空间向量的应用 证明平行与垂直 公开课一等奖课件

空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件(2)直线与平面平行的判定方法：①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则

.②如果平面α外的直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a＝

.a·n＝0⇔a∥αλ1e1＋λ2e2⇔a∥α(2)直线与平面平行的判定方法：a·n＝0⇔a∥αλ1e1＋(3)平面与平面平行的判定方法；①α，β是两个不重合的两个平面，m，n是平面α的一组基向量，m∥β，n∥β⇔α∥β②如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则

.③设两个不重合的平面α、β，若平面α的法向量为n，则

.n1＝λn2⇔α∥βn⊥β⇔α∥β(3)平面与平面平行的判定方法；n1＝λn2⇔α∥βn⊥β⇔2．利用向量的知识判定线面垂直的方法(1)直线与直线垂直的判定方法：如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则

.(2)直线与平面垂直的判定方法：①如果直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则

.a·b＝0⇔a⊥ba＝λn⇔a⊥α2．利用向量的知识判定线面垂直的方法a·b＝0⇔a⊥ba＝λ②如果直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则

.(3)平面与平面垂直的判定方法：①如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则

.②设平面α的法向量为n，e1、e2是平面β的一组基底(不共线的向量)，则

.a·e1＝0且a·e2＝0⇔a⊥αn1·n2＝0⇔α⊥βn＝λ1e1＋λ2e2⇔α⊥β②如果直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不1．在空间直角坐标系o－xyz中，过点E(－2,1，－2)且与平面xoz平行的直线l交平面yoz于点P，则点P的坐标为(

)A．(0,1，－2)

B．(－2,0，－2)C．(－2,1,0) D．(－4,0，－1)[解析]

过点E且平面xoz平行的直线交平面yoz于点P，则P的横坐标为0，纵坐标与竖坐标与E点相同．[答案]

A空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[解析]

b＝8a，a∥b，故α1∥α2[答案]

平等[解析]b＝8a，a∥b，故α1∥α2空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证MN∥平面A1BD.[分析]

(1)可以建立空间直角坐标系，用向量坐标法来解决．(2)可以用共线向量或共面向量证明．空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[点评与警示]

证明线面平行可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面向量定理．若能建立空间直角坐标系，其证法更为灵活方便．[点评与警示]证明线面平行可以用几何法，也可以用向量法．用 (人教A版选修2­1，P118例4改编)如图1所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.证明：PA∥平面EDB. (人教A版选修2­1，P118例4改编)如图1所示[证明]方法一：如图2所示，连接AC，AC交BD于O.连接EO.因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO.而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB.所以，PA∥平面EDB.[证明]方法一：如图2所示，连接AC，AC交BD于O.空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[证明]

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a.[证明]如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件

如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明面AED⊥面A1FD1.空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件(3)由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.[点评与警示]

用空间坐标运算证明“面面垂直”，一般先求出其中一个平面的一个法向量，然后证明它垂直于另一个平面的法向量．因为本例有(1)、(2)作铺垫，所以直接利用其结果便可．空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面ADE.(1)[证明]

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.[分析]

空间中各元素的位置关系和数量关系的核心是线与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础．考虑到平面PBC⊥平面ABCD及PC＝PB，故可取BC的中点O为原点，OP为z轴，OB为x轴． 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠A[证明]

(1)取BC的中点O，∵平面PBC⊥平面ABCD，△PBC为等边三角形，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，如图所示，建立空间直角坐标系．[证明](1)取BC的中点O，空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[点评与警示]

用向量的方法解决垂直问题即几何问题代数化，这种方法降低了思维的抽象性，使很多思维量较大的证明与计算简单化，突出了向量方法的优点．空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件2．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④向量计算；⑤转化为几何结论．空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件(2)直线与平面平行的判定方法：①如果平面α外的直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则

.②如果平面α外的直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则a＝

.a·n＝0⇔a∥αλ1e1＋λ2e2⇔a∥α(2)直线与平面平行的判定方法：a·n＝0⇔a∥αλ1e1＋(3)平面与平面平行的判定方法；①α，β是两个不重合的两个平面，m，n是平面α的一组基向量，m∥β，n∥β⇔α∥β②如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则

.③设两个不重合的平面α、β，若平面α的法向量为n，则

.n1＝λn2⇔α∥βn⊥β⇔α∥β(3)平面与平面平行的判定方法；n1＝λn2⇔α∥βn⊥β⇔2．利用向量的知识判定线面垂直的方法(1)直线与直线垂直的判定方法：如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则

.(2)直线与平面垂直的判定方法：①如果直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，则

.a·b＝0⇔a⊥ba＝λn⇔a⊥α2．利用向量的知识判定线面垂直的方法a·b＝0⇔a⊥ba＝λ②如果直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不共线的向量)，则

.(3)平面与平面垂直的判定方法：①如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2，则

.②设平面α的法向量为n，e1、e2是平面β的一组基底(不共线的向量)，则

.a·e1＝0且a·e2＝0⇔a⊥αn1·n2＝0⇔α⊥βn＝λ1e1＋λ2e2⇔α⊥β②如果直线a的方向向量为a，e1、e2是平面α的一组基底(不1．在空间直角坐标系o－xyz中，过点E(－2,1，－2)且与平面xoz平行的直线l交平面yoz于点P，则点P的坐标为(

)A．(0,1，－2)

B．(－2,0，－2)C．(－2,1,0) D．(－4,0，－1)[解析]

过点E且平面xoz平行的直线交平面yoz于点P，则P的横坐标为0，纵坐标与竖坐标与E点相同．[答案]

A空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[解析]

b＝8a，a∥b，故α1∥α2[答案]

平等[解析]b＝8a，a∥b，故α1∥α2空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证MN∥平面A1BD.[分析]

(1)可以建立空间直角坐标系，用向量坐标法来解决．(2)可以用共线向量或共面向量证明．空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[点评与警示]

证明线面平行可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面向量定理．若能建立空间直角坐标系，其证法更为灵活方便．[点评与警示]证明线面平行可以用几何法，也可以用向量法．用 (人教A版选修2­1，P118例4改编)如图1所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.证明：PA∥平面EDB. (人教A版选修2­1，P118例4改编)如图1所示[证明]方法一：如图2所示，连接AC，AC交BD于O.连接EO.因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO.而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB.所以，PA∥平面EDB.[证明]方法一：如图2所示，连接AC，AC交BD于O.空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件[证明]

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a.[证明]如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件

如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明面AED⊥面A1FD1.空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件(3)由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.[点评与警示]

用空间坐标运算证明“面面垂直”，一般先求出其中一个平面的一个法向量，然后证明它垂直于另一个平面的法向量．因为本例有(1)、(2)作铺垫，所以直接利用其结果便可．空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面ADE.(1)[证明]

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件空间向量的应用证明平行与垂直公开课一等奖课件

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面