江苏省镇江市2022-2023学年高三上学期期中数学试题含答案

江苏省镇江市2022-2023学年度镇江市高三上学期期中试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，,则（）A. B. C. D.2.命题：“”的否定是（）A. B.C. D.3.已知复数满足，则（）A. B. C. D.4.云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（，，精确到1）A42 B.45 C.51 D.575.已知等比数列中，，其前项和为，前项积为，且，，则使得成立的正整数的最小值为（）A.9 B.10 C.11 D.126.中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（）A. B.C. D.7.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（π≈3.14，精确到1）A.60 B.80 C.100 D.1208.已知函数记函数为的导函数，函数的图象在处的切线与x轴相交的横坐标为，则（）A. B.C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a，b，c，d∈R，下列命题正确的是（）A.若a<b<0，则a2<ab<b2 B.若a>b，则ac2≥bc2C.不等式恒成立 D.若，且，则10.下列判断正确的有（）A.当时，方程存在唯一实数解B当时，C.D.11.设为单位向量，满足，设的夹角为，下列说法正确的是（）AB.的最小值为2C.最小值为D.当时，使方程成立一定是负数12.设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（）．A.在有且仅有3个极大值点 B.在有且仅有2个极小值点C.在单调递增 D.的取值范围是三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.“m＞1”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”中选择一个填空)14.已知向量，若，则___________.15.已知，则___________，___________16.已知，若有且仅有三个整数解，则a的取值范围是___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知向量.（1）若，求的值；（2）记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.18.已知数列首项为2，满足，求：（1）数列的通项公式；（2）数列的前n项和.19.在中，角的对边分别为已知.（1）求角的大小；（2）边上有一点，满足，且，求周长的最小值.20.“春节”期间，某商场进行如下优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？21.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求函数的解析式，判断函数在定义域上的单调性并证明；（2）令，若对，使得，求实数的取值范围.22.已知函数.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的x>1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：若函数f（x）有极值点，则f（x）必有3个不同的零点.2022-2023学年度镇江市高三上学期期中试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数和指数的性质解出集合M和N，从而可求得答案.【详解】，，故，，∴.故选：B.2.命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】“”的否定是“”，故选：C.3.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算可求得实数的值，再利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，所以，，所以，，故，因此，.故选：A4.云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（，，精确到1）A.42 B.45 C.51 D.57【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的正弦公式及解三角形的正弦定理，依次求得即可.【详解】因为，所以在中，，故，在中，，则，所以由正弦定理得，故，所以在中，，故.故选：D.5.已知等比数列中，，其前项和为，前项积为，且，，则使得成立的正整数的最小值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】根据等数列的通项关系，求得，从而得，于是有，解不等式【详解】解：因为，，所以即，则，或，又，，则，则，得，则.选选：D.6.中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】取中点，连,根据三角形重心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.【详解】取中点，连,则点为的重心，，即，故选：D.7.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（π≈3.14，精确到1）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【解析】【分析】将卫生纸的长度近似看成400个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前n项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为100【详解】空盘直径是，半径是，周长是满盘直径是，半径是，周长是，则每一圈周长成等差数列，共400项，，故选：C.8.已知函数记函数为的导函数，函数的图象在处的切线与x轴相交的横坐标为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义可求出切线方程，再利用裂项相消法即可求解.【详解】，切点，，切线方程为：，令，即，切点，，切线方程为：，令，所以，故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a，b，c，d∈R，下列命题正确的是（）A.若a<b<0，则a2<ab<b2 B.若a>b，则ac2≥bc2C.不等式恒成立 D.若，且，则【答案】BC【解析】【分析】对于AD，举反例即可排除；对于B，利用不等式的性质即可判断；对于C，利用基本不等式即可判断.【详解】对于A，令，则，但，故A错误；对于B，因为，，所以，当时取“，故B正确；对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，故C正确；对于D，令，则，，且，所以由的单调性可知，故D错误.故选：BC.10.下列判断正确的有（）A.当时，方程存在唯一实数解B.当时，C.D.【答案】BCD【解析】【分析】(1)将方程转化为在上无解，(2)构造根据函数的导数讨论单调性和最值即可判断，(3)由(2)可确定，再构造函数利用导数和单调性最值的关系可确定，(4)根据可判断.【详解】时，,即在上无解，故A错误；时令，在单调递减，所以即故B正确；因为令令，所以在单调递减，所以，即则在上单调递减，，即，即故C正确；故D正确；故选：BCD.11.设为单位向量，满足，设的夹角为，下列说法正确的是（）A.B.的最小值为2C.最小值为D.当时，使方程成立的一定是负数【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的数量积运算律以及夹角公式，模长公式即可求解.【详解】，故A正确；故B错误；故C正确；，因为，所以即一定是负数，故D正确；故选:ACD.12.设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确是（）．A.在有且仅有3个极大值点 B.在有且仅有2个极小值点C.在单调递增 D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据在有且仅有5个零点，可得，解出，可判断D，由，得，而要在单调递增，从而可得，进而可求出的范围，可判断C【详解】解：当时，，因为在有且仅有5个零点，所以在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3个，所以A正确，B错误；因为，所以，所以D正确；当时，，若在单调递增，则，得，而，所以C正确，故选：ACD【点睛】此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.“m＞1”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”中选择一个填空)【答案】充分不必要【解析】【分析】根据m＞1利用基本不等式求出f(x)最大值可判断充分性；利用导数判断f(x)的单调性，求出其最大值，令最大值小于1求出m的范围，由此可判断必要性．【详解】①时，，即；②对于函数，，若，则，f(x)在x>0时单调递减，没有最大值；若，则时，，单调递增；时，，单调递减；∴，若，则．故“m＞1”是“函数的最大值小于1”的“充分不必要”条件．故答案为：充分不必要．14.已知向量，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由已知，根据已知条件，先表示出坐标形式，然后再根据，直接列式求解即可.【详解】由已知，，所以，由可知：，解得.故答案为：.15.已知，则___________，___________【答案】①.②.【解析】【分析】利用结合和角公式可求；利用结合和角公式可求【详解】故答案为：；16.已知，若有且仅有三个整数解，则a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】，令，利用导数求出函数单调区间，再根据函数的单调性结合已知即可得解.【详解】解：，令，令，则，所以函数在上递减，又，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，因为有且仅有三个整数解，所以，即，所以a的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知向量.（1）若，求的值；（2）记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量坐标的线性运算得的坐标，根据的坐标关系可得，从而可得，，即可求解的值；（2）求解化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得，根据余弦函数图象性质求函数的值域即可.【小问1详解】解：，，，即，.【小问2详解】解：由图象向右平移，横坐标变为2倍得，在单调递增，单调递减，即值域为.18.已知数列首项为2，满足，求：（1）数列的通项公式；（2）数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设可得，即可得为等比数列，写出通项公式，即可得的通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求.【小问1详解】已知数列满足，则，则是首项为，公比为2的等比数列，故，即.【小问2详解】，①②①②可得：19.在中，角的对边分别为已知.（1）求角的大小；（2）边上有一点，满足，且，求周长的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出角的大小；（2）利用数量积的定义得到，求出.由面积相等得到.整理出周长，令，，得到，利用单调性法求出的周长最小值.【小问1详解】，由正弦定理得：..【小问2详解】，化简得：周长令，即又由复合函数单调性知在时单调递增当时，.即的周长最小值为.20.“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件【解析】【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.【小问1详解】分两次支付：支付额为元;一次支付：支付额为元,因为，所以一次支付好；【小问2详解】设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，当时，不能享受每满400元再减40元的优惠当时，，，当时，，；当时，，．所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当时，能享受每满400元再减40元的优惠当时，，当，时，;当时，，y随着n的增大而增大，所以当，时，．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．21.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求函数的解析式，判断函数在定义域上的单调性并证明；（2）令，若对，使得，求实数的取值范围.【答案】（1），在上单调递减，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，利用奇函数的性质求解，即可得函数的解析式；判断函数在上的单调性，利用单调性定义任取，且，作差变形，判断差的符号即可证明单调性；（2）根据不等式，参变分离转化为函数最值问题，