《计量经济分析方法与建模》第二版课件-第09章-向量自回归和向量误差修正模型

第九章向量自回归和误差修正模型传统的经济计量方法是以经济理论为根底来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并缺乏以对变量之间的动态联系供给一个严密的说明，而且内生变量既可以消失在方程的左端又可以消失在方程的右端使得估量和推断变得更加简单。为了解决这些问题而消失了一种用非构造性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，VAR)和向量误差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非构造化的多方程模型。1向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中全部内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与猜测最简洁操作的模型之一，并且在肯定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。§9.1向量自回归理论

2VAR(p)模型的数学表达式是

(9.1.1)其中：yt是k维内生变量列向量，xt是d维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。kk维矩阵1，…，p和kd维矩阵H是待估量的系数矩阵。t是k维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设是t的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以开放表示为9.1.1VAR模型的一般表示

3(9.1.2)

即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由k个方程组成。4其中，ci,aij,bij是要被估量的参数。也可表示成：例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量〔IP〕和货币供给量〔M1〕联合地由一个双变量的VAR模型打算。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：5一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestrictedVAR)。冲击向量t是白噪声向量，由于t没有构造性的含义，被称为简化形式的冲击向量。为了表达便利，下面考虑的VAR模型都是不含常数项的非限制向量自回归模型，用下式表示

或(9.1.5)6假设行列式det[(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA(∞))形式(9.1.6)其中7对VAR模型的估量可以通过最小二乘法来进展，假设对矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得矩阵的估量量为(9.1.7)其中：当VAR的参数估量出来之后，由于(L)A(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估量。8由于仅仅有内生变量的滞后值消失在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用一般最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的全都且有效的估量量。即使扰动向量t有同期相关，OLS仍旧是有效的，由于全部的方程有一样的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。留意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消退，所以扰动项序列不相关的假设并不要求特别严格。9例9.1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了争论货币供给量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其奉献度，依据我国1995年1季度～2023年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为CPI_90(1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)为ln(gdp)、实际M1的对数ln(M1/CPI_90)为ln(m1)和实际利率rr(一年期存款利率R-CPI〕。

10利用VAR(p)模型对ln(gdp)，ln(m1)和rr，3个变量之间的关系进展实证争论，其中实际GDP和实际M1以对数差分的形式消失在模型中，而实际利率没有取对数。11EViews软件中VAR模型的建立和估量1．建立VAR模型为了创立一个VAR对象，应选择Quick/EstimateVAR…或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入var。便会消失以下图的对话框(以例9.1为例)：12可以在对话框内添入相应的信息：(1)选择模型类型〔VARType〕：无约束向量自回归〔UnrestrictedVAR〕或者向量误差修正〔VectorErrorCorrection〕。无约束VAR模型是指VAR模型的简化式。

(2)在EstimationSample编辑框中设置样本区间

13(3)输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，说明哪些滞后变量应当被包括在每个等式的右端。这一信息应当成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对14表示用系统中全部内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：24691212即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。14(4)在EndogenousVariables编辑栏中输入相应的内生变量(5)在ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量EViews允许VAR模型中包含外生变量，其中xt是d维外生变量向量,kd维矩阵H是要被估量的系数矩阵。可以在ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量。其余两个菜单〔Cointegration和Restrictions〕仅与VEC模型有关，将在下面介绍。152．VAR估量的输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估量结果：16表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估量值、估量系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(log(M1_TC_P))的方程中RR_TC(-1)的系数是-0.001195。同时，有两类回归统计量消失在VAR对象估量输出的底部：17输出的第一局部显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。依据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。输出的其次局部显示的是VAR模型的回归统计量。18残差的协方差的行列式值(自由度调整)由下式得出：其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减m。是k维残差列向量。通过假定听从多元正态〔高斯〕分布计算对数似然值：

AIC和SC两个信息准则的计算将在后文具体说明。

19例9.1结果如下：

尽管有几个系数不是很显著，我们仍旧选择滞后阶数为2。3个方程拟合优度分别为：

可以利用这个模型进展猜测及下一步的分析。20

同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei

表示第i个方程的残差，i

=1，2，3。其结果如表9.1所示。

表9.1残差的同期相关矩阵

e1e2e3e110.007-0.42e20.00710.21e3-0.420.21121从表中可以看到实际利率rr、实际M1的ln(m1)方程和实际GDP的ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步说明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估量量是全都估量量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。229.1.2构造VAR模型(SVAR)在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的准确形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐蔽在误差项的相关构造之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。本节要介绍的构造VAR模型(StructuralVAR，SVAR)，实际是指VAR模型的构造式，即在模型中包含变量之间的当期关系。23

1．两变量的SVAR模型

为了明确变量间的当期关系，首先来争论两变量的VAR模型构造式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型构造式可以表示为下式(9.1.8)24在模型(9.1.8)中假设：〔1〕随机误差uxt和uzt是白噪声序列，不失一般性，假设方差x2=z2=1；〔2〕随机误差uxt和uzt之间不相关，cov(uxt,uzt)=0。式(9.1.8)一般称为一阶构造向量自回归模型(SVAR(1))。25它是一种构造式经济模型，引入了变量之间的作用与反响作用，其中系数c12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用，21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。虽然uxt和uzt是单纯消失在xt和zt中的随机冲击，但假设c210，则作用在xt上的随机冲击uxt通过对xt的影响，能够即时传到变量zt上，这是一种间接的即时影响；同样，假设c120，则作用在zt上的随机冲击uzt也可以对xt产生间接的即时影响。冲击的交互影响表达了变量作用的双向和反响关系。26为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式该模型可以简洁地表示为(9.1.9)27假设C0可逆，可导出简化式方程为其中(9.1.10)28从而可以看到，简化式扰动项t是构造式扰动项ut的线性组合，因此代表一种复合冲击。由于uxt和uzt是不相关的白噪声序列，则可以断定上述1t和2t也是白噪声序列，并且均值和方差为29同期的1t和2t之间的协方差为

从式(9.1.11)可以看出当c12≠0或c21≠0时，VAR模型简化式中的扰动项不再像构造式中那样不相关，正如例9.1中的表9.1所显示的状况。当c12=c21=0时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0，相当于对C0矩阵施加约束。(9.1.11)30

2．多变量的SVAR模型下面考虑k个变量的情形，p阶构造向量自回归模型SVAR(p)为(9.1.13)其中：,,

31

可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式(9.1.14)其中：C(L)=C01L2L2…pLp，C(L)是滞后算子L的kk的参数矩阵，C0Ik。需要留意的是，本书争论的SVAR模型，C0矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。假设C0是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。32不失一般性，在式(9.1.14)假定构造式误差项(构造冲击)ut的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，假设矩阵多项式C(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA(∞)形式其中：(9.1.15)33式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，由于其中全部内生变量都表示为ut的分布滞后形式。而且构造冲击ut是不行直接观测得到，需要通过yt各元素的响应才可观测到。可以通过估量式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到构造冲击ut。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到(9.1.16)34

上式对于任意的t都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于A0=Ik，可得式(9.1.17)两端平方取期望，可得

所以我们可以通过对B0施加约束来识别SVAR模型。由式

5)，有(9.1.17)(9.1.18)359.2构造VAR(SVAR)模型的识别条件前面已经提到，在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐蔽在误差项的相关关系的构造中。自Sims的争论开头，VAR模型在很多争论领域取得了成功，在一些争论课题中，VAR模型取代了传统的联立方程模型，被证明为有用且有效的统计方法。然而，VAR模型存在参数过多的问题，如式(9.1.1)中，一共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极大似然估量得到满足的估量结果。36为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了很多方法。这些方法的动身点都是通过对参数空间施加约束条件从而削减所估量的参数。SVAR模型就是这些方法中较为成功的一种。9.2.1VAR模型的识别条件

在经济模型的构造式和简化式之间进展转化时，常常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估量得到相应的构造式参数。37对于k元p阶简化VAR模型利用极大似然方法，需要估量的参数个数为(9.2.1)(9.2.2)而对于相应的k元p阶的SVAR模型来说，需要估量的参数个数为(9.2.4)(9.2.3)38要想得到构造式模型惟一的估量参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比构造式的未知参数多(识别的阶条件和秩条件的具体介绍请参见第12章的“12.1.2联立方程模型的识别”)。因此，假设不对构造式参数加以限制，将消失模型不行识别的问题。对于k元p阶SVAR模型，需要对构造式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加k(k-1)/2个限制条件才能估量出构造式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。399.2.2SVAR模型的约束形式为了具体说明SVAR模型的约束形成，从式(9.1.16)和式(9.1.17)动身，可以得到其中A(L)、B(L)分别是VAR模型和SVAR模型相应的VMA(∞)模型的滞后算子式，B0=C0-1，这就隐含着

(9.2.5),i=0，1，2，…(9.2.6)40因此，只需要对B0进展约束，就可以识别整个构造系统。假设B0是的，可以通过估量式(9.1.17)和式(9.2.6)特别简洁的得到滞后多项式的构造系数和构造新息ut。在有关SVAR模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和构造冲击之间有意义的长期和短期关系。41

1.短期约束短期约束通常直接施加在矩阵B0上，表示经济变量对构造冲击的同期响应，常见的可识别约束是简洁的0约束排解方法。〔1〕通过Cholesky-分解建立递归形式的短期约束Sims提出访B0矩阵的上三角为0的约束方法，这是一个简洁的对协方差矩阵的Cholesky-分解。下面，首先介绍Cholesky-分解的根本思想

42

Cholesky(乔利斯基)分解

对于任意实对称正定矩阵

，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵G和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵Q使得：利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut，构造方法为

ut=G-1t，设

(9.2.7)43则由于Q是对角矩阵，可得ut的元素互不相关，其〔j,j〕元素是ujt的方差。令Q1/2表示其〔j,j〕元素为ujt标准差的对角矩阵。留意到式(9.2.7)可写为(9.2.8)其中P=GQ1/2是一个下三角矩阵。式(9.2.8)被称为Cholesky(乔利斯基)分解。44Sims施加约束的根本过程是：由于是正定矩阵，所以可得到Cholesky因子P，即PP=。而且，当给定矩阵时，Cholesky因子P是惟一确定的。对于VAR模型，其中VWN(0k,)表示均值为0k，协方差矩阵为的白噪声向量，这里0k表示k维零向量。上式两边都乘以P1，得到45其中：ut=P-1t。由于

(9.2.9)(9.2.10)

所以ut是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即ut~

VMN(0k,Ik)。

46

在向量t中的各元素可能是当期相关的，而向量

ut中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量yt变动的最终因素。由式(9.2.9)还可以得出其中

,,(9.2.11)47很明显，C0是下三角矩阵。这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来，得到的正交VMA(∞)表示(或Wold表示)形式为其中：Bi=AiP，B0=P。留意到B0=P，所以冲击ut对yt中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子P打算的。(9.2.12)48更需要留意的是，由于P是下三角矩阵，由式(9.2.9)可知，这要求向量yt中的y2t，…，ykt的当期值对第一个重量y1t没有影响，因此Cholesky分解因子P的打算和VAR模型中变量的次序有关，而且在给定变量次序的模型中，Cholesky分解因子矩阵P是惟一的。综上所述，可知只要式(9.1.13)中的C0是主对角线元素为1的下三角矩阵，则SVAR模型是一种递归模型，而且是恰好识别的。49〔2〕依据经济理论假设的短期约束但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只要满足式(9.1.18)：约束可以施加给B0的任何元素。同时，由式(9.1.15)可知，SVAR模型中的同期表示矩阵C0是B0的逆，即B0=C0-1，因此也可以通过对C0施加限制条件实现短期约束。

50

2.长期约束

关于长期约束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在构造VMA(∞)模型的系数矩阵Bi(i=1，2，…)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对i=0Bi的第i行第j列元素施加约束，典型的是0约束形式，表示第i个变量对第j个变量的累积乘数影响为0。关于长期约束更具体的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。51在EViews中如何估量SVAR模型在VAR估量窗口中选择：Procs/EstimateStructuralFactorization即可。下面对这一操作进展具体说明：假设在EViews中SVAR模型为：(9.8.3)其中et，ut是k维向量，et是简化式的残差，相当于前文的t，而ut是构造新息(构造式残差)。A、B是待估量的kk矩阵。简化式残差et的协方差矩阵为52例9.2基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析货币政策主要指中心银行通过调整利率和货币供给量，影响投资、社会需求及总支出，进而对经济增长产生作用。凯恩斯学派和货币主义学派都成认货币供给量对经济有影响，虽然途径不一样，但都是诱发经济波动的主要缘由。为了验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，例9.1使用了VAR模型，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐蔽在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的SVAR模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先，依据式〔〕建立3变量的SVAR(2)模型，其形式如下：t=1，2，…，T(9.2.13)53其中A、B参数矩阵及向量分别为，，(9.2.14),其中t是VAR模型的扰动项，u1t、u2t和u3t分别表示作用在实际利率rr、Δln(m1)和Δln(gdp)上的构造式冲击，即构造式扰动项，ut～VMN(0k,Ik)。一般而言，简化式扰动项t是构造式扰动项ut的线性组合，因此代表一种复合冲击。54模型中有3个内生变量，因此至少需要施加2k2k(k+1)/2=12个约束才能使得SVAR模型满足可识别条件。本例中约束B矩阵〔即B0矩阵〕是单位矩阵，A矩阵〔即A0矩阵〕对角线元素为1，相当于施加了k2+k个约束条件。依据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：(1)实际利率对当期货币供给量的变化没有反响，即a12=0；(2)实际利率对当期GDP的变化没有反响，即a13=0。55

1.用矩阵模式表示的短期约束

在很多问题中，对于A、B矩阵的可识别约束是简洁的排解0约束。在这种状况下，可以通过创立矩阵指定A、B的约束，矩阵中想估量的未知元素定义为缺省值NA，在矩阵中全部非缺省的值被固定为某一指定的值。例如：对于例9.2，(9.2.14)的简化式扰动项和构造式扰动项的关系为At=ut，对于k=3个变量的SVAR模型，其矩阵模式可定义为：56一旦创立了矩阵，从VAR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization，在以下图所示的SVAROptions的对话框中，击中Matrix按钮和Short-RunPattern按钮，并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。57

2.用文本形式表示的短期约束对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet=But并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估量的元素必需是系数向量中被指定的元素。例如：像上例所假定的一样，对于有3个变量的SVAR模型，约束A矩阵为C0矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet=ut的关系式可以写为下面的形式。58为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择Procs/EstimateStructureFactorization…，并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：@e1t

=@

u1t

@

e2t

=c(1)@

e1t+

@u2t+c(4)

@

e3t

@e3t

=c(2)@

e1t+

c(3)

@

e2t+

@u3t

5960特殊的关键符“@e1”，“@e2”，“@e3”分别代表et(即t)向量中的第一、其次、第三个元素，而“@u1”，“@u2”，“@u3”分别代表ut向量中的第一、其次、第三个元素。在这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量c中的元素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。614.A、B矩阵的估量一旦供给了上述所描述的任何一种形式的可识别约束，单击SVAROptions对话框的OK按钮，就可以估量A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的构造选项，必需先估量这两个矩阵。假定扰动项是多元正态的，EViews使用极大似然估量法估量A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。62①最优化掌握(OptimizationControl)最优化过程掌握的选项在SVAROptions对话框的OptimizationControl栏下供给。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。63②估量的输出一旦估量收敛，EViews会在VAR对象窗口中显示估量的结果，包括：估量值、标准误差和被估量无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。基于被估量的信息矩阵的逆〔Hessian的负的期望值〕所估量的标准误差在最终的估量中计算。6465在模型(9.2.13)满足可识别条件的状况下，我们可以使用完全信息极大似然方法〔FIML〕估量得到SVAR模型的全部未知参数，从而可得矩阵A及t和ut的线性组合的估量结果如下〔设VAR模型的估量残差=et〕：或者可以表示为本章将在例9.5中，利用脉冲响应函数争论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。66无论建立什么模型，都要对其进展识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简洁介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型〔VEC〕也适用。9.3.1Granger因果检验VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节争论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。9.3VAR模型的检验和过程

671.Granger因果关系的定义Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，参加x的滞后值是否使解释程度提高。假设x在y的猜测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由xGranger引起的”。考虑对yt进展s期猜测的均方误差〔MSE〕：(9.3.1)68这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger因果定义：假设关于全部的s>0，基于(yt，yt-1，…)猜测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)两者得到的yt+s的均方误差一样，则y不是由xGranger引起的。对于线性函数，假设有可以得出结论：x不能Granger引起y。等价的，假设(9.3.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思一样的第三种表达方式是x关于将来的y无线性影响信息。(9.3.2)69可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从(t1)至(tp)期的全部信息，得到yt的最优猜测如下：(9.3.3)VAR(p)模型中Granger因果关系犹如两变量的情形，可以推断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是(9.3.4)其中是的第i行第j列的元素。702.Granger因果关系检验Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量假设受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。71在一个二元p阶的VAR模型中

(9.3.5)

当且仅当系数矩阵中的系数全部为0时，变量x不能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。72这时，推断Granger缘由的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：H0:H1:至少存在一个q使得其统计量为

(9.3.6)假设S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则承受原假设：x不能Granger引起y。73其中：RSS1是式(9.3.5)中y方程的残差平方和：(9.3.7)RSS0是不含x的滞后变量，即如下方程的残差平方和：

(9.3.8)则有

(9.3.9)74在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(9.3.6)具有准确的F分布。假设回归模型形式是如式(9.3.5)的VAR模型，一个渐近等价检验可由下式给出：(9.3.10)留意，S2听从自由度为p的2分布。假设S2大于2的临界值，则拒绝原假设；否则承受原假设：x不能Granger引起y。而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度p的选择有关。75在EViews中Granger因果检验的操作选择View/LagStructure/GrangerCausalityTests，即可进展Granger因果检验。

76输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2(Wald)统计量，在表的最终一行(ALL)列出了检验全部滞后内生变量联合显著的2统计量。对例9.1进展检验，其结果如下：77同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进展检验可得如下结果：78为了使两个结果具有可比性，选择了一样的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在VAR中用的是2统计量，而在Group中使用的是F统计量。但是含义是一样的。

79例9.3Granger因果检验早期争论觉察，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用构造变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：假设在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将消失显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的力量，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。80依据实际状况，利用例9.1的数据，基于VAR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表9.2所示。原假设2统计量自由度P值rr方程实际M1不能Granger引起实际利率4.16

20.1252

实际GDP不能Granger引起实际利率4.20

20.1224

实际M1、实际GDP不能同时Granger引起实际利率6.87

40.1428

Δln(m1)方程实际利率不能Granger引起实际M18.21

20.0165

实际GDP不能Granger引起实际M16.62

20.0366

实际利率、实际GDP不能同时Granger引起实际M115.15

40.0044

Δln(gdp)方程实际利率不能Granger引起实际GDP1.17

20.5584实际M1不能Granger引起实际GDP2.42

20.2982

实际利率、实际M1不能同时Granger引起实际GDP3.53

40.4734

81从表9.2的结果可以看到：在实际利率方程中，不能拒绝实际M1、实际GDP不是实际利率的Granger缘由的原假设，而且两者的联合检验也不能拒绝原假设，说明实际利率外生于系统，这与我国实行固定利率制度是相吻合的。而在实际M1的方程中，无论单个变量的Granger因果检验，还是联合检验在5%的显著性水平下都不能承受原假设。在第三个方程(即实际GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为0.2982，这可能是由于我国内需缺乏，大局部商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价风格整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出的影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的转变，导致其影响作用消失了抵消和中和，因此实际M1对实际GDP没有显著的影响。82VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数确实定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后阶数越大，需要估量的参数也就越多，模型的自由度就削减。所以通常进展选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会觉察，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的抱负数目。9.3.2滞后阶数p确实定83

1.确定滞后阶数的LR(似然比)检验

(9.3.11)LR(LikelihoodRatio)检验方法，从最大的滞后阶数开头，检验原假设：在滞后阶数为j时，系数矩阵j的元素均为0；备择假设为：系数矩阵j中至少有一个元素显著不为0。2(Wald)统计量如下：其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m=d+kj，d是外生变量的个数，k是内生变量个数，和分别表示滞后阶数为(j–1)和j的VAR模型的残差协方差矩阵的估量。84从最大滞后阶数开头，比较LR统计量和5%水平下的临界值，假设LR时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估量值；否则，承受原假设。每次削减一个滞后阶数，直到拒绝原假设。2．AIC信息准则和SC准则实际争论中，大家比较常用的方法还有AIC信息准则和SC信息准则，其计算方法可由下式给出：85其中在VAR模型(9.1.1)中n=k(d+pk)是被估量的参数的总数，k是内生变量个数，T是样本长度，d是外生变量的个数，p是滞后阶数，l是由下式确定的(9.3.12)(9.3.13)(9.3.14)86在EViews软件中滞后阶数p确实定一旦完成VAR模型的估量，在窗口中选择View/LagStructure/LagLengthCriteria，87需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准〔假设在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开头，否则从0开头〕。表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在4～7列中，是在标准值最小的状况下所选的滞后数。为了确定例9.1中模型的适宜滞后长度p，默认的滞后阶数为4，得到如下的结果：8889在EViews软件关于VAR模型的其他检验一旦完成VAR模型的估量，EViews会供给关于被估量的VAR模型的各种视图。将主要介绍View/LagStructure和View/ResidualTests菜单下供给的检验。90

1.AR根的图表假设被估量的VAR模型全部根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，则其是稳定的。假设模型不稳定，某些结果将不是有效的〔如脉冲响应函数的标准误差〕。共有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。假设估量一个有r个协整关系的VEC模型，则应有kr个根等于1。对于例9.1，可以得到如下的结果：91全部的单位根的模大于1，因此例9.1的模型满足稳定性条件。92下面给出单位根的图形表示的结果：932．VAR残差检验(1)相关图(Correlogram)显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的穿插相关图〔样本自相关〕。(2)混合的自相关检验(PortmanteauAutocorrelationTest)计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-BoxQ统计量。(3)自相关LM检验(AutocorrelationLMTest)计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。(4)正态性检验(NormalityTest)(5)White异方差检验(WhiteHeteroskedasticityTest)94

9.3.3VAR模型的过程

VAR对象的过程(Procs)中多数的过程和系统对象(System)的过程一样在这里仅就对VAR模型特有的过程进展争论。建立系统(MakeSystem)这个菜单产生一个与VAR对象设定等价的系统对象。假设要估量一个非标准的VAR模型，可以通过这个过程尽快的在系统对象中设定一个VAR模型，并可以依据模型的需要进展修改。例如，VAR对象要求每一个方程有一样的滞后构造，但也可以放宽这个条件。为了估量一个非平衡滞后构造的VAR模型，用MakeSystem可以产生一个具有平衡滞后构造的VAR系统，然后编辑系统以满足所需要的滞后要求。95①按变量次序(ByVariable)：该选项产生一个系统，其具体的说明和系数的显示是以变量的次序来显示。假设想排解系统某些方程中特定变量的滞后，可以选用这个选项。96②按滞后阶数(ByLag)：产生一个以滞后阶数的次序来显示其具体的说明和系数的系统。假设想排解系统某些方程中特定的滞后阶数来进展编辑，可以用这个选项。留意：标准VAR模型可以用单方程OLS方法来有效地估量，对于调整后的系统一般不能使用OLS。当用系统对象估量非标准的VAR模型时，可以使用更简单的系统估量方法〔如：SUR方法〕。97

在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulseresponsefunction，IRF)。9.4脉冲响应函数

98用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。下面先依据两变量的VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的根本思想。9.4.1脉冲响应函数的根本思想(9.4.1)其中，ai，bi，ci，di是参数，t=(1t,2t)

是扰动项，假定是具有下面这样性质的白噪声向量：

99(9.4.2)假定上述系统从０期开头活动，且设x-1=x-2=z-1=z-2=0，又设于第０期给定了扰动项10=1，20=0，并且其后均为０，即1t=2t=0(t＝1，2，…)，称此为第０期给x以脉冲。100下面争论xt与zt的响应，t=0时：将其结果代入式(9.4.1)，当t=1时再把此结果代入式(9.4.1)，当t

=2时

连续这样计算下去，设求得结果为称为由x的脉冲引起的x的响应函数。同时所求得101称为由x的脉冲引起的z的响应函数。固然，第０期的脉冲反过来，从10=0，20=1动身，可以求出由z的脉冲引起的x的响应函数和z的响应函数。由于以上这样的脉冲响应函数明显地捕获对冲击的效果，所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。102将上述争论推广到多变量的VAR(p)模型上去，由式(9.1.5)可得9.4.2VAR模型的脉冲响应函数

(9.4.3)VMA(∞)表达式的系数可按下面的方式给出，由于VAR(p)的系数矩阵i和VMA(∞)的系数矩阵Ai必需满足下面关系：103(9.4.4)(9.4.5)其中：K1=K2=…=0。关于Kq的条件递归定义了MA系数：

(9.4.6)104考虑VMA(∞)的表达式yt的第i个变量yit可以写成：其中k是变量个数。(9.4.7)(9.4.8)105

仅考虑两个变量的情形：，

q=0,1,2,…，i

,j=1,2

现在假定在基期给y1一个单位的脉冲，即：

(9.4.9)106–2–1012345………t则由

y1的脉冲引起的y2的响应函数为107

因此，一般地，由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下：

且由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为108Aq的第i行、第j列元素还可以表示为：(9.4.10)作为q的函数，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的状况下yi,t+q对yjt的一个冲击的反响(对应于经济学中的乘数效应)，我们把它称作脉冲—响应函数。也可以用矩阵的形式表示为(9.4.11)即Aq的第i行第j列元素等于时期t第j个变量的扰动项增加一个单位，而其他时期的扰动为常数时，对时期t+q的第i个变量值的影响。

109一般地，假设冲击不是一单位，假定t的第一个元素变化1，其次个元素变化2，…，第k个元素变化k，则时期t冲击为(1,2,…,k)，而t到t+q的其他时期没有冲击，向量yt+q的响应表示为q=0，1，…(9.4.12)其中t-1表示t-1期的信息集合。但是对于上述脉冲响应函数的结果的解释却存在一个问题：前面我们假设协方差矩阵是非对角矩阵，这意味着扰动项向量t中的其他元素随着第j个元素jt的变化而变化，这与计算脉冲响应函数时假定jt变化，而t中其他元素不变化相冲突。这就需要利用一个正交化的脉冲响应函数来解决这个问题。110常用的正交化方法是Cholesky分解，由式〔〕和式〔〕可知，在时期t，其他变量和早期变量不变的状况下yt+q对yjt的一个单位冲击的反响为(9.4.13)其中Pj表示式(9.2.8)中Cholesky分解得到的P矩阵的第j列元素。由前面的争论可知矩阵P的选择与变量次序有关。1119.4.3广义脉冲响应函数VAR模型的动态分析一般承受“正交”脉冲响应函数来实现，而正交化通常承受式〔〕形式的Cholesky分解完成，但是Cholesky分解的结果严格的依靠于模型中变量的次序。本节介绍的由Koop等〔1996〕年提出的广义脉冲响应函数抑制了上述缺点。考虑式(9.4.3)形式的VAR模型，其中扰动项满足式(9.4.2)的假定，且其方差协方差矩阵Σ是正定矩阵，扰动项之间可以存在同期相关关系，即Σ不肯定是对角矩阵，则式〔〕不能成立。112在式〔〕中假定冲击不是发生在全部的变量上，只是发生在第j个变量上，则有q=0，1，…(9.4.14)其中t-1表示t-1期的信息集合。由于不是对角矩阵，意味着t各元素之间存在同期相关关系，则给jt一个冲击，t中的其它元素同期也会发生变化，因此，为了得到式〔〕的结果，需要首先计算由于jt的变化而引起的t中其他元素同期发生的变化，此时，假定t听从多元正态分布，则

(9.4.15)其中，表示t协方差矩阵的第j列元素，113变量j的冲击引起的向量yt+q的响应为：

(9.4.16)假设设(9.4.17)则响应的广义脉冲响应函数为(9.4.18)当协方差矩阵是对角矩阵时，正交脉冲与广义脉冲的结果是全都的。当协方差矩阵是非对角矩阵时，Cholesky正交脉冲与广义脉冲只在j=1时相等114本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量，利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。分别用y1表示钢材销售收入；y2表示建材销售收入y3表示汽车销售收入；y4表示机械销售收入；y5表示家电销售收入。样本区间为1999年1月～2023年12月，所承受数据均作了季节调整，指标名后加上后缀sa，并进展了协整检验，存在协整关系，这说明，所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。例9.4钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应115

脉冲响应函数在EViews软件中的实现为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/ImpulseResponse…或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display和ImpulseDefinition。1161.Display菜单供给以下选项：(1)显示形式〔DisplayFormat〕选择以图或表来显示结果。假设选择CombinedGraphs则ResponseStandardError选项是灰色，不显示标准误差。而且应留意：输出表的格式是按响应变量的挨次显示，而不是按脉冲变量的挨次。(2)显示信息〔DisplayInformation〕输入产生冲击的变量〔Impulses〕和希望观看其脉冲响应的变量〔Responses〕。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。117例如，假设VAR模型以GDP、M1、CPI的形式定义，则既可以以：GDPCPIM1的形式输入，也可以以132的形式输入。输入变量的挨次仅仅影响结果的显示。还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数。假设想显示累计的响应，则需要单击AccumulateResponse选项。对于稳定的VAR模型，脉冲响应函数应趋向于0，且累计响应应趋向于某些非0常数。118(3)脉冲响应标准差〔ResponseStandardError〕供给计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或MonteCarlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型〔VEC〕一般不肯定有效。假设选择了MonteCarlo，还需在下面的编辑框确定适宜的迭代次数。假设选择表的格式，被估量的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示。假设选择以多图来显示结果，曲线图将包括关于脉冲相应的正负〔+/-〕两个标准偏离带。在CombinedGraphs中将不显示标准误差偏离带。1192.ImpulseDefinition菜单供给了转换脉冲的选项：(1)Residual-OneUnit设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项无视了VAR模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA(∞)模型的系数。(2)Residual-OneStd.Dev设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项无视了VAR模型残差的相关性。120(3)Cholesky分解用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。这个选项为VAR模型的变量强加一个次序，并将全部影响变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次消失的变量上。留意：假设转变变量的次序，将会明显地转变响应结果。可以在CholeskyOrdering的编辑框中重新定义VAR模型中变量的次序。

121Cholesky分解有2种选择：a.有自由度调整〔d.f.adjustment〕：在估量的残差协方差矩阵利用Cholesky因子时进展小样本的自由度修正。具有自由度修正的残差协方差矩阵的第(i,j)元素的计算是按以下公式计算的：

其中m是VAR模型中每一个方程中待估量参数的个数。b.没有自由度调整〔nod.f.adjustment〕：估量残差协方差矩阵的第(i,j)元素的计算是按以下公式计算的：122(5)构造分解〔StructuralDecomposition〕用构造因子分解矩阵估量的正交转换矩阵。假设没有先估量一个构造因子分解矩阵，或者没有对模型施加约束，这个选项不能用。(4)广义脉冲〔GeneralizedImpulses〕描述Pesaran和Shin(1998)构建的不依靠于VAR模型中变量次序的正交的残差矩阵。应用按上面的Cholesky挨次计算的第j个变量的Cholesky因子得到第j个变量的扰动项的广义脉冲响应。123(6)用户指定〔UserSpecified〕这个选项允许用户定义脉冲。建立一个包含脉冲的矩阵〔或向量〕，并在编辑框中输入矩阵的名字。假设VAR模型中有k个内生变量，则脉冲矩阵必需是k行和1列或k列的矩阵，每一列代表一个脉冲向量。例如：一个有k〔=3〕个变量的VAR模型，希望同步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击，给其次个变量一个负的一个单位的冲击，可以建立一个31的脉冲矩阵S，其值分别为：1，1，0。在编辑框中键入矩阵的名字:S。124例9.4建立5变量的VAR(3)模型，下面分别给各下游行业销售收入一个冲击〔选择广义脉冲〕，得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图。在以下各图中，横轴表示冲击作用的响应期间数(单位：月度)，纵轴表示钢材销售收入(亿元)，实线表示脉冲响应函数，代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反响，虚线表示正负两倍标准差偏离带。125y1：钢材；y2：建材；y3：汽车；y4：机械；y5：家电126从第一个图中可以看出，当在本期给建材行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前4期内小幅上下波动之后在第6期到达最高点(=12.03，即在第6期y1对y2的响应是12.03)；从第9期以后开头稳定增长。这说明建材行业受外部条件的某一冲击后，经市场传递给钢铁行业，给钢铁行业带来同向的冲击，而且这一冲击具有显著的促进作用和较长的持续效应。从其次幅图中可以看出，当在本期给汽车行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前5期内会上下波动；从第5期以后开头稳定增长(=1.76)。这说明汽车行业的某一冲击也会给钢铁行业带来同向的冲击，即汽车行业销售收入增加会在5个月后对钢材的销售收入产生稳定的拉动作用。127

从第三幅图中可以看出，机械行业销售收入的正冲击经市场传递也会给钢材销售收入带来正面的影响，并且此影响具有较长的持续效应。从第四幅图中可以看出当在本期给家电行业销售收入一个正冲击后，也会给钢材销售收入带来正面的冲击，但是冲击幅度不是很大。综上所述，由于市场化程度、政府爱护政策等各方面的缘由，使得各下游相关行业的外部冲击会通过市场给钢铁行业带来不同程度的影响，但是都是同向的影响。政府可以利用这种现象，对市场进展有区分、有重点的调整，削减盲目的重复建设工程。128

为了解决VAR模型脉冲响应函数非正交化的问题，由Cholesky分解可将正定的协方差矩阵

分解为其中G是下三角形矩阵，Q惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵。利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut，构造方法为

ut=G1t，则t=Gut，因此VMA(∞)可以表示为9.4.3SVAR模型的脉冲响应函数

9)129则由式(9.4.10)和式(9.4.11)可导出一个正交的脉冲响应函数

(9.4.20)上式表示Bq的第i行、第j列元素(q=0，1，…)，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的状况下yi,t+q对yjt的一个构造冲击的反响。130

同样由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为

不失一般性，对于一个n元的SVAR(p)模型，由式(9.1.15)可得SVAR模型的脉冲响应函数为(9.4.21)131则其累积脉冲响应函数矩阵〔〕可表示为(9.4.24)则的第i行第j列元素表示第i个变量对第j个变量的构造冲击的累积响应。1329.2节所介绍的短期约束和长期约束表达在脉冲响应函数上，表现为：短期约束意味着脉冲响应函数随着时间的变化将会消逝，而长期约束则意味着对响应变量将来的值有一个长期的影响。因此，依据式(9.4.17)可知长期可识别约束依矩阵的形式指定，典型的是0约束形式，ij=0的约束表示第i个变量对第j个变量的构造冲击的长期〔累积〕响应为0。从脉冲响应函数的角度动身，前面所介绍的SAVR模型的长期约束的经济含义就特别明显了。133

长期约束

表达在关系式Aet=But中的可识别约束，通常指短期约束。Blanchard和Quah(1989)提出了另外一种可识别的方法，是基于脉冲响应长期性质的约束。由式(9.4.24)，可推出构造新息的长期响应：长期可识别约束依矩阵的形式指定，典型的是0约束形式。ij=0的约束表示第i个变量对第j个构造冲击的长期响应为0。(9.4.24)134

①用矩阵形式表示的长期约束

通过矩阵模式设定长期约束，需建立一个已命名的包括长期响应矩阵的模板，在矩阵中非约束的元素应定义为缺省值NA。例如:对于一个两变量的VAR模型，假设约束其次个内生变量对第一个构造冲击的长期响应为0，即21=0，则长期响应矩阵可定义为下面的形式：135

一旦建立了模板矩阵，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization…，在SVAROption对话框中，选择Matrix和Long-runPattern按钮，并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字。

②用文本形式表示的长期约束

为了以文本形式指定相同的长期约束，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/EstimateStructuralFactorization…，并击活Text按钮，在编辑框中键入下面的形式：136@LR2(@u1)=0ˊzeroLRresponseof2ndvariableto1stshock在撇号后面的内容是注释。这个约束以特殊的关键字“@LR#”开头，数字代表受约束的响应变量；在圆括号内，必需指定脉冲关键字@u和扰动项序号，在其后紧跟等号和响应值〔通常是0〕。需留意：当需列出多个长期约束时，不要混淆短期与长期约束。137对于一个两变量(实际M1和实际GDP均取对数差分)的VAR(3)模型，,假设约束其次个内生变量对第一个构造冲击的长期响应为0，即21=0，则长期响应矩阵可定义为下面的形式：138一旦