高考数学易错题学生版汇编

易错点01集合与运算易错点【01】对描述法表示集合的理解不透彻而出错用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。易错点【02】混淆数集和点集的表示使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，=1\*GB3①{y|y=x2+1};=2\*GB3②{(x,y)|y=x2+1}，这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x2+1有关，但由于代表元素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。=1\*GB3①代表的数集，=2\*GB3②代表的是点集。易错点【03】忽视集合中元素的互异性在学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题都容易出错，尽管知道集合众元素是互异的，也不会写出{3，3}这样的形式，但当字母x出现时，就会忽略x=3的情况，导致集合中出现相同元素。易错点【04】忽略空集的存在空集是一个特殊而又重要的结，它不含任何元素，记为∅。在解隐含有空集参与的集合问题时，非常容易忽略空集的特殊性而出错。特别是在求参数问题时，会进行分类讨论，讨论过程中非常容易忘记空集的存在，导致最终答案出错。易错点【05】利用数轴求参数时忽略端点值在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，最稳妥的办法就是把端点值带入原式，看是否符合题目要求。要注意两点：1、参数值代入原集合中看是否满足集合的互异性；2、所求参数能否取到端点值。易错点【06】混淆子集和真子集而错集合之间的关系类问题涉及到参数时，需要分类讨论，分类讨论时非常容易忽略两个集合完全相等这种情况，认为子集就是真子集，最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。易错点【07】求参数问题时，忘记检验而出错根据条件求集合的中的参数时，一定要带入检验，看是否满足集合的“三性”中互异性，同时还要检验是否满足题干中的其他条件。考点一：列举法+列举法，补集1.（2021年全国新高考2卷）设集合，则A. B. C. D.2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集，集合，则（）A． B． C． D．3.（2021年天津卷）设集合，则A. B. C. D.4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}考点二：列举法+描述法，交集1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合，则（）A． B． C． D．2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设集合，，则（）A． B． C． D．3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合则（）A． B．C． D．4.(2019全国Ⅲ理)已知集合，则（）考点三：描述法+描述法，交集1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合，则（）A． B．C． D．2．（2021年浙江卷）设集合，则（）. A． B． C． D．3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．44．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}考点四：点集，集合元素的个数1．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合，，则中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．62．（2017新课标Ⅲ）已知集合，，则中元素的个数为A．3B．2C．1D．03．(2018全国卷Ⅱ)已知集合，则中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．44．【2011广东，理1】已知集合A=为实数，且，B=为实数，且，则AB的元素个数为 A．4 B．3 C．2 D．1错1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知集合,，则=（）A．B．C．D．3．设集合=，=，则=（）A．｛1｝B．｛2｝C．｛0，1｝D．｛1，2｝4．已知集合,,则=（）A． B．C． D．5．已知集合，则A． B． C． D．6．设集合，则ST=（）A．[2，3]B．（，2][3,+）C．[3,+）D．（0，2][3,+）7．已知集合，，则（）A．B．C．D．8．已知集合，则（）A． B．9．已知集合,,则（）A．B．C．D．10．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，，则的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个

易错点02常用逻辑用语易错点1：混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p的否定是否定命题所作的判断.而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.易错点2：充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A和B.如果AB成立.则A是B的充分条件.B是A的必要条件;如果BA成立.则A是B的必要条件.B是A的充分条件;如果AB.则A.B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.易错点3：“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真p真或q真.命题p∨q假p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真p真且q真.命题p∧q假p假或q假(概括为一假即假);¬p真p假.¬p假p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.考点一：命题的真假判断1．（2020新课标III理16）关于函数．=1\*GB3①的图像关于轴对称；=2\*GB3②的图像关于原点对称；=3\*GB3③的图像关于对称；=4\*GB3④的最小值为．其中所有真命题的序号是．2．（2020年高考全国Ⅱ卷文理16）设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是．① ② ③ ④3.(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．4.（2019全国Ⅲ文11）记不等式组表示的平面区域为D.命题；命题.下面给出了四个命题① ② ③ ④这四个命题中，所有真命题的编号是①③ B．①② C．②③ D．③④考点二：充分必要性的判断1．（2021年全国甲卷理7）等比数列的公比为，前项和为．设甲：．乙：是递增数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件2.(2021年浙江卷）已知非零向量，则“”是“”的（）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.(2021年北京卷）设函数的定义域为[0,1],则“函数在[0,1]上单调递增”是“函数在[0,1]上的最大值为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2020年高考天津卷2）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点三：特征命题与全称命题1.（2021年全国乙卷理3）已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B.C.D.2．（2015新课标）设命题：，，则为（）A．B．C．D．3.（2014新课标1）不等式组的解集记为.有下面四个命题：：，：,：，：.其中真命题是（）A.，B.，C.，D.，4.（2014福建）命题“”的否定是A．B．C．D．错1．已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，2．已知空间中不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的 （）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面4.命题“对任意，都有”的否定为A．对任意，都有B．不存在，都有C．存在，使得D．存在，使得5．设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题：，则A．：B．：C．：D．：6.命题“，”的否定是A．， B．，C．， D．，7．已知，均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题（）其中真命题是A．B．C．D．8．函数在处导数存在，若，是的极值点，则（）A．是的充分必要条件B．是的充分条件，但不是的必要条件C．是的必要条件，但不是的充分条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件9．设有下面四个命题：若复数满足QUOTE，则QUOTE；：若复数满足，则QUOTE；：若复数，满足，则QUOTEz1=z2；：若复数QUOTE，则QUOTEz∈R．其中的真命题为（）A．，B．，C．，D．，10.α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有。(填写所有正确命题的编号）

易错点03函数概念与基本函数易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺易错点3：根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值,作差,判正负)；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.易错点4：指对型函数比较大小要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.易错点5：用函数图象解题时作图不准“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺考点一：函数的单调性和奇偶性1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则()A． B． C． D．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（）A． B． C． D．3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A． B． C． D．4．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．5. （2021新高考2卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A B. C. D.6．（2021年上海卷）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数() A． B． C． D．考点二：指对型函数比较大小更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺1. （2021年天津卷5）设，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.2.（2021年新高考2卷7）已知，，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.3．（2020年全国2卷11）若，则 A． B． C． D．4．（2021年全国1卷理12）若，则 A． B． C． D．5．（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．6.（2015年全国2卷12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A.B.C.D.考点三、函数的图像与性质1. （2021年天津卷3）函数的图像大致为A. B.C. D.2.（2019全国Ⅲ理7）函数在的图像大致为B．C．D．3．（2021年浙江卷7）已知函数，则图象为右图的函数可能是（）. A． B． C． D．4．（2021年全国甲卷16）已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为_____________.★5.（2015年全国2卷）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）★6.（2014年全国1卷）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（）考点四、分段函数1．（2021年浙江卷12）已知，函数若则． 2．（2015新课标Ⅱ）设函数，则A．3B．6C．9D．123.（2017新课标Ⅲ）设函数则满足的的取值范围是_______．4．(2014新课标)设函数则使得成立的的取值范围是_____．5. （2021年天津卷9）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺A. B.C. D.6.(2018全国卷Ⅰ)已知函数，．若存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）1.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）.A．[-2,2]QUOTE[−2,2]B．[-1,2]QUOTE[−1,1]C．[0,4]QUOTE[0,4]D．[1,3]QUOTE[1,3]2．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．||是奇函数C．||是奇函数D．||是奇函数3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．4.已知，，，则（）A.B.C.D.5.若，则（）A.B.C.D.6．设函数，则A．3B．6C．9D．127.函数在的图像大致为B．C．D．8.偶函数的图像关于直线对称，，则=___9．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________.更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺10．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

易错点04导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。考点一：含参函数的单调性1．（2018·全国1卷）已知函数．(1)讨论的单调性；2．（2017·全国2卷）已知函数，且．(1)求；3．（2017·全国3卷）已知函数．(1)若，求的值；4．（2016·全国1卷）已知函数QUOTEfx=x−2ex+a(x−1)（I）求a的取值范围；5．（2019·全国3卷）已知函数，讨论的单调性；考点二：零点问题★1．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则A．B．C．D．13.（2019全国Ⅱ理20（1））已知函数,讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；4．(2016年全国Ⅰ)已知函数QUOTEfx=x−2ex+a(x−1)（I）求a的取值范围；5．（2017新课标Ⅰ）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若QUOTEf(x)有两个零点，求的取值范围．6.（2019全国Ⅰ理20（2））已知函数，为的导数．证明：有且仅有2个零点．考点三、导数与函数的极值1.(2021·北京高考)已知函数f(x)＝eq\f(3－2x,x2＋a)。(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值。2.(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)。(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围。3.(2021·全国乙卷)设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．4.（2021年新课标1卷）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.1．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，分别解答下面两题：（i）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；（ii）若，是两个不相等的正数，，求证：．2．已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在实数，满足，求证：．3．已知函数，，当时，恒成立．（1）求实数的取值范围；（2）若正实数、满足，证明：．4．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，正实数，满足，证明：．5．已知函数，，，令．（1），研究函数的单调性；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3），正实数，满足，证明：．6．已知函数．（1）若，求函数的单调减区间；（2）若，正实数，满足，证明：．7．设函数．（1）若函数在上单调递增，求的值；（2）当时，①证明：函数有两个极值点，，且随着的增大而增大；②证明：．8．已知函数．（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．9．已知函数.（1）函数是否存在极小值?若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由；（2）若，求证：10．已知函数（为常数）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，设函数的两个极值点，（）满足，求的最小值．

易错点05比较大小在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.易错点1：比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。常用的指对数变换公式：（1）（2）（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）易错点2：混淆对数的符号如何快速判断对数的符号---八字真言“同区间正，异区间负”（1）如果底数和真数均在（0，1）中，或者均在（1，+∞）中，那么对数的值为正数；（2）如果底数和真数一个在（0，1）中，一个在（1，+∞）中，那么对数的值为负数.易错点3：没有选中合适的中间量利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.题组一1.(2016全国III)已知，，，则（）A.B.C.D.2.（2013新课标）设，，，则（）A.B.C.D.题组二3.（2019全国Ⅰ理3）已知，，，则A．B．C．D．4．（2021·天津高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．题组三5.(2016全国I)若，则（）A.B.C.D.6．（2017新课标Ⅰ）设为正数，且，则（）A．B．C． D．7．(2018全国卷Ⅲ)设，则()A． B．C．D．题组四8．（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．9.（20152）设函数f’(x)是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A.B.C.D.1．已知实数x，y满足，则以下结论错误的是（）A． B． C． D．2．设，则（）A． B． C． D．3．设，则（）A．B．C．D．4．实数a，b，c满足，则（）A． B． C． D．5．已知，，，则（）A． B． C． D．6．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b7．已知，，，则（）A． B． C． D．8．已知，，，则a、b、c的大小顺序为（）A． B． C． D．9．已知，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．10．已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（）．A．B．C．D．

易错点06求数列的通项公式求数列通项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 易错点2：在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.易错点3：在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃．易错点4：对等差、等比数列的性质理解错误。 等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。  题组一:公式法已知或根据题目的条件能够推出数列为等差或等比数列，根据通项公式或进行求解.1.（2019全国1理9）记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．2．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___．3．（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程的根．则=_________.4.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．则=_________.题组二:已知数列的前项和的解析式，求.5.数列的前项和为，则_________________.6.数列满足，则__________.题组三:Sn与an的关系式法已知数列的前项和与通项的关系式，求.7.(2015新课标Ⅰ)为数列的前项和，若，则=________.8.(2014新课标1)已知数列QUOTEan的前n项和QUOTE，QUOTE，其中，则=__________.9．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．题组四:累加法当数列中有，即第项与第项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.10.已知，求通项.11.设数列满足，则=_______；12.（2015新课标Ⅱ）设是数列的前n项和，且，，则________．1．在等差数列中，已知，则（）A．4 B．8 C．3 D．62．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（）A． B． C． D．3．若数列是等差数列，a1=1，，则a5=（）A． B． C． D．4．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（）A．31 B．63 C．127 D．2555．设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（）A． B． C． D．6．已知等比数列满足，，则（）A． B． C． D．7．设数列的前项和为，且，则（）A． B． C． D．8．若数列满足，则（）A． B． C． D．9．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A．20 B．30 C．40 D．5010．已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（）A． B． C． D．

易错点07数列求和、数列综合应用高考数列求和部分重点考查裂项相消法和错位相减法，多为解答题第二问，难度为中档.易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 易错点2已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.易错点6：数列中的最值错误。数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。 题组一、利用常用求和公式求和1.（2019全国3理14）记为等差数列的前项和，若，，则．2．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则A． B． C． D．3.（2019全国1理14）记为等比数列的前项和．若，，则．4．（2017新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为_____.5.（2018全国卷Ⅲ）等比数列中，．记为的前项和．若，=________．6．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．题组二、裂项法求和7.（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则．8.（2015新课标Ⅰ）已知,设，数列的前n项和=______.9.（2011新课标）已知,设数列的前n项和=___________.10.（2013新课标1）已知等差数列的前项和满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．题组三、错位相减法求和11．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．12．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和．13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．14.（2014新课标1）已知是递增的等差数列，，是方程的根．(Ⅰ)求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．题组四、分组法求和15.（2012新课标）数列满足，则的前项和为.16．（2016年全国II）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．题组五、数列中的最值17．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值．18．（2019•新课标Ⅰ，文18）记为等差数列的前项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围．19．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．20.（2013新课标2）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为。1．已知数列满足，，记的前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值为（）A．61 B．62 C．63 D．642．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足：，，（，），若，则其前2022项和为（）A．G B． C．-G D．3．已知数列为的前项和，其中，则（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20224．等比数列，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前10项和（）A． B． C． D．5．已知数列，满足，则等于（）A． B． C． D．6．已知数列是首项与公差均为1的等差数列，则（）A． B． C． D．7．已知数列的首项为2，前n项和为，，.若数列的前n项和为，则满足成立的n的最小值为______.8．等差数列中，，，若数列的前n项和为，则___________.9．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式以及；(2)若数列，求数列的前项和.10．已知数列的前n项和为，且．(1)证明：是等比数列．(2)设，求数列的前n项和.

易错点08三角函数与解三角易错点1：解三角函数的定义此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。易错点2：三角函数图象变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.易错点3：由三角函数图像求解析式结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求ω，已知函数的周期T，则.（3）求φ，常用方法有：=1\*GB3①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．=2\*GB3②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.易错点4：给值（式）求角（值）解三角函数的给值求值问题的基本步骤（1）先化简所求式子或所给条件；（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．易错点5：三角形中边角关系此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺题组一、三角函数的定义1.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（）A.cos2α＞0B.cos2α＜0C.sin2α＞0D.sin2α＜02．（2014新课标Ⅰ）若，则（）A．B．C．D．3．（2011新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（）A．B．C．D．题组二、三角函数的图像与变换4．(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺()A． B．5．（2017新课标Ⅰ）已知曲线：，：，则下面结论正确的是()A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移QUOTE个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移QUOTE个单位长度，得到曲线6．（2016全国II）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A．B．C．D．7．（2016年全国III）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．题组三、由三角函数图像求解析式更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺8．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 ()A． B． C． D．9.（2020•新全国1山东）（多选题）下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝（）A.B.C.D.10．（2015新课标Ⅱ）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）．，B．，C．，D．，题组四、给值（式）求值（角）11．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 ()A． B． C． D．12．(2018全国卷Ⅲ)若，则（）A． B． C． D．13.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．B．C． D．14．（2016年全国II）若，则（）A．B．C．D．题组五、三角形中的边角关系15.（2020•全国3卷）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）A.B.C.D.16．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 ()A． B． C． D．17.（2021年上海卷第18题）在中，已知（1）若，求的面积；（2）若，求的周长.18.（2021年天津卷）在，角所对的边分别为，已知，．（1）求a的值；（2）求的值；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺（3）求的值．1．设函数，则（）A．在单调递增，其图象关于直线对称B．在单调递增，其图象关于直线对称C．在单调递减，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称2．已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（）A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(3π,4)3．设函数，则下列结论错误的是（）A．的一个周期为B．的图像关于直线对称C．的一个零点为D．在单调递减4．已知，函数在单调递减，则的取值范围是()A． B． C． D．5．已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（）A．11

B．9

C．7

D．56.已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）A． B． C． D．7.的内角的对边分别为，若，，，则．8.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．9.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.10.已知在中，，．（1）求；（2）①；②的周长为；③的面积为．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

易错点09平面向量平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率．易错点1：忽略零向量；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量与实数a·b；易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”；(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.易错点4：向量数量积的几何意义中的叫做在方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分.易错点5：向量数量积>0并不等价于向量与的夹角为锐角；易错点6：三点共线问题1.若A、B、C三点共线，且,则2.中确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.易错点7：向量与三角形的综合(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.题组1：线性运算1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))2．(2015高考数学新课标1理科)设D为QUOTEABC所在平面内一点，则 ()A． B．C． D．3.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则A．B．C．D．4.(2013新课标2理科)已知正方形的边长为,为的中点,则．题组2：共线定理的应用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面6．（2020年江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________．7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ()A． B． C． D．题组3:共线向量的坐标运算8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺9．(2015高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．题组4：垂直向量10．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．题组5：向量的数量积运算11．（2021上海卷）如图，正方形的边长为3，求________．12. （2021新高考2卷）已知向量满足，，则________.题组6：求夹角13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则 ()A． B． C． D．14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ()A．B．C．D．15．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则___________．16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则 ()A． B． C． D．题组6：求向量的模17．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．题组8：求最值更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺19.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A.B.C.D.20.（2017新课标2卷）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是_____.1．在平行四边形中，，则（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-22．正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（）A． B． C． D．3．如图，平面四边形中，，．则（）A． B． C． D．34．已知向量、满足，，若，则（）A． B． C． D．5．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，在中，，，若，则（）A． B． C． D．7．已知向量，满足，，，则（）A．5 B．7 C． D．8．已知向量，向量，则与的夹角大小为（）A．30° B．60° C．120° D．150°9．已知，，，，则_______更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．易错点10不等式易错点1：线性规划求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.易错点2：基本不等式均值不等式（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；②变形：（当仅当a=b时取等号）易错点3：绝对值不等式(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．易错点4：柯西不等式(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(eq\f(1,a\o\al(2,1))＋eq\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,a\o\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．题组1线性规划1．（2021浙江卷）若实数满足约束条件，则的最小值是（）. A． B． C． D．2．（2021年全国乙卷文）若，满足约束条件则的最小值为A．18B．10C．6D．43．（2021上海卷）已知，，则的最大值为___________．4.（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为______题组2基本不等式5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（）A． B．C． D．6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）A. B.C. D.7.（2020年天津卷）已知，且，则的最小值为_____．8.（2020年江苏卷）已知，则的最小值是_______．题组3含绝对值不等式9.（2021年全国甲卷）已知函数，.画出和的图像.若，求的取值范围.10.（2021年全国乙卷）已知函数.（1）当时，求不等式≥的解集；（2）若，求的取值范围.11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．12．（2020江苏23）设，解不等式．题组4格西不等式13．（2021年浙江卷）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是．14．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．1.下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.2．若，，则一定有A．B．C．D．3．已知，，，则的最小值为（）A．20 B．24 C．25 D．284．若实数、满足不等式组，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．设，满足约束条件，则的取值范围是A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]6.(多选题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）A. B.C. D.7.若满足约束条件，则的最小值为____________.8.设，，，则的最小值为__________.9．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．10．设均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．

易错点11球球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题和填空题出现。易错点1：公式记忆错误更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误题组一：以三视图为背景1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是EQ\F(28π,3)，则它的表面积是 () A.B.C.D.2．(2015高考数学新课标1理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则=A．1 B．2 C．4 D．8题组二，以棱（圆）柱为载体3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()A． B． C． D．题组三：以棱（圆）锥为载体5．(2021年高考全国甲卷理科)已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为 ()A． B． C． D．6.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为A. B. C. D.7.（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A. B. C. D.8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ()A． B． C．1 D．9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．题组四：与最值相关10．(2015高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 ()A． B． C． D．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ()A． B． C． D．12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球,若,,,,则的最大值是 ()A． B． C． D．1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（）更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．200π B．100π C． D．503．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积是（）A． B． C． D．5．已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（）A． B． C． D．6．在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．8．在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（）更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺A． B． C． D．10．已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若的面积为的面积为的面积为，满足，当的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．

易错点12立体几何中的垂直与平行在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个条件中的某一个。易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；题组一：基本性质定理1．（2021年浙江卷）已知正方形，分别是的中点，则（）. A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线平行，直线平面 2．（2021新高考1卷多选题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面3.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线4.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面题组二：线面平行5. （2021天津卷）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（1）求证：平面；6．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面三角形，，，是的中点．证明：直线∥QUOTECE//平面；7.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；题组三线线垂直8.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，．（1）证明：；9.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1(1)略(2)已知D为棱A1B110．（2021新高考1卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；11．(2021浙江卷)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值．题组四：线面垂直12．（2016全国II）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H．将沿折到的位置，．（=1\*ROMANI）证明：平面ABCD；13．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥中，，，为的中点．(1)证明：平面；14.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；题组五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱锥中，底面是正方形，若，，，（1）证明：平面平面；16（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；17．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．(1)证明：平面平面；18．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．(1)证明：平面平面；1．已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．证明：∥平面；4．如图，直三棱柱中，分别是的中点，（Ⅰ）证明：//平面；5．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．证明：∥平面；6．如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为线段上一点，，为的中点．证明平面；7．如图，三棱柱中，，，=60°．证明；8．如图，在四棱锥中，∥，且．QUOTE∠BAP=∠CDP=90°证明：平面⊥平面；9．如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面⊥平面；10.如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，=2，⊥．证明：平面⊥平面；

易错点13多面体的表面积和体积多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。易错点1：基础知识不扎实对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点4：空间想象能力欠缺题组一：侧面积与表面积1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．B．C．90D．81题组二：体积4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A．B．C．D．5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．B．C．D．6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.7.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．题组三：圆柱和圆锥中的问题8．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥