信号与系统：第四章拉普拉斯变换与S域分析

第四章

拉普拉斯变换

与S域分析第一节

引言一、拉氏变换的优点把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。应用拉氏变换：（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。第二节

拉氏变换的定义、收敛域

一、单边拉氏变换定义二、拉氏变换的物理意义拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义四、拉氏变换收敛域收敛轴收敛坐标收敛区拉氏变换收敛域举例五、

常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换作业P2614-1第三节

拉氏变换的基本性质一、

拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质例４-１例４-２已知流经电感的电流的拉氏变换为：求电感电压的拉氏变换。：是电流的起始值。例４-３已知流经电容的电流的拉氏变换为：求电容电压的拉氏变换。：是电容两端的起始电荷量。：是起始电压。例４-４图所示电路在t=0时开关Ｓ闭合，求输出信号vc(t)。+E-sRC+-vc(t)例4-5求如图所示矩形脉冲的拉氏变换。矩形脉冲f(t)的宽度为t0,幅度为E,它可以分解为阶跃信号Eu(t)与延迟阶跃信号Eu(t-t0)之差。f(t)0t0Et例４-６求和的拉氏变换。解：Ｓ域平移定理：例４-７解：先由延时定理求得：已知若求：的拉氏变换。再尺度变换定理可得：例４-８解：终值：求下列各式的初值和终值。初值：这样求终值是错误的，只有当X(s)极点位于左半部时才有意义，允许在s=0处有一个极点。因为X(s)在jw虚轴上有共轭复根s=±j2,因而不能确定终值。例４-９解：终值：求下列各式的初值和终值。初值：例４-10解：终值：求下列各式的初值和终值。初值：由于此式不严格为真，需写为：作业P2614-2，4-3P2624-5第四节

拉氏逆变换一、系统的s域分析方法（1）部分分式展开法（2）长除法用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行拉氏反（逆）变换。求解拉氏逆变换的方法有：（3）留数法二、部分分式展开法部分分式展开法举例4.11:举例4.12:部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法举例4.13:举例4.13:举例4.13:举例4-14部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法举例4.15:举例4.15:举例4.15:三、留数法留数法举例4.16:作业P2614-4第五节

拉氏变换法求解常微分方程一、

拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程举例4.17:举例4.17:举例4.17:举例４-18一个传递函数为：的系统，求它的零状态响应，零输入响应和总的响应。假定输入为：初始条件：举例４-18解：举例４-18零输入响应：将传递函数写成：得到系统微分方程：设输入为零，其初始条件非零，则有：初始条件：二、S域电路分析（第200页)S域电路分析S域电路分析举例4.18:举例4.18:举例4.18:举例4.18:举例4.18:作业P2654-16,4-17第六节

系统函数

（网络函数）H(s)一、系统函数定义二、系统函数求响应系统函数求响应系统函数求响应补充例已知驱动点阻抗函数z(s)分别为下列各式，试画出与之对应的电路。若改为驱动点导纳函数Y(s)，再画出与之对应的电路。驱动点阻抗函数z(s)驱动点导纳函数Y(s)作业P2664-18P2684-23第七节

由系统函数零、极点分布决定

时域特性一、系统函数的零、极点分布H(s)零、极点分布与h(t)的对应H(s)零、极点分布与h(t)的对应H(s)零、极点分布与h(t)的对应H(s)零、极点分布与h(t)的对应H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解（1）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。变换到时域变换到时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解变换到时域变换到时域（2）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。变换到时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解（3）极点在s的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为增长系统，则系统为不稳定系统。变换时域变换时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解(4)极点在s的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。变换到时域变换时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应二、

H(s)、E(s)极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应H(s)极点与系统响应的对应H(s)零、极点分布与系统响应的对应H(s)零、极点分布与系统响应的对应举例4.19:举例4.19:举例4.19:举例4.19:举例4.19:作业P2684-26,4-27,4-30,4-31第八节

由系统函数零、极点分布决定频响特性一、H(s)零、极点分布与频响特性的对应H(s)零、极点分布与频响特性的对应系统正弦稳态响应系统频响特性二、举例-滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性三、S平面几何分析法S平面几何分析S平面几何分析当w沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是就得出幅频特性曲线和相频特性曲线。这种方法称为“s平面几何分析法”S平面几何分析讨论H(s)极点位于s平面实轴的情况，包括一阶与二阶系统。S平面几何分析举例4.20:举例4.20:举例4.20:举例4.20:

此点为高通滤波器的截止频率点。举例4.20:举例4.20:举例4.22:举例4.22:举例4.22:举例4.22:举例4.22:举例4.22:举例4.22:举例4.22:举例4.22:第九节

二阶谐振系统的s平面分析一、

二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析3)具共轭极点和零点的谐振系统:二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析二阶谐振系统的s平面分析作业P2704-37P2714-38P2724-39第十节全通函数与最小相移函数的零、极点分布一、全通函数的定义全通函数：一个系统函数，其：

极点位于左半平面，

零点位于右半平面，且零点与极点对于jw轴互为镜像，那么，此系统函数称为全通函数。此系统称为全通系统或全通网络。二、全通函数的特性全通：即指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。例4-23：系统函数如下其零、极点分布互为镜像。因此为一个全通网络。其频率特性：三、最小相移网络与非最小相移网络问题提出：为使系统稳定，必须限制网络函数的极点位于左半平面，而其零点落于s平面的右半或左半平面对系统特性有何影响？结论：零点落于s平面的右半平面的图形，其相移的绝对值比较大，而零点落在左半平面的图形其相移比较小。*最小相移网络与非最小相移网络最小相移函数：零点全部位于左半平面或jw轴的系统函数称之。该系统称为“最小相移系统”。非最小相移函数：系统函数在右半平面有一个或多个零点，那么，就称为“非最小相移函数”该系统称为“非最小相移系统”。非最小相移函数=最小相移函数全通函数即：非最小相移系统=最小相移系统与全通系统的级联。作业P2724-41P2734-42第十一节

线性系统的稳定性一、

线性系统的稳定性线性系统的稳定性例4-24已知两因果系统的系统函数激励信号分别为求两种情况的响应并讨论系统稳定性。例4-24解：激励信号的拉氏变换为：系统响应的拉氏变换为例4-24系统响应的时域表达式：看出：激励信号有界，而产生无界信号的输出。说明：系统属不稳定。从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶极点，属临界稳定系统。二、系统稳定性在电路中的具体体现稳定系统：通常不含有受控源的RLC电路，一定为稳定系统。振荡系统：只有LC元件构成的电路会出现H(s)极点位于虚轴的情况，h(t)呈等幅振荡。以上两种情况都是无源网络，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度有限的，属稳定或临界稳定系统。含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况。实际上由于电子器件的非线性，电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态。利用它可产生自激振荡。举例4.25:举例4.25:举例4.25:举例4.26:举例4.26:举例4.26:三、连续系统的稳定性准则判别系统是否稳定，是否每次都要求出H(s)的极点位置，才能判别其稳定性呢？否。可以根据H(s)的分母多项式D(s)的系数来判断系统的稳定性。系统稳定的必要条件：H(s)的分母多项式D(s)的所有系数ai都必须是正实数。1、稳定系统必要条件的推导将D(s)因式分解，求也它的根。稳定系统必要条件的推导稳定系统必要条件的推导2、稳定系统判断系统稳定的判断：（a）各系数为正实数且不能等于0。（b）如果有一个系数=0，则系统处于临界稳定。（c）如果系统全部缺奇次项，或全部缺偶次项；系统都是临界稳定或不稳定。3、罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯-霍尔维兹稳定性判据指出：若则D(s)=0方程式的根位于s右半平面的个数等于罗斯阵列第一列数字符号改变的次数。D(s)的根全部位于s左半平面的充要条件是：D(s)的系数全部是不等于0的正实数（无缺项），并且罗斯阵列第一列数字符号相同。罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯阵列：（以n=6为例）其中罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯阵列：（以n=6为例）其中罗斯-霍尔维兹稳定性判据罗斯阵列：（以n=6为例）其中例子1符号改变两次，两个根在右半平面，系统不稳定。例子2凡遇到某一行元素全为0的情况，可以断言其根有出现在虚轴或原点处，是不稳定或临界稳定系统。例子3变二次符号罗斯判别法的总结（1）先观察H(s)分母多项式D(s)的各项系数均为正实数且无零系数。这是系统稳定的必要条件。即：若系数中有负数或零，则系统肯定是不稳定的。（2）若多项式D(s)的系数均为正实数，且是二次多项式，则系统肯定是稳定的。但若是三次或三次以上的多项式，则系统是否稳定，就需要排出罗斯阵列才能确定。（3）罗斯阵列中第一列数字（元素）的符号全是正的，且在阵列中未出现全为零元素的行，则系统是稳定的。这是系统稳定的充分条件。若阵列中第一列元素的符号有变化，则系统肯定是不稳定的。其符号变化的次数，就等于位于s平面右半平面上极点的个数。罗斯判别法的总结（4）若罗斯阵列中第一列中出现零元素时，则可用一个小的正数代替，因为第一列中元素符号改变的次数与的值无关。（注：在计算过程中，含2的项可略而不计。）（5）当罗斯阵列中某一行的元素全为零时，这说明D(s)=0的根中有共轭虚根，此