【教学课件】环节二 数学归纳法的应用

数列环节二数学归纳法的应用复习导入问题1什么时候需要应用数学归纳法？数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题.证明对任意的正整数n，等式

恒成立.不必应用数学归纳法难以应用数学归纳法答案：证明(n∈N*)的单调性.复习导入例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？答案：有错误求证：证明：假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即，则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何n∈N*，等式都成立.(n∈N*).复习导入例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问1这道题需要证明n=1的情况吗？答案：需要.当n=1时，左边=12=1，右边左边=右边，所以n=1时该式成立.求证：证明：假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即，则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何n∈N*，等式都成立.(n∈N*).复习导入例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问2上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？答案：证明n=k+1也成立的时候有错误.求证：证明：假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即，则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何n∈N*，等式都成立.(n∈N*).复习导入例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问3如何修改上述证法？求证：证明：假设当n=k(k∈N*)时，等式成立，即，则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时等式也成立.由此得出，对任何n∈N*，等式都成立.(n∈N*).复习导入例1下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？追问3如何修改上述证法？答案：假设当n=k时该式成立，

就成了已知条件.比较一下已知条件和要证明的式子，等号左边多了一个，因此两边同时加，有在进行化简即可.说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，可知：对任何n∈N*，等式都成立.第二步要证命题“若P(k)（k∈N*，k≥n0）为真则P(k＋1)也为真”.方法归纳问题2怎样正确地使用数学归纳法？不能缺少第一步的验证；用上假设，递推才真答案：典例剖析例2已知数列满足，

(n∈N*)，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解：由，可得由可得同理可得归纳上述结果，猜想(n∈N*).

(n∈N*).

典例剖析例2解：下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当n=1时，左边=a1=0，右边=0，猜想成立.，即当n=k+1时，猜想也成立.由(1)(2)可知，猜想任何正整数n都成立.(2)假设n=k(k∈N*)时成立，即，那么(n∈N*).

已知数列满足，

(n∈N*)，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.典例剖析例3已知数列{an}，an≥0，a1＝0，

，求证：当n∈N*时，an＜an＋1．答案：（1）由题意得，当n＝1时，

，因为an≥0，所以，即a1＜a2成立．追问1该如何解决这道题？典例剖析例3已知数列{an}，an≥0，a1＝0，

，求证：当n∈N*时，an＜an＋1．（2）假设当n＝k（k∈N*）时，0≤ak＜ak＋1，又an≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0，所以＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，所以ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．综上可知，an＜an＋1对任意n∈N*都成立．典例剖析例4用数学归纳法证明：（n∈N*）．（1）当n＝1时，

①，不等式成立．追问1该如何解决这道题？（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，不等式成立．即由（1）和（2）可知，不等式对任意n∈N*都成立．答案：典例剖析例5设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.答案：一种思路是不求和，直接通过n取特殊值比较前n项和与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出前n项和公式，再通过n取特殊值比较前n项和与n的大小关系，然后做出猜想.这道题有哪些思路？典例剖析答案：由已知可得当n=2时，，由x＞0，可得当n=3时，由x＞0，可得S2>2

；由此，我们猜想，，追问1该如何解决这道题？S3>3

；Sn

>n

.设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例5(2)假设当n=k（k∈N*，且k≥2）时，不等式成立，即Sk>k，典例剖析由x＞0，可得1+x＞1，所以(1+x)k

.于是Sk+1=Sk+(1+x)k答案：用数学归纳法证明猜想Sn

>n

.(1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式Sn

>n

对任何大于1的正整数n都成立.>k+(1+x)k

>k+1所以，当n=k+1时，不等式也成立.追问1该如何解决这道题？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例5典例剖析显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是答案：追问2这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例5典例剖析当n=2时，=x+2，由x＞0，可得S2>2；当n=3时，由此，我们猜想，Sn>n.显然，所给数列是等比数列，公比为1+x，于是答案：=x2+3x+3，由x＞0，可得S3>3；追问2这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例5典例剖析(1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立.答案：用数学归纳法证明猜想Sn>n.追问2这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.例5典例剖析(2)假设当n=k（k∈N*，且k≥2）时，不等式成立，即，由x＞0，知(1+x)k>xk+1.所以又x＞0，所以Sk+1>k+1.当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立.所以，(1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立.答案：用数学归纳法证明猜想Sn>n.追问2这道题还有其他解法吗？设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(