人教版高中数学必修二第二章小结模板课件

点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何本章内容2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系2.2

直线、平面平行的判定及其性质2.3

直线、平面垂直的判定及其性质第二章小结本章内容2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2本章小结本章小结知识要点复习参考题自我检测题本章小结本章小结知识要点复习参考题自我检测题1.

三个公理知识要点

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

三推论:①两相交直线确定平面;②两平行直线确定平面;③直线外的点与直线确定平面.

公理3:

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.返回目录1.三个公理知识要点公理1:如果一条知识要点2.

线线之间的位置关系相交平行异面共面判定两直线平行的公理4:平行于同一条直线的两直线互相平行.知识要点2.线线之间的位置关系相交平行异面共面判定两直线知识要点3.

两异面直线所成的角①角的范围(0,90].②由定义找角:③垂直相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.异面垂直,无垂足.知识要点3.两异面直线所成的角①角的范围(0,知识要点4.

线面平行的判定定理b

a,a

a,b//a,⇒

b∥a.l∥a,l

b,b∩a=m⇒

l∥m.由线线平行得线面平行.5.

线面平行的性质定理由线面平行得线线平行.知识要点4.线面平行的判定定理ba,aa,b知识要点aa,ba,a∩b,a∥b,b∥b,⇒a∥b.a∥b,g∩a

=a,g∩b

=b,⇒a∥b.6.

面面平行的判定定理由线面平行得面面平行.7.

面面平行的性质定理由面面平行得线线平行.知识要点aa,ba,a∩b,a∥b,b∥b,⇒a∥b.知识要点8.

线面垂直的定义

⊕若直线l

垂直平面a

内的任意一直线,则叫l⊥a.应用:若l⊥a,

则

l

垂直平面a

内的任意一直线.l⊥a,ma,l⊥m.

⊕过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.知识要点8.线面垂直的定义⊕若直线l知识要点9.

线面垂直的判定定理

⊕如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,l⊥a.aa,ba,

⊕两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.知识要点9.线面垂直的判定定理⊕如果一条知识要点10.

三垂线定理

如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;

如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.知识要点10.三垂线定理如果平面内的一条知识要点11.

直线和平面所成的角⊕斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角).⊕垂线与平面所成的角为90.

⊕平行线或在平面内的直线与平面所成的角为0.

⊕斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.

⊕两条平行线和同一个平面所成的角相等.知识要点11.直线和平面所成的角⊕斜线与斜线在平面上的射知识要点12.

直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.l1⊥a,l2⊥a,l1//l2.由线面垂直得线线平行.知识要点12.直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的知识要点13.

二面角及它的平面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.知识要点13.二面角及它的平面角从一条直知识要点14.

两平面垂直的判定

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.abll⊥a,lb,⇒b⊥a.知识要点14.两平面垂直的判定一个平面过知识要点15.

平面与平面垂直的性质

⊕两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与于另一个平面垂直.a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,⇒l⊥b.abml

⊕两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.知识要点15.平面与平面垂直的性质⊕两个复习参考题返回目录复习参考题返回目录A组1.

三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们的直观图吗?

答:

三个平面可将空间分成4个、或6个、或7个、或8个部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag复习参考题A组1.三个平面可将空间分成几部分?

2.

如图,一块正方体形木料的上底面上有一点E,经过点E

在上底面上画一条直线与CE垂直,怎样画?ABCDA1B1C1D1·EMN画法:①连结C1E,过点E

作MN⊥C1E.②在平面A1C1内,则MN就是所要求作的直线.∵CC1⊥平面A1C1,MN平面A1C1,∴MN⊥CC1.所作MN⊥C1E,其理由:则MN⊥平面C1EC,得MN⊥CE.2.如图,一块正方体形木料的上底面上3.

证明:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.

如图,

已知直线a∩b=A,b∩c=B,c∩a=C.求证

a,b,c

共面.证明:∵a∩b=A,⇒

a、b

确定平面,设为a,则aa,ba,得Ca,Bb,∴a、b、c

共面于a.a又c∩a=C,c∩b=B,ABCabc于是得

Ca,Ba,即得ca,3.证明:两两相交且不过同一点的三4.

如图,正方体的棱长是a,C,D

分别是两条棱的中点.(1)

证明四边形ABCD是一个梯形;(2)

求四边形ABCD的面积.证明:如图,连结上底面∵C,D是两棱中点,ACBDAB而AB//AB,且AB=AB,∴CD//AB,且CD≠AB,则ABCD是梯形.(1)对角线AB,∴CD//AB,且4.如图,正方体的棱长是a,ACBDAB4.

如图,正方体的棱长是a,C,D

分别是两条棱的中点.(1)

证明四边形ABCD是一个梯形;(2)

求四边形ABCD的面积.解:在底面正方形中求得如图,在Rt△OOE中可求得∴梯形ABCD的面积为(2)OEO梯形的高OE=EACBDAB4.如图,正方体的5.

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证EF//E1F1,且EF=E1F1.证明:连结EE1,FF1,在正方体中,AE∥A1E1,AF∥A1F1,又知AE=A1E1,AF=A1F1,∴AEE1A1和AFF1A1是□,则EE1//AA1,且EE1=AA1,FF1//AA1,且FF1=AA1,∴四边形EE1F1F是□,得EE1//FF1,且EE1=FF1,则EF//E1F1,且EF=E1F1.AA1EFE1F1BCDB1C1D15.如图,正方体ABCD-A1B

6.

如图,长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c,求长方体对角线AC的长.AADCDCBBabc解:设长方体中同一顶点处的三条棱长为x,y,z,而AC2=AC2+CC2=AB2+BC2+CC2xyz则a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2,=x2+y2+z26.如图,长方体的三个面的对角线长

7.

如图,四棱锥V-ABCD

中,底面ABCD

是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,试画出二面角V-AB-C

的平面角,并求它的度数.ABCDVEF解:分别取AB、CD

的中点E、F,连结VE、EF,则∠VEF就是二面角V-AB-C的平面角.连结VF,由已知可得VF=VE==2,又EF=2,∴∠VEF=60,即二面角V-AB-C

的度数是60.7.如图,四棱锥V-ABCD中8.

已知a,b,g

是三个平面,且a∩b=a,a∩g=b,b∩g=c,且a∩b=O.求证a,b,c

三线共点.bgabac证明:∵a∩b=O,得Oa,Ob,a∩b=a,

ab,a∩g=b,

bg,

Ob,Og,即O为b与g的公共点,而

b∩g=c,∴交线c

必过O

点,则a,b,c

三线共点O.8.已知a,b,g是三9.

如图,平面a、b、g

两两相交,a、b、c

为三条交线,且a//b,求证a//b//c.bagabc∵a∥b,证明:g∩b=

b,ag,a//b.同理,a∥b,a∩b=

c,aa,a//c.于是得b//c,∴得a//b//c.9.如图,平面a、b、g两两相交10.

如图,a∩b=AB,PC⊥a,PD⊥b,C,D

是垂足,试判断直线AB

与CD

的位置关系?并证明你的结论.答:

AB⊥CD.证明:∵a∩b=AB,∴ABa,ABb.而

PC⊥a,PD⊥b,∴

PC⊥AB,PD⊥AB.则

AB⊥平面PCD.而CD平面PCD,∴AB⊥CD.abABCDP10.如图,a∩b=AB,B组

1.

如图,边长为2的正方形ABCD

中,

(1)

点E

是AB

的中点,点F

是BC

的中点,将△AED,△DCF

分别沿DE,DF

折起,使A,C

两点重合于点A,求证:AD⊥EF.

(2)

当BE=BF=

BC

时,求三棱锥AEFD

的体积.ABCDEFABEDF(1)证明:∵DA⊥AE,DC⊥CF,∴DA⊥AE,DA⊥AF,则DA⊥平面AEF,于是得DA⊥EF.B组1.如图,边长为2的正方B组

1.

如图,边长为2的正方形ABCD

中,

(1)

点E

是AB

的中点,点F

是BC

的中点,将△AED,△DCF

分别沿DE,DF

折起,使A,C

两点重合于点A,求证:AD⊥EF.

(2)

当BE=BF=

BC

时,求三棱锥AEFD

的体积.ABCDEFABEDF(2)解:∵BC=2,则得H△AEF的高AH=B组1.如图,边长为2的正方B组

1.

如图,边长为2的正方形ABCD

中,

(1)

点E

是AB

的中点,点F

是BC

的中点,将△AED,△DCF

分别沿DE,DF

折起,使A,C

两点重合于点A,求证:AD⊥EF.

(2)

当BE=BF=

BC

时,求三棱锥AEFD

的体积.ABCDEFABEDF(2)解:∵BC=2,则得H△AEF的高AH=AD=AD=2,∴三棱锥AEFD

的体积为B组1.如图,边长为2的正方2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心(三角形三条中线的交点).ABCDA1B1C1D1H·(1)证明:连结B1D1,则A1C1⊥B1D1,又A1C1⊥D1D,∴A1C1⊥平面B1D1D,则A1C1⊥B1D.同理,连结B1C,可得BC1⊥B1D.∴B1D⊥平面A1C1B.2.如图,在正方体ABCD-A1B2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心(三角形三条中线的交点).设A1C1∩B1D1=O,则O,H,B是平面A1BC1与平(2)证明:ABCDA1B1C1D1H·面B1BDD1的公共点,即B,H,O共线.而O点是A1C1的中点,即BO是△A1C1B的中线.O同理,设BC1∩B1C=E,EA1,H,E共线且是△A1C1B的中线.∴H是△A1C1B的重心.2.如图,在正方体ABCD-A1B自我检则题返回目录自我检则题返回目录自我检测题一、选择题.

1.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是()2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行

(B)平行于同一平面的两个平面平行

(C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交

(D)一条直线与两个平行平面所成的角相等

3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D14.下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分

(B)两个平面把空间分成三部分

(C)三个平面把空间分成四部分

(D)四个平面把空间分成五部分

5.已知直线l⊥平面a,直线m平面b,有下列命题:①a//bl⊥m;②a⊥bl//m;③l//ma⊥b;④l⊥ma//b.其中正确的命题是()(A)①与②(B)③与④(C)②与④(D)①与③PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)自我检测题PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS

二、填空题.6.若点M在直线a上,a

在平面a

上,则M,a,a

间的关系可用集合语言表示为

.7.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a//c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是

.

三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线l

经过平面a内一定点P,但l

在a

外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.

若直线a平面a,Aa,Aa,A直线b,a//b,则ba.9.如图,在长方体ABCD-ABCD中,指出BC,DB所在直线与各个面所在平面的关系.

10.如图,过点S引三条不共面的直线SA,SB,SC,其中∠BSC=90,∠ASC=∠ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面ABC⊥平面BSC.ABCDABCDSACB二、填空题.ABCDABCDSACB

一、选择题.1.

如图,点P,Q,R,S

分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ

与RS

是异面直线的图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交异面C一、选择题.PQRS(A)PQRS(B)PQ

2.

下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行

(B)平行于同一平面的两个平面平行

(C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交

(D)一条直线与两个平行平面所成的角相等A2.下列命题中,错误的命题是(

3.

在正体ABCD-A1B1C1D1

中,若E

是A1C1的中点,则直线CE

垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如图,(A)AC

与CE

相交,排除.(B)直观BD

可能垂直CE.∵BD⊥AC,且BD⊥CC1,则BD⊥平面ACC1A1,而CE平面ACC1A1,∴BD⊥CE.B3.在正体ABCD-A1B1C1D14.

下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分

(B)两个平面把空间分成三部分

(C)三个平面把空间分成四部分

(D)四个平面把空间分成五部分A一个平面如图.两个平面如图.三个平面如图.四个平面如图.4.下列命题中,正确的是()A一个平5.

已知直线l⊥平面a,直线m平面b,有下列命题:①a//bl⊥m;②a⊥bl//m;③l//ma⊥b;④l⊥ma//b.其中正确的命题是()(A)①与②(B)③与④

(C)②与④(D)①与③almbalmbalmbalmb①成立②反例③成立④反例D5.已知直线l⊥平面a,直线

二、填空题.

6.

若点M

在直线a

上,a

在平面a

内,则M,a,a

间的关系可用集合语言表示为

.Ma,aa二、填空题.Ma,aa

7.

设a,b,c

是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a//c;②若a,b

是异面直线,b,c

是异面直线,则a,c

也是异面直线;③若a

和b

相交,b

和c

相交,则a

和c

也相交;④若a

和b

共面,b

和c

共面,则a

和c

也共面.其中真命题的个数是

.ABCDA1B1C1D1abc①反例如图.bc②反例如图.③反例如图.④反例如图.0个7.设a,b,c是空间的三条

三、解答题.

8.(1)

用符号语言表示语句:“直线l

经过平面a内一定点P,但l

在a

外”,并画出图形.

(2)

把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.

若直线a平面a,Aa,Aa,A直线b,a//b,则ba.解:(1)Pl,Pa,la.aPl三、解答题.解:(1)Pl,Pa,la

三、解答题.

8.(1)

用符号语言表示语句:“直线l

经过平面a内一定点P,但l

在a

外”,并画出图形.

(2)

把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.

若直线a平面a,Aa,Aa,A直线b,a//b,则ba.解:(2)若直线a

和点A

都在平面a

内,a

不经过点A,直线b

经过点A

且平行于a,则直线b在平面a

内.aAa·b三、解答题.解:(2)若直线a和点A9.

如图,在长方体ABCD-ABCD

中,指出BC,DB

所在直线与各个面所在平面的关系.ABCDABCD解:BC平面BBCC,BC//平面AADD,BC∩平面AABB=B,BC∩平面ABCD=C,BC∩平面CCDD=C,BC∩平面ABCD=B.DB∩平面ABCD=B,DB∩平面ABCD=D,DB∩平面AABB=B,DB∩平面BBCC=B,DB∩平面CCDD=D,DB∩平面DDAA=D.9.如图,在长方体ABCD-A10.

如图,过点S

引三条不共面的直线SA,SB,SC,其中∠BSC=90,∠ASC=∠ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面ABC⊥平面BSC.SACB证明:∵∠ASC=∠ASB=60,SA=SB=SC=a.∴△ASC≌△ASB,AB=AC.取BC

的中点E,则AE⊥BC.E在等腰直角△BSC

中,斜边中线SE=CE.在等边三角形ASC中,AC=AS.∴△AES≌△AEC.得∠AES=∠AEC,即AE⊥ES.①②由①②知AE⊥平面BSC.∵AE平面ABC,∴平面ABC⊥平面BSC.10.如图,过点S引三条不共面点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何本章内容2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系2.2

直线、平面平行的判定及其性质2.3

直线、平面垂直的判定及其性质第二章小结本章内容2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2本章小结本章小结知识要点复习参考题自我检测题本章小结本章小结知识要点复习参考题自我检测题1.

三个公理知识要点

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

三推论:①两相交直线确定平面;②两平行直线确定平面;③直线外的点与直线确定平面.

公理3:

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.返回目录1.三个公理知识要点公理1:如果一条知识要点2.

线线之间的位置关系相交平行异面共面判定两直线平行的公理4:平行于同一条直线的两直线互相平行.知识要点2.线线之间的位置关系相交平行异面共面判定两直线知识要点3.

两异面直线所成的角①角的范围(0,90].②由定义找角:③垂直相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.异面垂直,无垂足.知识要点3.两异面直线所成的角①角的范围(0,知识要点4.

线面平行的判定定理b

a,a

a,b//a,⇒

b∥a.l∥a,l

b,b∩a=m⇒

l∥m.由线线平行得线面平行.5.

线面平行的性质定理由线面平行得线线平行.知识要点4.线面平行的判定定理ba,aa,b知识要点aa,ba,a∩b,a∥b,b∥b,⇒a∥b.a∥b,g∩a

=a,g∩b

=b,⇒a∥b.6.

面面平行的判定定理由线面平行得面面平行.7.

面面平行的性质定理由面面平行得线线平行.知识要点aa,ba,a∩b,a∥b,b∥b,⇒a∥b.知识要点8.

线面垂直的定义

⊕若直线l

垂直平面a

内的任意一直线,则叫l⊥a.应用:若l⊥a,

则

l

垂直平面a

内的任意一直线.l⊥a,ma,l⊥m.

⊕过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.知识要点8.线面垂直的定义⊕若直线l知识要点9.

线面垂直的判定定理

⊕如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,l⊥a.aa,ba,

⊕两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.知识要点9.线面垂直的判定定理⊕如果一条知识要点10.

三垂线定理

如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;

如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.知识要点10.三垂线定理如果平面内的一条知识要点11.

直线和平面所成的角⊕斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角).⊕垂线与平面所成的角为90.

⊕平行线或在平面内的直线与平面所成的角为0.

⊕斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.

⊕两条平行线和同一个平面所成的角相等.知识要点11.直线和平面所成的角⊕斜线与斜线在平面上的射知识要点12.

直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.l1⊥a,l2⊥a,l1//l2.由线面垂直得线线平行.知识要点12.直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的知识要点13.

二面角及它的平面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.知识要点13.二面角及它的平面角从一条直知识要点14.

两平面垂直的判定

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.abll⊥a,lb,⇒b⊥a.知识要点14.两平面垂直的判定一个平面过知识要点15.

平面与平面垂直的性质

⊕两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与于另一个平面垂直.a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,⇒l⊥b.abml

⊕两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.知识要点15.平面与平面垂直的性质⊕两个复习参考题返回目录复习参考题返回目录A组1.

三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们的直观图吗?

答:

三个平面可将空间分成4个、或6个、或7个、或8个部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag复习参考题A组1.三个平面可将空间分成几部分?

2.

如图,一块正方体形木料的上底面上有一点E,经过点E

在上底面上画一条直线与CE垂直,怎样画?ABCDA1B1C1D1·EMN画法:①连结C1E,过点E

作MN⊥C1E.②在平面A1C1内,则MN就是所要求作的直线.∵CC1⊥平面A1C1,MN平面A1C1,∴MN⊥CC1.所作MN⊥C1E,其理由:则MN⊥平面C1EC,得MN⊥CE.2.如图,一块正方体形木料的上底面上3.

证明:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.

如图,

已知直线a∩b=A,b∩c=B,c∩a=C.求证

a,b,c

共面.证明:∵a∩b=A,⇒

a、b

确定平面,设为a,则aa,ba,得Ca,Bb,∴a、b、c

共面于a.a又c∩a=C,c∩b=B,ABCabc于是得

Ca,Ba,即得ca,3.证明:两两相交且不过同一点的三4.

如图,正方体的棱长是a,C,D

分别是两条棱的中点.(1)

证明四边形ABCD是一个梯形;(2)

求四边形ABCD的面积.证明:如图,连结上底面∵C,D是两棱中点,ACBDAB而AB//AB,且AB=AB,∴CD//AB,且CD≠AB,则ABCD是梯形.(1)对角线AB,∴CD//AB,且4.如图,正方体的棱长是a,ACBDAB4.

如图,正方体的棱长是a,C,D

分别是两条棱的中点.(1)

证明四边形ABCD是一个梯形;(2)

求四边形ABCD的面积.解:在底面正方形中求得如图,在Rt△OOE中可求得∴梯形ABCD的面积为(2)OEO梯形的高OE=EACBDAB4.如图,正方体的5.

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证EF//E1F1,且EF=E1F1.证明:连结EE1,FF1,在正方体中,AE∥A1E1,AF∥A1F1,又知AE=A1E1,AF=A1F1,∴AEE1A1和AFF1A1是□,则EE1//AA1,且EE1=AA1,FF1//AA1,且FF1=AA1,∴四边形EE1F1F是□,得EE1//FF1,且EE1=FF1,则EF//E1F1,且EF=E1F1.AA1EFE1F1BCDB1C1D15.如图,正方体ABCD-A1B

6.

如图,长方体的三个面的对角线长分别是a,b,c,求长方体对角线AC的长.AADCDCBBabc解:设长方体中同一顶点处的三条棱长为x,y,z,而AC2=AC2+CC2=AB2+BC2+CC2xyz则a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2,=x2+y2+z26.如图,长方体的三个面的对角线长

7.

如图,四棱锥V-ABCD

中,底面ABCD

是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,试画出二面角V-AB-C

的平面角,并求它的度数.ABCDVEF解:分别取AB、CD

的中点E、F,连结VE、EF,则∠VEF就是二面角V-AB-C的平面角.连结VF,由已知可得VF=VE==2,又EF=2,∴∠VEF=60,即二面角V-AB-C

的度数是60.7.如图,四棱锥V-ABCD中8.

已知a,b,g

是三个平面,且a∩b=a,a∩g=b,b∩g=c,且a∩b=O.求证a,b,c

三线共点.bgabac证明:∵a∩b=O,得Oa,Ob,a∩b=a,

ab,a∩g=b,

bg,

Ob,Og,即O为b与g的公共点,而

b∩g=c,∴交线c

必过O

点,则a,b,c

三线共点O.8.已知a,b,g是三9.

如图,平面a、b、g

两两相交,a、b、c

为三条交线,且a//b,求证a//b//c.bagabc∵a∥b,证明:g∩b=

b,ag,a//b.同理,a∥b,a∩b=

c,aa,a//c.于是得b//c,∴得a//b//c.9.如图,平面a、b、g两两相交10.

如图,a∩b=AB,PC⊥a,PD⊥b,C,D

是垂足,试判断直线AB

与CD

的位置关系?并证明你的结论.答:

AB⊥CD.证明:∵a∩b=AB,∴ABa,ABb.而

PC⊥a,PD⊥b,∴

PC⊥AB,PD⊥AB.则

AB⊥平面PCD.而CD平面PCD,∴AB⊥CD.abABCDP10.如图,a∩b=AB,B组

1.

如图,边长为2的正方形ABCD

中,

(1)

点E

是AB

的中点,点F

是BC

的中点,将△AED,△DCF

分别沿DE,DF

折起,使A,C

两点重合于点A,求证:AD⊥EF.

(2)

当BE=BF=

BC

时,求三棱锥AEFD

的体积.ABCDEFABEDF(1)证明:∵DA⊥AE,DC⊥CF,∴DA⊥AE,DA⊥AF,则DA⊥平面AEF,于是得DA⊥EF.B组1.如图,边长为2的正方B组

1.

如图,边长为2的正方形ABCD

中,

(1)

点E

是AB

的中点,点F

是BC

的中点,将△AED,△DCF

分别沿DE,DF

折起,使A,C

两点重合于点A,求证:AD⊥EF.

(2)

当BE=BF=

BC

时,求三棱锥AEFD

的体积.ABCDEFABEDF(2)解:∵BC=2,则得H△AEF的高AH=B组1.如图,边长为2的正方B组

1.

如图,边长为2的正方形ABCD

中,

(1)

点E

是AB

的中点,点F

是BC

的中点,将△AED,△DCF

分别沿DE,DF

折起,使A,C

两点重合于点A,求证:AD⊥EF.

(2)

当BE=BF=

BC

时,求三棱锥AEFD

的体积.ABCDEFABEDF(2)解:∵BC=2,则得H△AEF的高AH=AD=AD=2,∴三棱锥AEFD

的体积为B组1.如图,边长为2的正方2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心(三角形三条中线的交点).ABCDA1B1C1D1H·(1)证明:连结B1D1,则A1C1⊥B1D1,又A1C1⊥D1D,∴A1C1⊥平面B1D1D,则A1C1⊥B1D.同理,连结B1C,可得BC1⊥B1D.∴B1D⊥平面A1C1B.2.如图,在正方体ABCD-A1B2.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心(三角形三条中线的交点).设A1C1∩B1D1=O,则O,H,B是平面A1BC1与平(2)证明:ABCDA1B1C1D1H·面B1BDD1的公共点,即B,H,O共线.而O点是A1C1的中点,即BO是△A1C1B的中线.O同理,设BC1∩B1C=E,EA1,H,E共线且是△A1C1B的中线.∴H是△A1C1B的重心.2.如图,在正方体ABCD-A1B自我检则题返回目录自我检则题返回目录自我检测题一、选择题.

1.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是()2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行

(B)平行于同一平面的两个平面平行

(C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交

(D)一条直线与两个平行平面所成的角相等

3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D14.下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分

(B)两个平面把空间分成三部分

(C)三个平面把空间分成四部分

(D)四个平面把空间分成五部分

5.已知直线l⊥平面a,直线m平面b,有下列命题:①a//bl⊥m;②a⊥bl//m;③l//ma⊥b;④l⊥ma//b.其中正确的命题是()(A)①与②(B)③与④(C)②与④(D)①与③PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)自我检测题PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS

二、填空题.6.若点M在直线a上,a

在平面a

上,则M,a,a

间的关系可用集合语言表示为

.7.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a//c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是

.

三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线l

经过平面a内一定点P,但l

在a

外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.

若直线a平面a,Aa,Aa,A直线b,a//b,则ba.9.如图,在长方体ABCD-ABCD中,指出BC,DB所在直线与各个面所在平面的关系.

10.如图,过点S引三条不共面的直线SA,SB,SC,其中∠BSC=90,∠ASC=∠ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面ABC⊥平面BSC.ABCDABCDSACB二、填空题.ABCDABCDSACB

一、选择题.1.

如图,点P,Q,R,S

分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ

与RS

是异面直线的图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交异面C一、选择题.PQRS(A)PQRS(B)PQ

2.

下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行

(B)平行于同一平面的两个平面平行

(C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交

(D)一条直线与两个平行平面所成的角相等A2.下列命题中,错误的命题是(

3.

在正体ABCD-A1B1C1D1

中,若E

是A1C1的中点,则直线CE

垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如图,(A)AC

与CE

相交,排除.(B)直观BD

可能垂直CE.∵BD⊥AC,且BD⊥CC1,则BD⊥平面ACC1A1,而CE平面ACC1A1,∴BD⊥CE.B3.在正体ABCD-A1B1C1D14.

下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分

(B)两个平面把空间分成三部分

(C)三个平面把空间分成四部分