①对于数列①，我们发现：18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，换一种写法，就是：18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示数列①，则有：

a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.9，18，27，36，45，54，63，72，81．①对于519，18，27，36，45，54，63，72，81．①对于数列①，有这样的规律：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.38，40，42，44，46，48．②25，24，23，22，21．③✔✔9，18，27，36，45，54，63，72，81．①52如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.从第2项起每一项与它的前一项的差追问2：你能给出等差数列的定义吗？同一个常数如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的53(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)9，7，5，3，1，－1；是，d＝－2；(3)6，6，6，6，6，6；是，d＝0；(4)0，1，0，1，0，1.不是，1－0＝1，0－1=－1；追问3：你能判断下列数列是否为等差数列吗？(1)5，9，13，17，21；是，d＝4；(2)954追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即此时，我们把A叫做a和b的等差中项.a和b的等差中项是它们的算术平均数.追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b55问题2如何推导等差数列的通项公式呢？问题2如何推导等差数列的通项公式呢？56追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an＋1－an＝d.追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？57追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an58追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可得an＝a1＋(n－1)d，追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可59由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an＋1－an＝d，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a460归纳可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1.追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可得an＝a1＋(n－1)d，(n≥2).当n＝1时，上61首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*

)追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项62追问3：还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？

an－an－1＝d，

an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，……a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有个等式，将它们进行累加，有n－1

an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*)追问3：还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？a63问题2如何推导等差数列的通项公式呢？首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d.(n∈N*

)问题2如何推导等差数列的通项公式呢？首项为64追问4：你能写出这些等差数列的通项公式吗？(1)5，9，13，17，21；an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)9，7，5，3，1，－1；an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)6，6，6，6，6.an＝6＋(n－1)×0＝6.追问4：你能写出这些等差数列的通项公式吗？(1)5，9，65问题3

观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an＝a1＋(n－1)d所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；

当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n，(n∈N*)时的函数值，即an＝f(n).＝dn＋(a1－d)，问题3观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an66追问1：等差数列{an}的图象与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象有什么关系?追问1：等差数列{an}的图象与一次函数f(x)＝dx＋(a6712a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(68追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？任给f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则an＝kn＋b，

a1＝f(1)＝k＋b；an＝f(n)＝nk＋b，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋b

，…an＋1－an

＝[(n＋1)k＋b]－(nk＋b)＝k，n∈N*所以，数列{an}是以(k＋b)为首项，k为公差的等差数列.追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数69追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？数列{an}是公差不为0的等差数列⇔数列的通项公式an是关于n的一次函数.追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数70追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？7112a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)d＞0时，数列{an}单调递增;d＜0时，数列{an}单调递减.12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(72d＞0时，等差数列{an}单调递增;d＜0时，等差数列{an}单调递减;d＝0时，等差数列{an}为常数列.追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？d＞0时，等差数列{an}单调递增;追问3：可以从函数的角度73问题4利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？问题4利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？74例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.分析：有了通项公式，只要将n＝1代入，就能求得a1；由通项公式写出an－1的表达式，由an－an－1可求得公差d.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差75解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.例1已知76追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差d.由于已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为公差d.追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列{an}为77解法2：a1＝5－2×1＝3，a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.所以，数列{an}的首项为3，公差为－2.例1已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.解法2：a1＝5－2×1＝3，例1已知等差数列{an}的通78追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次项系数即为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值.追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列79解法3：a1＝5－2