人教版八年级数学上册-截长补短在几何计算与证明中的运用-专题课件

龙角初级中学--王淋燕“截长补短”在几何计算与证明中的运用龙角初级中学--王淋燕“截长补短”在几何计算与证明中的运用1cbacba2ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取一点P,使得AP=AB。(1)求证：

△ABD≌△APD解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴

∠BAD=∠PAD在△ABD和△APD中，

AB=AP

∠BAD=∠PAD

AD=AD

∴△ABD≌△APD（SAS），ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取3ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取一点P,使得AP=AB。(1)求证：

△ABD≌△APD

(2)若∠B=2∠C，求证：PD=PC解：

∵

△ABD≌△APD

∴

∠APD=∠B,

又∵

∠B=2∠C,

∴∠APD=2∠C

∴∠PDC=∠C

∴PD=PCABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取4ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取一点P,使得AP=AB。(1)求证：

△ABD≌△APD

(2)若∠B=2∠C，求证：PD=PC(3)求证：

AB+BD=AC

解：∵

△ABD≌△APD

∴PD=BD,又∵PD=PC

∴BD=PC,又∵

AB=AP

∴

AB+BD=AP+PC=ACABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取5解：

(1)∵

BF=BD

∴∠F=∠BDF而∠ABD=∠BDF+∠F

∴∠ABD=2∠F又∵∠ABD=2∠C

∴∠F

=∠C

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD

ABCDF在△ADF和△ADC中，∠F=∠C

∠BAD=∠CAD

AD=AD

∴△ADF≌△ADC（AAS）(2)∵

△ADF≌△ADC（AAS）

∴AF=AC,

∵

AF=AB+BF=AB+BD,

∴AB+BD=AC【变式练习】：已知AD是∆ABC的角平分线,

∠ABD=2∠C,延长AB至F,使BF=BD,连接DF。求证：

(1)

△ADF≌△ADC(2)AB+BD=AC解：(1)∵BF=BDABCDF在△ADF和△A6【变式练习】：如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：CD=AD+BC.【变式练习】：如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠1=∠27方法一：如图所示，可以在CD上截取线段DF＝AD，

再证明CB＝CF即可方法一：如图所示，可以在CD上截取线段DF＝AD，

8解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG在△DEG和△DEC中，DG=DC∠1=∠2DE=DE

∴△DEG≌△DEC（SAS），∴EG=EC,∠G=∠3∵

∠3=∠4∴∠G=∠3方法二：如图所示,延长DA至点G，使得DG＝DC，再证明AG＝BC即可∵AD∥BC

∴∠GAE=∠CBE在△GAE和△CBE中，∠G=∠4∠GAE=∠CBEEG=EC∴

△GAE≌△CBE（AAS），∴AG=BC∴DC=DG=DA+AG=DA+BC解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG方法二：如图所示,延9解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG在△DEG和△DEC中，DG=DC∠GDE=∠CDEDE=DE

∴△DEG≌△DEC（SAS），∴EG=EC,∠G=∠DCE∵

∠BCE=∠DCE∴∠G=∠BCE方法二：如图所示,延长DA至点G，使得DG＝DC，再证明AG＝BC即可∵AD∥BC

∴∠GAE=∠CBE在△GAE和△CBE中，∠G=∠BCE∠GAE=∠CBEEG=EC∴

△GAE≌△CBE（AAS），∴AG=BC∴DC=DG=DA+AG=DA+BC解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG方法二：如图所示,延10【展示提升】：

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF45°。

求证：EF=DE+BF

【展示提升】：

正方形ABCD中，点E在CD上，11三、自我小结：1、你在解题方法上有哪些收获？2、你还有哪些困惑？三、自我小结：1、你在解题方法上有哪些收获？12已知点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：MN=MB+NC．四、作业布置：已知点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，四13（三）展示提升：

已知：如图∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，

求证：∠BAP+∠BCP=180°AB+BC=2BD

（三）展示提升：

已知：如图∠1=∠2，P为BN上一点，且14人教版八年级数学上册-“截长补短“在几何计算与证明中的运用-专题课件15龙角初级中学--王淋燕“截长补短”在几何计算与证明中的运用龙角初级中学--王淋燕“截长补短”在几何计算与证明中的运用16cbacba17ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取一点P,使得AP=AB。(1)求证：

△ABD≌△APD解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴

∠BAD=∠PAD在△ABD和△APD中，

AB=AP

∠BAD=∠PAD

AD=AD

∴△ABD≌△APD（SAS），ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取18ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取一点P,使得AP=AB。(1)求证：

△ABD≌△APD

(2)若∠B=2∠C，求证：PD=PC解：

∵

△ABD≌△APD

∴

∠APD=∠B,

又∵

∠B=2∠C,

∴∠APD=2∠C

∴∠PDC=∠C

∴PD=PCABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取19ABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取一点P,使得AP=AB。(1)求证：

△ABD≌△APD

(2)若∠B=2∠C，求证：PD=PC(3)求证：

AB+BD=AC

解：∵

△ABD≌△APD

∴PD=BD,又∵PD=PC

∴BD=PC,又∵

AB=AP

∴

AB+BD=AP+PC=ACABCDP例1：已知AD是∆ABC的角平分线，在线段AC上取20解：

(1)∵

BF=BD

∴∠F=∠BDF而∠ABD=∠BDF+∠F

∴∠ABD=2∠F又∵∠ABD=2∠C

∴∠F

=∠C

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD

ABCDF在△ADF和△ADC中，∠F=∠C

∠BAD=∠CAD

AD=AD

∴△ADF≌△ADC（AAS）(2)∵

△ADF≌△ADC（AAS）

∴AF=AC,

∵

AF=AB+BF=AB+BD,

∴AB+BD=AC【变式练习】：已知AD是∆ABC的角平分线,

∠ABD=2∠C,延长AB至F,使BF=BD,连接DF。求证：

(1)

△ADF≌△ADC(2)AB+BD=AC解：(1)∵BF=BDABCDF在△ADF和△A21【变式练习】：如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：CD=AD+BC.【变式练习】：如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠1=∠222方法一：如图所示，可以在CD上截取线段DF＝AD，

再证明CB＝CF即可方法一：如图所示，可以在CD上截取线段DF＝AD，

23解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG在△DEG和△DEC中，DG=DC∠1=∠2DE=DE

∴△DEG≌△DEC（SAS），∴EG=EC,∠G=∠3∵

∠3=∠4∴∠G=∠3方法二：如图所示,延长DA至点G，使得DG＝DC，再证明AG＝BC即可∵AD∥BC

∴∠GAE=∠CBE在△GAE和△CBE中，∠G=∠4∠GAE=∠CBEEG=EC∴

△GAE≌△CBE（AAS），∴AG=BC∴DC=DG=DA+AG=DA+BC解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG方法二：如图所示,延24解：延长AD至G,使DG=DC,连接EG在△DEG和△DEC中，DG=DC∠GDE=∠CDEDE=DE

∴△DEG≌△DEC（SAS），∴EG=EC,∠G=∠DCE∵

∠BCE=∠DCE∴∠G=∠BCE方法二：如图所示,延长DA至点G，使得DG＝DC，再证明AG＝BC即可∵AD∥BC

∴∠GAE=∠CBE在△GAE和△CBE中，