统计物理学基础讲稿

统计物理学与热力学统称热学研究对象

大量粒子组成的热力学系统粒子：电子、光子、原子、分子、大颗粒等大量：数量多,以保证粒子运动的无规则性研究方法热力学依据试验事实，运用能量观点研究热功转换，是宏观理论；统计物理学对单粒子应用力学规律，对大量粒子使用统计规律，确定宏观量与微观量关系，揭示热现象微观本质，是微观理论。分类经典统计物理学——经典粒子，满足牛顿力学规律；量子统计物理学——量子粒子，满足量子力学规律。统计方法的原则：系统由大量粒子组成；系统热力学性质的宏观量是相应微观量的统计平均值，而系统的微观状态或其决定的微观量是按一定概率出现的。5.1

热运动的基本概念与理想气体F引rO5.1.1

分子运动论的基本观点宏观物体由大量微粒（分子或原子）组成。物体内的分子处在无规则热运动中，其激烈程度与物体温度有关。著名的布朗运动证明了分子无规则运动的存在。分子间存在一定的作用力。FF斥r0宏观描述：从系统状态整体上进行描述；——引入的物理量称为宏观量。如：气体的压强、体积、温度、内能等。宏观量可以直接或间接测量。微观描述：从系统内粒子微观状态的描述说明系统的宏观性质的方法；——引入的物理量称为微观量。如：分子的速度、位置、质量、能量等。微观量一般不可以直接测量。5.1.2

平衡态与状态参量（Equilibrium

State

and一、宏观量与微观量ty

of

State)二、平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态，称为平衡态。对系统平衡态的性质进行描述的宏观物理量，称为状态参量。m

3

)这里定义的平衡态是动态平衡。平衡态是一个理想化的概念。

常用的气体状态参量有容积V：盛装气体的容器的体积，也称为体积。单位：米（3压强P：气体作用在容器壁上单位面积正压力。单位：帕斯卡（Pa）。温度T：物体冷热程度的量度。单位：热力学温标——开尔文（K）。热平衡下，状态参量满足关系，称为状态方程。三、准静态过程系统从初始平衡态（P1,V1,T1）经过一系列中间状态到达末平衡态（P2,V2,T2），如果中间每个状态都无限接近平衡状态，这个过程称为准静态过程A(P1,V1)B(P2,V2)PV准静态过程是一个理想模型。平衡状态—PV图上一个点准静态过程

—

PV图上一条曲线OAB导热板

热力学第零定律——热力学第零定律各自处在平衡态的两个系统

A和B接触后，会有热量交换，称为热接触，而相互接触后的

A和B最终会达到一个共同的平衡态——热平衡。实验表明：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力系处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡。另一种表述：处于热力学平衡状态的所有物质均具有某一共同的宏观物理性质。常用的有摄氏温标t(oC)、热力学温标T(K)，其关系是定温标。互为热平衡的几个热力学系，具有某种共同的宏观性质被定义为温度。温度是一个宏观概念，量化之后就成为一个可测量的宏观量。对温度进行量化，首先必须确温度测量——温度计0

CT

(

t

273.15

)K3K表示理想气体温标（或热力学温标）的单位。温标：温度的数值表示法。国际规定的标准温度定点为水、冰、汽共存而达到平衡态的三相点温度，用T3表示T

273.15K热力学第三定律热力学零度（绝对零度）是不能达到的。5.1.4

理想气体状态方程（Equition

of

State

of

Ideal

Gas）在任何情况下满足下式的气体叫理想气体称为普适常数。M上式称为理想气体状态方程，其中pV

m

RTR

8.31J

mol

1

K

1可以证明：理想气体状态方程可以写为P

nkTk

1.38

1023

J

K

1称为玻尔兹曼常数0N0

m0pV

Nm0

kN

T例5.1

容器装有氧气0.1kg，压强1.013×106Pa,温度为47oC，因为容器漏气，经过一段时间后，压强降到原来的5/8，温度降为27oC，求容器的体积和漏出氧气的质量。p1

V

m1

RT1解：由状态方程1

2R

T1

T2m

m

m

VM

(

p1

p2

)

3.33

10

2

(kg

)M

8.2

10

_

3

(m

3

)pV

m

RT5.2

气体分子热运动的分布规律5.2.1气体分子热运动的基本特征特征一气体分子间距大，分子间相互作用在碰撞之外可以忽略，使气体分子做惯性支配的运动。加之频繁碰撞，使其做杂乱无章的热运动。特征二佳洱顿板实验单个分子运动是不可

、无规律可循。大量分子运动是服从统计规律,有一定必然性。特征三分子分布的描述，可以从能量、动量、速度、速率等方面

，如同人的分布可以从身高、体重、

学历等方面

一样。o分子的概率速率分布函数dN

i

~

di

i

~

d

dN

2

22

ddN

1

~

d1

1N

dN

NNdN

dw

f

(

)dNdf

(

)

dN物理意义：在速率附近，单位速率区间内的分子数占总分子数N的百分比.5.2.2

麦克斯韦速率分布定律(Maxwell

Speed

Distribution

Law)速率分布：把速率的可能值（0，）分成若干相等区间，全部分子如何分配到这些区间的问题。NdN

d对N个分子理想气体，如速率处于υ~υ+dυ分子数是dN，显然有NdN

f

(

)d式中f（υ）速率分布函数。其表示式为：式中，m0是分子质量；T是热力学温度；k是玻尔兹曼常数k

1.38

10

23

J

K

1NdN

dm2kT32kT

m0

2f

(

)

4

(

0

)

2

2e注意分布函数的意义Ndf

(

)

dN表示速率处于υ附近，单位速率间隔的气体分子百分比。且满足如下归一化条件N

dN

1

f

(

)d

1f

(

)

0

时速率分布曲线f

(

)~

是m2kT32kT

m0

2f

(

)

4

(

0

)

2

2e引入速率分布曲线f(

)取极限看到：

0时，对有限速率区间f

(

)NdN

f

(

)d从几何意义上看：dN

f

(

)d0N——是小矩形面积整个曲线下的面积f

(

)d

121

NNf

(

)d引入三种特征速率（1）最概然速率——速率分布取极值的速率d

p速率在υp附近的单位间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。d利用df

(

)

0

得到M

1.41

RTf

()p（2）平均速率——分子速率算术平均值

N

1

N1

2

N2

0

f

(

)dRTM

M

8

RT

1.60m

Mp02kT

2RTv

（3）方均根速率——速率平方算术平均值

p

2f

(

)2

1

1

2

2

N

N

2

N

20

2

2

f

(

)dM

2RTM

3

RT

1.73注意p三种速率数值关系：

2

三种速率对于不同问题有各自应用速率分布与温度关系演示2种气体种类不同，但是，平均速率相同.问，方均根速率是否相同，最可几速率是否相同？例5.2

指明下式的物理意义。[1]

f平衡状态下，在速率

d内的分子数占总分子数的比例。2[3]1f

(

)d平衡状态下，在速率1

2内的分子数占总分子数的比例。[4]

0

f

(

)d平衡状态下，分子速率的算术平均值。①分子速率在

d

区间的分子数：dN

Nf

(

)d②

d

区间的分子数占总分子数的百分比：dN

f

(

)dN③

区间的分子数：1

N

2

Nf

(

)dNdf

(

)

dN练习：例5.3

在f

(

)～

图中，速率

m处的纵线将f

(

)曲线的面积分成相等的两个部分A和B，说明其物理意义。ABmf

(意义是：气体分子中速率比m大的分子数与比m大的分子数相等。例5.4

N个电子组成电子气体，其速率分布函数关系曲线如图，图中A是常数。求：常数A，并

其物理意义；在速率0～900m/s间电子的平均速率。900

1800f()(m/s)A解:（1）由归一化条件21

1800

A

1

A=1/900意义：分布函数的极值。（2）在速率0～900

m/s间内，0f

(

)

600m

/

s9000dN

dN9009000

0

0 Nf

(

)d

Nf

(

)d9001

/

290002k

d2900290001f

(

)d

k

21k

81000000[课堂作业]一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：(1)速率分布函数；

(2)速率在0～0/2

范围内的粒子数；(3)粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。f

(

)5.3

压强与温度的统计意义5.3.1

理想气体的微观模型同间距相比，分子大小、结构忽略。除碰撞外，分子之间的相互作用力和重力的影响可忽略不计。所有的碰撞是完全弹性碰撞。在平衡状态时，分子的性质是各向同性的。其中分子速率平方的平均值为：2213

2y

z2x平衡态，忽略重力，分子分布是均匀的。即n

dN

NdV

V单位时间内碰撞次数为,单位时间动量改变(器壁对分子作用力)为由牛顿第三定律，这也是对器壁的反作用力。一次的时间是1ix2lix2l1i

Fm0ixix1A2Azm0l12ll3xy

5.3.2

压强公式第i个分子碰撞一次动量改变

2m0

ix其在A1面与A2面间往返12l)

ixPi

(2m0ix考虑所有分子作用该器壁面平均力是相应的压强是式中，n

是分子数密度。N

ix1ix

2li

1F

2mN1i

1lm

2

ix2

3pS

l

l

F

FNi

1V

NmN

2

ixx

nm

20mm0ix1A2Az1l2l3lxyixF注意到2x2y2z3

1

2

,则k23n压强公式将宏观量压强与微观量分子平均平动动能联系起来。气体压强是大量分子对容器壁碰撞统计平均结果，具有统计意义。上述结论是从长方体容器推出，对其它形状的容器亦适用。013nm

)20n(

m

2

2

1

3

2是分子的平均平动动能。2012p

式中m

k子质量m0之间有如下关系是1摩尔气体的分子数.n

是分子密度，k

是玻耳兹曼常数。理想气体压强与分子密度、绝对温度T成正比，与分子的种类和质量无关。5.3.3

温度的微观实质气体质量m、摩尔质量M、总分子数为N、分230N

6.022

10V

N0p

N

R

T

nkT0m

Nm0

M

N0m0M

N

m

NV

Mp

1

m

RT比较如下两式T

=

0

时，

k

0p

nkT公式揭示了气体温度的物理意义：热力学温度是气体分子平均平动动能的量度。温度是大量气体分子的集体效应。不可能的

——气体模型已经不适用了。气体分子停止运动.kn3213

220m

)

p

2

n(k32

2120

kT

m5.4.1度(Degree

of

Freeddom)决定物体空间位置需要的独立坐标数目。5.4

度能量按均分原理度yocyz

zx一、刚体的一般运动刚体质心平动度是6个：度3个转动

度3个转轴空间方位（2个）＋绕轴转动（1个）二、分子的

度对刚性分子，与组成原子数目有关，即单原子分子＝双原子分子＝质点——3个平动细杆度——3个平动度＋2个转动度多原子分子＝刚体——

3个平动 度＋3个转动度对非刚性分子，还有振动 度。5.4.2

能量均分定理（EquipartitionTheorem）分析理想气体分子的平均平动动能，有k2120

3

kTm

22132x2y2z利用

理想气体处于平衡态时，分子的每一平动度都具有1

kT

的平均动能。2在温度为T的平衡态下，分子任一种运动形式的每一个度都具有kT/2的能量。——能量按 度均分定理若气体分子有i

度，则每一个分子的平均总动能是2

i

kT1112

2

2

212220

x

0

y

0

z

m

m

kTm

5.4.3

理想气体内能（Internal

Energy

of

Ideal

gas)气体所有分子的热运动动能与势能的总和称为气体的内能。理想气体忽略分子间作用，其内能是注意：E是温度T的单值函数。0

2E

N

N

i

kT

m

N2

MM

2i

kT

m

i

RT2

i

kT00Nm

M

3.32

10

27(kg)2

1036.02

1023p0

m

gL

3.25

10

27

(J

)2

ik

21

kT

9.42

10

()J例5.5将温度为273K、压强为1个大气压的氢气密封在边长为10cm的立方容器内，比较一个氢分子由容器时重力势能变化与这个分子的平均动能的大小。解.一个氢分子的质量是则有：两者之比：=

2.9

×106pk一容器内贮

气体氧气，压强是1.0atm，温例5.6度是27.0℃，体积是2.0m3。求：（1）氧分子平均平动动能；（2）氧分子平均转动动能；（3）氧气的内能。解：氧分子为双原子分子：i＝5（t＝3，r＝2）t

23

32

300kT

1.38

102121

6.21

10

Jr22

kT

300

11.38

102121

4.14

10

JM

22E

m i

RT

i

PV

5

1.103

105

22

5.07

105

J3RM

2T

4.0

103

20023

8.31由理想气体的状态方程，可得到压强的变化4a

6.42

6.67

10

P

mR

100.0

103

8.31P

T

VM

2.0

102

4.0

103例5.7容积为2.010-2m2的密闭绝热容器中，有质量100g的氦气，容器以200m•s-1的速率匀速运动时突然停止，假设全部的定向运动的动能都转换成气体分子的热运动动能，求热平衡后氦气的内能、压强、温度、分子的平均动能各增加多少？解：宏观的平动动能转换成内能，内能的增量为2021mE

M

2

6.42K

2

103

J

m i

RTk2分子平均动能的增量为3

kT22

1.33

10

J[练习]试下列各式所表示的物理意义：22（2）

3

kT（1）

1

kT22（4）

i

RT（3）

i

kTm

i

RTM

2M

2m

3

RT（6）（5）5.5

分子碰撞

平均

程每个分子在与其他分子任意两次碰撞间所需的时间具有偶然性。大量分子的系统，分子在单位时间内与其他分子碰撞的平均次数，称为分子的平均碰撞频率，简称碰撞频率，撞的频繁程度。Ad一、分子碰撞研究分子碰撞时，视分子为有体积的刚性球，分子间的作用视为刚性球的弹性碰撞，两分子质心间最小距离的平均值——刚性球的直径，称分子的有效直径(d)。2d球心在圆柱体截用

Z表示。反映了气体分子碰

面

=

d

2内的分子都要与A球相碰。在时间t内，A分子通过的路程为ūt，相应圆柱体的体积为

ūt

，

在此圆柱体的

总分子数为n

ūt。所以，碰撞频率为t

Z

n

ut

n

d

2u可以证明分子平均速率

与平均相对速率u的关(5.26)Z

2

d

2

n分子在连续两次碰撞间通过的路程叫程。取分子在连续两次碰撞间所经过的程的平均值，叫分子的平均程（mean

free

path），为系为

u

2

。得二、平均

程Z

kT2

d

2

p

（5.28）1

（5.27）

由P

nkT2

d

2n

宏观

气态方程

理