第2-节初等解析函数新

显然有:|

ez

|

ex

,Arg(ez

)

y

2k

(k为整数)e

z

还可以用exp(z)表示指数函数的性质1)ez

在复平面内处处有定义,且是单值的ez

0(2)

对

z1

,

z2

C,

有

ez1

z2

ez1

ez2(3)ez

以2ki

为周期,k

0，1,2,...xz

z

x0x当z

沿负实轴趋于时,lim

ez

lim

ex

0z

z

x0即:ez2ki

ez

e2ki

ez(4)ez

当z

时无极限证:因为当z

沿实轴正向趋于时,lim

ez

lim

e

x

(5)

指数函数ez

在整个复平面上解析,并且(ez

)

ez例1

求e2i

的值，并求其辐角解:

e2i

e2

(cos1

i

sin1)Arg

e2i

1

2k

,k

为任意整数二、对数函数定义

满足方程ew

z

(z

0)的函数w

f

(z),称为对数函数,若令

z

rei

,

w

u

iv,

则euiv

rei于是有:eu

r,

v

2k

(k

0,1,)u

ln

r,

v

Arg

z

(z

0)由此,得到:w

ln

|

z

|

i

Arg

z

(z

0)记作

w

Ln

z为多值函数当Arg

z

取主值arg

z

时,Ln

z

为一单值函数,称为Ln

z

的主值,记为ln

z

ln

|

z

|

i

arg

z因而Ln

z

ln

z

i2k(k

0，1,

2,...)表示各分支,对每个k

,上式表示一个单值函数,称为Ln

z

的一个分支。例2

计算下列函数值及它们的主值:(1)

Ln(1)

(2)

Ln(3

3i)

(3)

Ln(ei

)解:(1)Ln(1)

ln

|

1

|

i

Arg(1)

ln1

i(2k

)(k为整数)

(2k

1)i当k

0

时,得主值ln(1)

i(2)

Ln(3

3i)

ln

|

3

3i

|

iArg(3

3i)(k为整数)6

ln

2 3

i(2k

)6当k

0

时,

得主值

ln

2 3

i(3)

Ln(ei

)

ln

|

ei

|

i(Argei

)

0

(2k

1)i(argei

)

1(k为整数)

i(1

2k

)当k

0

时,得Ln

ei

的主值为i例3

解方程ez

1

3i

03i

两端取对数,得:解:

对ez

1

z

Ln(1

33i)

ln

|

1

3i

|

i(

2k

)(k取整数)3

ln

2

i(

2k

)或:

令

z

x

iy,

exiy

1

3i,

ex

|

1

3i

|

2即有x

ln2,(k取整数)3y

Arg(1

3i)

2k

3

所以

z

ln2

i

2k

例解下列方程注意：在实函数中,对数函数的定义域是(0,),而复对数函数的定义域是除z

0

外的全体复数;实对数函数是单值函数,而复对数函数是多值函数。由辐角的性质,可以得到复对数的运算性质:(1)

Ln(

z1

z2

)

Ln

z1

Ln

z21

22z1（2）Ln( )

Ln

z

Ln

zz注意以上两式理解为两端可能取的函数值的全体是相同的。n问题：Lnzn

nLnz,

Lnn

z

1

Lnz是否成立？例如设

z

reiLnz

2

Ln(r

2

ei

2

)

2lnr

i(2

2k

)而

2Lnz

2Ln(rei

)(k

0,1,...)(k

0,1,...)

2lnr

i(2

4k

)两者实部虽然相同，但虚部取值不尽相同所以

Lnz

2

2Lnz不再成立对数函数的解析性:主值lnz

l复平面上是解析的并且d

(lnz)

1dz

z由于Ln

z

的每一个单值分支与lnz

只相差一个2i倍,所以,Ln

z

各分支在除去原点及负实轴的平面内也解析,且具有相同的导数值。设

w

f

(z)

在

D

内解析,

且z

D,

f

(z)

0,

而w

f

(z)

的单值反函数

z

f

1

(w)

h(w)

在相应的区域

G

内存在且连续,则

z

h(w)

在

G内解析,且h(w)1f

(z)z

ew

在

w

arg

z

内的反函数w

lnz

是单值且连续的,由反函数求导公式:zew(ew

)ln

z)

1

1

1因此,ln

z

在除去原点及负实轴的复平面内解析今后

应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.zx故, arg

z

在原点和负实轴上都不连续分析:因为,在原点处ln

z

,arg

z均无意义，而当x

0

时,lim

arg

zy0

y0因此,在负实轴上任一点(x,0)处,limarg

z

不存在。因而不可导三、幂函数称

(a

为任意复常数,

z

0)w

za

ea

Ln

z为幂函数。由于Ln

z

是多值函数,所以za

一般也是多值函数(除a

为整数外)

1,p、q

为正整数)当az

p

有q个不同分支p

z

qza

q当a

为无理数或复数时,za

有无穷多值。由于Ln

z

的各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,因而w

za的相应分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的。解析性:21i

的值例4

求ii

, (1

i)1i

,(k

为整数)2i

2

(

2k

)

2k

e

2解:

ei

i

ei

Ln

i(1

i)1i

e(1i

)Ln(1i

)4(1i

)[ln

2i(

2k

)]

e(ln 2

2k

)i(

2k

ln

2)4

4

e

ln

2)]44

ln

2)

i

sin(

2e

4

[cos(

2k(

k

0,1,...)21i

e(1i

)

Ln

2

e(1i

)[ln

22ki

]

e(ln

22k

)i

(ln

22k

)

2e2k

[cos(ln2(

k

0,1,...)四、三角函数与双曲函数定义复变量的三角函数:2ieiz

eizeiz

eiz正弦函数:

sin

z

2余弦函数: cos

z

例

求cos(

5i)2解: cos(

5i)

ei

(

5i

)

ei

(

5i

)

e5ei

e5ei2

1[e5

(cos

i

sin

)

e5

(cos

i

sin

)]2

1

(e5

e5

)2性质:(1)cos

z

是偶函数,sin

z

是奇函数,即cos(z)

cos

z,

sin(z)

sin

zsin

z、cos

z

以2

为周期;sin

z、cos

z

在复平面内解析且(sin

z)

cos

z,

(cos

z)

sin

z以下三角恒等式成立sin(z1

z2

)

sin

z1

cos

z2

cos

z1

sin

z2cos(z1

z2

)

cos

z1

cos

z2

sin

z1

sin

z2sin2

z

cos2

z

1(5)sin

z

的零(n

0,1,...)2cos

z

的零点是:z

n

、

zz|x

1|)注意

实函数

x

证:取z

iy22ei

(

iy)

ei

(

iy)

e

y因为 cos(iy)

e

y(当y

)所以,

有

|

cos

iy

|

2ye其它三角函数:sin

zcot

z

cos

zcos

ztan

z