《近世代数》教学大纲 - 《近世代数》课程教学大纲

《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、总则本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对 的概念有所理解。本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange分解环的方法。教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。二、课程说明课程基本情况（中文）近世代数（英文）AbstractAlgebra专业必修课适用对象：本科首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。考核形式：考试（闭卷）教学环境：课堂。章节内容章节内容教学时数第一章基本概念讲授10习题课2第二章第二章第三章第四章群论环与域整环里的因子分解201812442《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4四、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段。第二部分教学内容和教学要求一、基本概念（一） 、教学内容集合：子集与真子集，并集、交集。映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。结合律：结合律的定义。一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。同态：同态映射、同态满射。同构、自同构：同构映射、自同构。等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。（二） 教学基本要求1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是---映射。6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。8否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模的剩余类。二、群论（一）、教学内容群的定义：群的第一定义、群的第二定义，左、右单位元，左、右逆元的，群的阶，有限群和交 群的定义。群的同态：和一个群同态的非空集合也是一个群。在同态满射下，单位元的象也是单位元，元 a群的同态：和一个群同态的非空集合也是一个群。在同态满射下，单位元的象也是单位元，元 a逆元的象是a的象的逆。循环群：循环群、生成元。整数加群，剩余类加群，生成元的阶。变换群：恒等变换，集合的若干个变换（包含恒等变换）构成的集合作成群，变换群的定义与基 定理。置换群：置换、置换群，对称群，k-循环置换，循环置换的乘积，有限群与置换群的关系。子群：子群的定义，子集成群的充分必要条件，有限子集成群的充分必要条件，S生成的子群。子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集个数的关系。指数，Lagrange定理，有限群中群的阶和兀的阶的关系。不变子群、商群：不变子群、商群。难点：变换群、子群的陪集、商群。（二）、教学基本要求1、了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。2、充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。3、了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。4并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元aa的象的逆。5循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。6、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。7、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个 n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。8、了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。9、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。10、了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的吧，=G/N定义，了解N的阶 的意义及其应用。11、能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之 子群或不变子群的象的性质。并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中。三、环与域（一）、教学内容加群、环的定义：加群、负元、零元，环。交换律、单位元、零因子、整环：交换律、交换环，单位元、零因子、整环。除环、域：除环、域，除环的乘群，四元数除环。无零因子环的特征：没有零因子的环的性质，特征的定义，整环、除环以及域的特征的性质。子环、环的同态：子环、子除环，子整域、子域，同态环或子环的性质，同构环的性质。多项式环：多项式、系数，多项式环，未定元，次数，多项式的系数、无关未定兀。理想：理想子环，零理想，单位理想，主理想。剩余类环、同态与理想：模U最大理想：最大理想。重点：环、域，理想。难点：环的同态，最大理想，商域。（二）、教学基本要求1、掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则。2、理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。3、了解除环的定义，与能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系，理顺环一交换环、有单位元 和无零因子环一整环、除环——域的关系。4、熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质5、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉子除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。6、了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。7、理解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。8、理解一个环的所有模H的剩余类作成的集合也是环，且与原来的环同态。了解在同态映射下的两个环相互之间的关系、性质。9、了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。10、 掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也 构的定理。四、整环里的因子分解（一）、教学内容素元、唯一分解：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。唯一分解环：唯一分解环，唯一分解环的性质。公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。主理想环：主理想环，主理想和最大理想、分解环的关系。重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。难点：唯一分解环，主理想、最大理想，欧氏环。（二）、教学基本要求1、了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。2、知道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判别唯一分解环的方法。3、理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。4是一个欧氏环。5进一步的认识。6、了解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和推论。第三部分几点说明1、近世代数是一门十分活跃又发展迅速的学科，它的概念众多、内容丰富，作为一门基础课，又限于教学时数，只能择其最基础的概念和基本的内容。因此，有的课本就名曰《近世代数基础》。本大纲也是着眼这一基础。2、 高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，本课程的讲授中，应多讲实例以仕解高度的抽象，并举一些适当的反例，以加深对概念的正确理解。3、 近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此 ,适当布置习题是必要的，但为克服做习题的困难，也应适当的上点习题课。4、 伽罗华(Galois)理论，是近世代数发展的源泉之一，代数方程能否用根式解，就是伽罗华理论彻底解决的，因此了解伽罗华理论才显示出近世代数抽象的巨大作