new 测量误差基本知识课件

《测量学》学习辅导《测量学》同济大学测量与国土信息工程系1《测量学》学习辅导《测量学》同济大学测量与国土信息工程系第六章

测量误差基础知识2第六章

测量误差基础知识2§6-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响3§6-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。4一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差

钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)

……5二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。6二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差7（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？8如何处理含有偶然误差的数据？例如：如何评价数据的精度？8三.偶然误差的特性

1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：(6-1-1)真误差真值观测值9三.偶然误差的特性1.偶然误差的定义：(6-例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180–(i+i+I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。10例如：10误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然误差的统计

11误差区间负误差正误差-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。12-24-21-18-15-12-9-6-3偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。13偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。1§6-2评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差14§6-2评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差14§6-2评定精度的标准二、相对中误差平均误差一、中误差15§6-2评定精度的标准二、相对中误差平均误差一、中误差15按观测值的真误差计算中误差16按观测值的真误差计算中误差16如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率17如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率17正态分布18正态分布18m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.619m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；两组观测值中正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率20正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在2121区别错误与误差的阀值随机变量X在区间（x1x2）之间的概率为则函数是连续型随机变量X的分布密度函数如果就得正态分布22区别错误与误差的阀值随机变量X在区间（x1x2）之间的概率

三、极限误差23

三、极限误差232424但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：

=？m=？寻找最接近真值的值x§6-3观测值的算术平均值及改正值25但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：§6集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解26集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解27一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解27证明（x是最或然值）

将上列等式相加，并除以n,得到

28证明（x是最或然值）二、观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘29二、观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为§6-4观测值的精度评定标准差可按下式计算中误差30§6-4观测值的精度评定标准差可按下式计算中误差30证明将上列左右两式相减，得31证明将上列左右两式相减，得31分别取平方32分别取平方32取和对代入前式33取和对代入前式33计算标准差例子34计算标准差例子34小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差35小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中§6-5误差传播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

36§6-5误差传播定律已知：mx1,mx2,……mxny=观测值函数的中误差——误差传播定律一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……37观测值函数的中误差一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?38二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?和39二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和40二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,m二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?41二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,m二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和42二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,m二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方43二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,和二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?44二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,4解：例量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式45解：例量得地形图上两点间长度二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,求：mz=?46二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,（三）线性函数特殊xi为独立观测值47（三）线性函数特殊xi为独立观测值47例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。48例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数xi为独立观测值对上式线性化49二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。50中误差关系式：小结50观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

51观测值函数中误差公式汇总例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。52例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0例题已知

有求：错误53例题已知错误53例题已知

有；求：54例题已知54观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离DSvhD§6-6误差传布定律

应用举例55观测值：斜距S和竖直角vSvhD§6-6误差传布定律

§6-6误差传播定律应用

观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差hSvhD56§6-6误差传播定律应用

观测值：斜距S和竖直角vSvh误差传播定律

应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx57误差传播定律

应用举例算术平均值57算例：用三角形闭合差求测角中误差58算例：用三角形闭合差求测角中误差58误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例：要求三角形最大闭合差

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。59误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6DMPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。60DMPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例9§6-7加权平均数及其中误差现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值A组：123.360B组：123.333C组：123.356

=?61§6-7加权平均数及其中误差现有三组观测值，计算其最或然值加权平均数

各组的平均及其权A组：123.360权PA=3B组：123.333PB=4C组：123.356PC=5(

)()()62加权平均数(一、权与中误差平均数的权pA=3平均数的中误差m——单位权中误差权与误差的平方成反比63一、权与中误差平均数的权pA=363二、加权平均数64二、加权平均数64三、加权平均值的中误差

65三、加权平均值的中误差65四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则66四、单位权中误差的计算如果m要用改正数v计算，则66加权平均值标准差的算例67加权平均值标准差的算例67例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算

组号测回数各组平均值L权P

LPL表5-5加权平均值：1240°20´14"4142440°

20´17"72143640°

20´20"10330L0=40°

20´10"

648vpvv+416+12-2123068例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回加权例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算

组号测回数各组平均值L权PLPL表5-5加权平均值：1240°

20´14“4282440°

20´17“74283640°

20´20“10660L0=40°

20´10"1296vpvv+432+14-2246069例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回加权五、权倒数传播定律有；

权倒数传播定律

m2m2m2m270五、权倒数传播定律有；70例题有；已知

求：71例题有；已知71《测量学》学习辅导《测量学》同济大学测量与国土信息工程系72《测量学》学习辅导《测量学》同济大学测量与国土信息工程系第六章

测量误差基础知识73第六章

测量误差基础知识2§6-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响74§6-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。75一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差

钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)

……76二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。77二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差78（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？79如何处理含有偶然误差的数据？例如：如何评价数据的精度？8三.偶然误差的特性

1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：(6-1-1)真误差真值观测值80三.偶然误差的特性1.偶然误差的定义：(6-例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180–(i+i+I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。81例如：10误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然误差的统计

82误差区间负误差正误差-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。83-24-21-18-15-12-9-6-3偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。84偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。1§6-2评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差85§6-2评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差14§6-2评定精度的标准二、相对中误差平均误差一、中误差86§6-2评定精度的标准二、相对中误差平均误差一、中误差15按观测值的真误差计算中误差87按观测值的真误差计算中误差16如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率88如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率17正态分布89正态分布18m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.690m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；两组观测值中正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率91正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在9221区别错误与误差的阀值随机变量X在区间（x1x2）之间的概率为则函数是连续型随机变量X的分布密度函数如果就得正态分布93区别错误与误差的阀值随机变量X在区间（x1x2）之间的概率

三、极限误差94

三、极限误差239524但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：

=？m=？寻找最接近真值的值x§6-3观测值的算术平均值及改正值96但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：§6集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解97集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解98一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解27证明（x是最或然值）

将上列等式相加，并除以n,得到

99证明（x是最或然值）二、观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘100二、观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为§6-4观测值的精度评定标准差可按下式计算中误差101§6-4观测值的精度评定标准差可按下式计算中误差30证明将上列左右两式相减，得102证明将上列左右两式相减，得31分别取平方103分别取平方32取和对代入前式104取和对代入前式33计算标准差例子105计算标准差例子34小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差106小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中§6-5误差传播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

107§6-5误差传播定律已知：mx1,mx2,……mxny=观测值函数的中误差——误差传播定律一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……108观测值函数的中误差一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?109二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?和110二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和111二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,m二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?112二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,m二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和113二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,m二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方114二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,和二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?115二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,4解：例量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式116解：例量得地形图上两点间长度二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,求：mz=?117二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,（三）线性函数特殊xi为独立观测值118（三）线性函数特殊xi为独立观测值47例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。119例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数xi为独立观测值对上式线性化120二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。121中误差关系式：小结50观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

122观测值函数中误差公式汇总例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。123例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0例题已知

有求：错误124例题已知错误53例题已知

有；求：125例题已知54观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离DSvhD§6-6误差传布定律

应用举例126观测值：斜距S和竖直角vSvhD§6-6误差传布定律

§6-6误差传播定律应用

观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差hSvhD127§6-6误差传播定律应用

观测值：斜距S和竖直角vSvh误差传播定律

应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx128误差传播定律

应用举例算术平均值57算例：用三角形闭合差求测角中误差129算例：用三角形闭合差求测角中误差58误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例：要求三角形最大闭合差

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。130误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6DMPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。131DMPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例9§6-7加权平均数及其中误差现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.3