物理-大物b01流体力学

01力学基

本概述02理想流体的流动03黏滞流体的运动规律Co

nts01力学基

本概述02理想流体的流动03黏滞流体的运动规律Contents力学的基本概念经典力学研究机械运动机械运动：物体间或物体各部分之间的相对位置变化。运动学：

𝑟റ

=

𝑟റ(𝑡)力学动力学：

𝐹റ

=

𝑑(𝑚𝑣റ)𝑑𝑡𝑥𝑦𝑧𝑂一、质点运动学1、质点运动的描述质点：具有一定质量没有大小和形状的理想物体。参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体，也称为参照系。要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学 ，采用固定在参考系上的坐标系。常用的坐标系有直角坐标系(𝑥,𝑦,𝑧)等。方向大小（1）位置矢量在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢或矢径。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。𝑟റ

=

𝑥𝑖റ

+

𝑦𝑗റ

+

𝑧𝑘𝑟റ*

𝑃 𝑥,

𝑦,

𝑧𝑥𝑖റ𝑦𝑧𝑘𝑥𝑦𝑧𝑗റ𝑂𝑟

=

𝑟റ

=

𝑥2

+

𝑦2

+

𝑧2cos

𝛼

=𝑥𝑟cos

𝛽

=𝑦𝑟cos

𝛾

=𝑧𝑟cos2

𝛼

+

cos2

𝛽

+

cos2

𝛾

=

1直线运动：质点运动轨迹为直线曲线运动：质点运动轨迹为曲线分量式运动方程和轨迹方程在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。𝑟റ

=

𝑟റ

𝑡 =

𝑥(𝑡)𝑖റ

+

𝑦(𝑡)𝑗റ

+

𝑧(𝑡)𝑘𝑥

=

𝑥(𝑡)𝑧

=

𝑧(𝑡)𝑦

=

𝑦(𝑡)将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹方程。一般情况轨迹方程是空间曲线。𝑓(𝑥,

𝑦,

𝑧)

=

0𝑥𝑧𝑂（2）位移位移是反映质点位置变化的物理量，经过时间间隔∆𝑡后，质点位置矢量发生变化，把由始点𝐴指向终点𝐵的有向线段∆𝑟റ称为点𝐴到𝐵的位移矢量，简称位移。∆𝑟റ

=

𝑟റ 𝑡

+

∆𝑡 −

𝑟റ

𝑡𝑟റ

𝑡𝑟റ 𝑡

+

∆𝑡𝑦𝐴𝐵∆𝑠∆𝑟റ路程∆𝑠：是标量，表示质点实际运动轨迹的长度∆𝑟റ

为位移的大小。∆𝑟为位移矢量大小的增量。（3）速度平均速度∆𝑟റ𝑣റ

=∆𝑡速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。瞬时速率（速率）速度（瞬时速度）∆𝑡→0

∆𝑡∆𝑟റ

𝑑𝑟റ𝑣റ

=

lim

=𝑑𝑡𝑣

=

𝑣റ𝑑𝑟റ

𝑑𝑠=

=𝑑𝑡

𝑑𝑡𝑥𝑧𝑂𝑟റ

𝑡𝑟റ 𝑡

+

∆𝑡𝑦∆𝑟റ𝐴𝐵𝑣റ速度的方向：当∆𝑡→0时位移∆𝑟റ的极限方向。和这个时刻质点所在处的轨道曲线相切，指向质点前进的一侧。速度的方向：和这个时刻质点所在处的轨道曲线相切，并指向运动方向大小：瞬时加速度瞬时加速度简称加速度，它是矢量，表示速度变化的快慢。𝑑𝑣റ𝑑2𝑟റ𝑎റ

=

𝑑𝑡

=

𝑑𝑡2𝑎

=

𝑎റ

=𝑑𝑣റ𝑑𝑡𝑑

𝑣റ≠𝑑𝑡（4）加速度在直角坐标系中𝑟റ

=

𝑥𝑖റ

+𝑦𝑗റ

+𝑧𝑘∆𝑟റ

=

∆𝑥𝑖റ

+

∆𝑦𝑗റ

+∆𝑧𝑘𝑑𝑟റ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧𝑣റ

=

𝑑𝑡

=

𝑑𝑡

𝑖റ

+

𝑑𝑡

𝑗റ

+

𝑑𝑡𝑎

= 𝑎2

+

𝑎2

+

𝑎2𝑥

𝑦

𝑧𝑎𝑥𝑎cos

𝛼

=

cos

𝛽

=𝑎𝑦𝑎cos

𝛾

=𝑎𝑧𝑎𝑑𝑣റ

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧𝑎റ

=

𝑑𝑡

=

𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑖റ

+

𝑑𝑡

𝑗റ

+

𝑑𝑡

𝑘𝑑2𝑥

𝑑2𝑦

𝑑2𝑧=

𝑑𝑡2

𝑖റ

+

𝑑𝑡2

𝑗റ

+

𝑑𝑡2

𝑘

=

𝑎𝑥𝑖റ

+𝑎𝑦𝑗റ

+𝑎𝑧𝑘𝑑𝑥𝑣𝑥

=

𝑑𝑡𝑑𝑦𝑣𝑦

=

𝑑𝑡𝑑𝑧𝑣𝑧

=

𝑑𝑡𝑑𝑟റ𝑣റ

=𝑑𝑡𝑑𝑣റ𝑎റ

=𝑑𝑡⇒

𝑑𝑟റ

=

𝑣റ𝑑𝑡

⇒𝑟റ

𝑡න

𝑑𝑟റ

=

න𝑣റ𝑑𝑟റ0

𝑡0𝑡𝑟റ

−𝑟റ0

=

න𝑣റ𝑑𝑡0⇒

𝑑𝑣റ

=

𝑎റ𝑑𝑡

⇒𝑣

𝑡න

𝑑𝑣റ

=

න𝑎റ𝑑𝑣0

0𝑡𝑣റ

−𝑣റ0

=

න𝑎റ𝑑0若𝑎റ为常矢量

𝑣റ

=

𝑣റ0

+𝑎റ𝑡𝑟റ

−𝑟റ0

=

න0𝑣റ0

+

𝑎റ𝑡

𝑑𝑡

=

𝑣റ0𝑡

+12𝑎റ𝑡21𝑟റ

=

𝑟റ0

+

𝑣റ0𝑡

+

2𝑎റ21002一运动质点在某瞬时位于位矢𝑟റ 𝑥,

𝑦

的端点处，其速度大小为（C）

（D）（A）

𝑑𝑟𝑑𝑡𝑑

𝑟റ𝑑𝑡𝑑𝑟റ（B）𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡2+𝑑𝑦𝑑𝑡2ω

d二、圆周运动1.角速度角坐标逆时针为正。

逆时针转向为正；顺时针为负。dtB

BRd

按右手螺旋法则确定ω的正负变化。角量和线量的关系：瞬时角速度dsRd

ds

Rd

ds

Rd

Rdt

dt（2）角加速度𝑑𝜔𝛽

=𝑑𝑡匀变速圆周运动𝜔

=

𝜔0

+

𝛽𝑡注意：与匀变速直线运动规律相似1𝜃

=

𝜃0

+

𝜔0𝑡

+

2

𝛽𝑡20𝜔2

−

𝜔2

=

2𝛽 𝜃

−

𝜃0𝑑2𝜃=

𝑑𝑡2𝑦𝑂𝑑𝜃𝜃𝑅𝑃′

𝑑𝑠𝑃一对正交坐标轴建立在质点运动的轨道上沿着速度方向的坐标轴为切向轴，其单位向量用𝑒റ𝑡表示。与速度方向垂直且指向曲线凹侧的坐标轴为法向轴，其单位向量用𝑒റ𝑛表示。构成的坐标系为自然坐标系（3）切向加速度

法向加速度𝑃𝑣റ𝑒റ𝑡𝑒റ𝑛切向加速度大小:自然坐标系下：

𝑎റ

=

𝑎𝑡𝑒റ𝑡

+𝑎𝑛𝑒റ大小：𝑎=𝑡𝑛𝑎2

+

𝑎2方向：𝜑=tan−1

𝑎𝑛𝑎𝑡𝑎𝑡𝑑𝑡𝑑𝑣

𝑑𝜔= =

𝑅

=

𝑅𝛽𝑑𝑡反映了速度方向的变化率。𝑣2𝑅𝑎𝑛

= =

𝑅𝜔2法向加速度大小:𝑣റ𝐴𝑒റ𝑡𝑒റ𝑛反映了线速度随时间的变化率。线量与角量之间的关系𝑠

=

𝑅𝜃𝑑𝑠

=

𝑅𝑑𝜃𝑑𝑠𝑣

=

𝑑𝑡𝑑𝜃=

𝑅

𝑑𝑡

=

𝑅𝜔𝑎𝑡

=𝑑𝑣𝑑𝑡=

𝑅𝑑𝜔𝑑𝑡=

𝑅𝛽𝑎𝑛

=𝑣2𝑅=

𝑅𝜔2𝑦𝑂𝑅𝑑𝜃𝜃𝑃′

𝑑𝑠𝑃例题1-1

已知质点沿半径𝑅

=

0.2𝑚的轨道做圆周运动，其角位置随时间变化关系为𝜃

=

𝑡3

−

3𝑡2

+

4𝑡，式中𝜃的单位是𝑟𝑎𝑑，𝑡的单位是𝑠。当𝑡=2𝑠时，试求：（1）质点的角速度和角加速度，（2）质点的加速度大小和方向。解：（1）当𝑡=2𝑠时，由角速度和角加速度的定义式可得𝑑𝑡𝑑𝜃𝜔

= =

3𝑡2

−

6𝑡

+

4

=

3

×

22

−

6

×

2

+

4 =

4

𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑑𝜔𝛽

=

=

6𝑡

−

6 =

6

×

2

−

6

=

6

𝑟𝑎𝑑/𝑠2𝑑𝑡（2）𝑎𝑡

=

𝑅𝛽

=

0.2

×6

=

1.2

𝑚/𝑠2

𝑎𝑛

=

𝑅𝜔2

=

0.2×

42

=

3.2

𝑚/𝑠2𝑡𝑛𝑎𝑡𝜑

=

tan−1

𝑎𝑛

=

69.4°𝑎

=

𝑎2

+

𝑎2

=

3.4

𝑚/𝑠2英国物理学家, 经典物理学的奠基人

。他对力学、光学、热学、天文学和数学等学科都有重大发现, 其代表作《自然哲学的数学原理》（1687年）是力学的经典著作。牛顿是近代自然科学奠基时期具有集前人之大成的伟大的科学家！牛顿(Issac

Newton)（1643－1727）二、质点动力学1、牛顿运动定律第一定律（惯性定律）：任何物体，如果不受其他物体对它的作用，将继续保持其

或匀速直线运动的状态。惯性——质点不受力时保持

或匀速直线运动状态的性质，其大小用质量量度。力——使质点改变运动状态的原因。质点处于 或匀速直线运动状态时：(静力学基本方程)෍

𝐹റ𝑖

=0𝐹റ

=𝑑𝑃

𝑑𝑑𝑡

𝑑𝑡=

𝑚𝑣റ=

𝑚𝑎റ第二定律：物体的动量随时间的变化率正比于作用在这个物体上的合外力。宏观低速运动中𝑚视为常量动量：𝑃=

𝑚𝑣റ大小：𝑝=𝑚𝑣𝑚𝑣റ方向：与速度同向结论：力是产生加速度的原因。牛顿第二定律只适用于质点的运动。一般的表示直角坐标表示自然坐标表示牛顿第二定律的数学表达式𝑑𝑡𝐹റ

=

𝑑𝑃

=

𝑚𝑎റ𝐹𝑥

=

𝑚𝑎𝑥𝑑𝑣𝑥=

𝑚𝑑𝑡𝐹𝑦

=

𝑚𝑎𝑦𝑑𝑣𝑦=

𝑚𝑑𝑡𝐹𝑡

=

𝑚𝑎𝑡𝑑𝑣=

𝑚

=

𝑚𝑟𝛽𝐹𝑛

=

𝑚𝑎𝑛

=

𝑚𝑑𝑡𝑣2𝑟=

𝑚𝑟𝜔2第三定律：两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。第三定律揭示了力的两个性质:成对性——物体之间的作用是相互的。同时性——相互作用之间是相互依存，同生同灭。作用力和反作用力，分别作用于二物体，各产生其效果；不能抵消。作用力和反作用力是性质相同的力。质点动量定理的积分形式物体在外力作用过程中，物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量2、动量定理

动量守恒定律=

𝑚𝑣റ2

−𝑚𝑣റ1

=∆𝑃𝑡2𝐼റ

=

න

𝐹റ

𝑡

𝑑𝑡𝑡1𝐹റ

=𝑑𝑃𝑑𝑡𝑡2𝐼റ

=

න

𝐹റ

𝑡

𝑑𝑡𝑡1力的冲量：表示力对时间累积效应的物理量。（1）冲量 质点动量定理质点动量定理的微分形式𝑑𝑃

=

𝐹റ𝑑𝑡关于动量守恒定律的说明系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化在碰撞、打击、

等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力动量守恒可在某一方向上成立（1）功功是表示力对空间累积效应的物理量。功：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。位移元：

𝑑𝑟റ

元功：

𝑑𝑊𝑑𝑊

=

𝐹റ

∙

𝑑𝑟റ3.功和能𝑑𝑟റ𝐹റ𝑑𝑟റ1𝑑𝑟റ𝑖𝐹റ1𝐹റ𝑖𝜃1𝜃

*𝑖𝜃*𝑎𝑏𝐵

𝐵

𝐵𝑊

=

න 𝑑𝑊

=

න

𝐹റ

∙

𝑑𝑟റ

=

න 𝐹

cos

𝜃

𝑑𝑠𝐴 𝐴 𝐴质点动能定理：质点动能的增量等于合外力所作的功（2）动能与动能定理𝑏𝑎

𝑎𝑏

𝑏𝑊

=

න

𝐹റ

∙

𝑑𝑟റ

=

න

𝐹റ𝑡

∙

𝑑𝑟റ

+

න

𝐹റ𝑛

∙

𝑑𝑟റ𝑎𝑏

𝑏=

න

𝐹𝑡

cos

0°

𝑑𝑠

+

න

𝐹𝑛

cos

90°

𝑑𝑠𝑎

𝑎𝑎

𝑎𝑏

𝑏𝑑𝑣=

න

𝐹𝑡𝑑𝑠

=

න 𝑚

𝑑𝑡

𝑑𝑠

=

න𝑣1𝑣2221

12

2𝑊

=

𝑚𝑣

−

𝑚𝑣1212动能：

𝐸𝑘

=

2

𝑚𝑣

𝑊

=

𝐸𝑘2

−

𝐸𝑘1𝐹റ𝑡𝑏𝑣2𝐹റ𝐹റ𝑛𝑎

𝑣1𝑚𝑣𝑑𝑣物体由于运动而具有的能量1𝐸𝑃

=2

𝑘𝑥

零势面（势能零点）选在平衡位置2势能：相互作用的物体凭借其相对位置而具有的能量。重力势能：物体从某一位置运动到零势面（距离为ℎ）重力所做的功。𝐸𝑃

=

𝑚𝑔ℎ弹性势能：物体因为弹性形变而具有的能量。一般是指弹簧在弹性限度内，弹力从该位置到零势面所做的功。（3）势能与机械能守恒定律机械能守恒定律：在只有重力或系统内弹力（也包括其它保守力，如引力、静电力等）做功的情况下，质点系的机械能保持不变。𝐸=𝐸𝑘

+𝐸𝑃

＝常量1-2

一个质量为10𝑘𝑔的质点在力𝐹

= 120𝑡

+

40

𝑁的作用下，沿𝑥轴做直线运动。在𝑡

=

0时，质点位于𝑥0

=

5𝑚处，其速度𝑣0

=6𝑚/𝑠。求：（1）质点在𝑡=10𝑠时的速度和位置；（2）该过程的冲量；（3）力做的功。（1）由牛顿定律得10𝐹

=

𝑚𝑎𝑣题解=

12𝑡

+4𝑑𝑣𝑎

=

𝑑𝑡

=

12𝑡

+4

⇒𝑣0

0𝐹 120𝑡

+

40𝑎

=

𝑚

=𝑡න 𝑑𝑣

=

න

𝑎𝑑𝑡

=

න0𝑡12𝑡

+

4

𝑑𝑡𝑣

=

6𝑡2

+

4𝑡

+6 =

646

𝑚/𝑠𝑥𝑣

=𝑑𝑥𝑑𝑡0𝑡𝑥0=

6𝑡2

+

4𝑡

+

6

⇒

න

𝑑𝑥

=

න

6𝑡2

+

4𝑡

+6

𝑑𝑡𝑥

=

2𝑡3

+

2𝑡2

+

6𝑡

+

5 =

2265

𝑚1-2

一个质量为10𝑘𝑔的质点在力𝐹

= 120𝑡

+

40

𝑁的作用下，沿𝑥轴做直线运动。在𝑡

=

0时，质点位于𝑥0

=

5𝑚处，其速度𝑣0

=6𝑚/𝑠。求：（1）质点在𝑡=10𝑠时的速度和位置；（2）该过程的冲量；（3）力做的功。𝑡（2）𝐼

=

න𝐹𝑑𝑡0题解𝑡=

න 120𝑡

+

40

𝑑𝑡06=

2.1

×

10

𝐽=

60𝑡2

+

40𝑡当𝑡

=

10𝑠时

𝐼

=

6400 𝑁

∙

𝑠或者

𝐼

=

𝑚𝑣

−

𝑚𝑣0

=

6400 𝑁

∙

𝑠（3）12𝑊

=

2

𝑚𝑣

−12𝑚𝑣0201力学基

本概述02理想流体的流动03黏滞流体的运动规律Contents一、流体的稳定流动1.实际流体和理想流体液体的特性：不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体流动性黏滞性可压缩性流体 存在黏滞力的性质称为黏滞性。黏滞力或内摩擦力：存在于液体对运动的力。，阻碍相互接触的流层发生相3.流线与流管流线：在流速场中人为一些曲线，这些曲线上每一点的切线方向均与该点流速方向一致。稳定流动的流线：流线是不随时间变化的曲线；流线是流体质点的运动轨迹；任意两条流线不相交。流管：通过液体 某一截面的流线所围成的细管流线流管二、连续性原理（The

principle

of

continuity）在稳定流动中，如果流体不可压缩，则单位时间流进流管的质量应等于相同时间流出流管的流体质量。连续性原理(Principle

of

continuity)：不可压缩的流体作稳定流动时，同一流管中任一横截面处的流量守恒。物理本

现了流体在流动中质量守恒注是流量（flow

capacity），单位：

𝑚3/𝑠

（单位时间内通过横截面的液体体积）𝜌𝑆1𝑣1𝑑𝑡

=

𝜌𝑆2𝑣2𝑑𝑡𝑆1𝑣1

=

𝑆2𝑣2

=

𝐶此称连续性方程𝑆𝑣

=

𝑄𝑆1𝑣1𝑆2𝑣2例：横截面是4𝑚2的

，下端装有一导管，水以2𝑚/𝑠从导管流出，如果导管横截面是10𝑐𝑚2，那么

里水的下降速度是多少？,解：设

𝑆1

=

4𝑚2

,

𝑆2

=

10𝑐𝑚2

𝑣2

=

2𝑚/𝑠由连续性原理有𝑣1𝑆1

=𝑣2𝑆2，代入数据，得𝑣1

=

5

×10−4𝑚/𝑠一路顺风，还是一路逆风？三、伯努利方程及其应用式中𝜌是流体的密度，𝑔是重力加速度。𝑝1

+121、伯努利方程伯努利方程是流体动力学的基本规律之一，它说明了理想流体在管道中作稳定流动时，同一流线上各点的压强𝑝、流速𝑣和高度ℎ三者之间的关系。根据功能原理和连续性方程，可以得到2𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ =

𝑝1

1

2+1222𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ212𝑝+

𝜌𝑣

+𝜌𝑔ℎ=常量2伯努利方程如下：𝑃1𝑆12𝑃2𝑆2𝑎

𝑎′𝑏𝑏′𝑣1ℎ1𝑣2ℎ伯努利，D．(Daniel

Bernoulli

1700～1782)物理学家、数学家、医学家。 生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利 中最杰出的一位。他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。1721年取得医学

。伯努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡 的数学 。8年后回到塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。在1725～1749

，伯努利曾十次荣获法国 的年度奖。，伯努利在 巴塞尔逝世，终年82岁。伯努利方程的推导过程a、研究对象：取一段细流管，研究经过Δ𝑡时间流体微团自𝑎𝑏运动到𝑎′𝑏′过程中的功能关系b、受力分析：

𝐹1

=𝑝1𝑆1c、应用功能原理：𝑊𝑜𝑢𝑡

=

𝐸2

−

𝐸1

①(1)外力做功:𝑊𝑜𝑢𝑡

=

𝑊1

+

𝑊2

=

𝑝1𝑆1𝑣1∆𝑡

−

𝑝2𝑆2𝑣2∆𝑡由连续性原理，有

𝑆1𝑣1∆𝑡

=

𝑆2𝑣2∆𝑡

=

Δ𝑉𝐹2

=

𝑝2𝑆2𝑊𝑜𝑢𝑡

=故

𝑝1

−

𝑝2

Δ𝑉

②𝑝1𝑆1𝑏

𝑏′𝑝2𝑆2𝑣2根据连续性原理，𝑏𝑏′段的液体质量等于𝑎𝑎′段的液体质量，设为Δ𝑚，同时令该两段液体元相对共同参考面的高度分别为ℎ1、ℎ2，则有：(2)流管中液体机械能的变化:③𝐸2

−

𝐸1

=1222Δ𝑚

∙

𝑣 +

Δ𝑚

∙

𝑔ℎ2−122Δ𝑚

∙

𝑣 +

Δ𝑚

∙

𝑔ℎ1

1=

𝜌Δ𝑉1222𝑣 +

𝑔ℎ2−12𝑣12+

𝑔ℎ1Δ𝐸

=

𝐸2

−

𝐸1=

𝐸𝑎′𝑏

+

𝐸𝑏𝑏′

−

𝐸𝑎𝑎′

+

𝐸𝑎′𝑏=

𝐸𝑏𝑏′

−𝐸𝑎𝑎′𝑝1𝑆1𝑏

𝑏′𝑝2𝑆2𝑣2整理后得即：(3)将②、③代入①，得：伯努利方程的应用条件：①稳定流动；②理想流体；③同一流线。𝑜𝑢𝑡𝑊 =

𝐸2

−

𝐸1𝐸2

−

𝐸1

=

𝜌Δ𝑉12𝑣222+

𝑔ℎ

−12𝑣12+𝑔ℎ1𝑊𝑜𝑢𝑡

=𝑝1

−

𝑝2

Δ𝑉𝑝1

−

𝑝2

Δ𝑉

=

𝜌Δ𝑉1222𝑣 +

𝑔ℎ2−122𝑣 +

𝑔ℎ1

1𝑝1

+122𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ =

𝑝1

1

2+12𝜌𝑣22+

𝜌𝑔ℎ2𝑝1𝑆1𝑏

𝑏′𝑝2𝑆2𝑣212𝑝+2

𝜌𝑣

+𝜌𝑔ℎ=

常量公式含义分析：表明在惯性系中，理想流体在重力作用稳定流动时，同一流管中任意一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强能之和是个常量。动能+势能+压能=常数（沿流线）两端同时除以γ=𝜌𝑔12𝑝+2

𝜌𝑣

+𝜌𝑔ℎ=

常量𝑣2𝑝γ

2𝑔+

+ℎ=

常量压力水头 速度水头

位置水头理想流体在重力作用下在同一流管中作稳定流动时，流管中任一截面处的压力水头、速度水头、位置水头之和是一恒量。2.伯努利方程的应用

(1)小孔流速设在一个大容器的水面下ℎ处的器壁上开有一个小孔，水由小孔流出。求小孔处水流的速度。托里拆利定律𝑝𝐴

+122𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ

=

𝑝𝐴 𝐵+12𝜌𝑣𝐵2𝑣𝐴

=

0𝑝𝐴

=

𝑝𝐵

=

𝑝0𝑣𝐵

=

2𝑔ℎ𝑝𝐴

≠

𝑝0，𝑣𝐵

=?𝐵𝑣

=2 𝑝𝐴

−

𝑝0𝜌+

2𝑔ℎ(2)比多(pitot)管（皮托管）应用：将皮托管用于飞机上，测出空气相对于飞机的流速也就等于测出飞机相对于空气的航速。𝑝𝐴

+122𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ𝐴 𝐴𝐵=

𝑝

+12𝜌𝑣𝐵2+

𝜌𝑔ℎ𝐵ℎ𝐴

=

ℎ𝐵

=

𝐻 𝑣𝐴

=

0𝑝𝐴

=

𝑝0

+

𝜌𝑔 ℎ

+

𝐻𝑝𝐵

=

𝑝0

+

𝜌𝑔𝐻∴

𝑣𝐵

=

2𝑔ℎ𝐵

𝐴𝐻ℎ(4)空吸作用AB水水+气气水流抽气机航海中，对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离；人在遇到快速运动的高铁需要远离。𝑆𝑣=常量1𝑝

+

2

𝜌𝑣2=常量例题1-3

为应用虹吸现象从水库引水的示意图。已知虹吸𝑝𝐴

+122𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ𝐴 𝐴𝐶=

𝑝

+12管粗细均匀，其最高点B比水库水面高出ℎ1

为5.0𝑚，管口C又比水库水面低ℎ2为3.0𝑚，求虹吸管内水的流速和𝐵点处的压强（已知大气压强为1.013×105𝑃𝑎）解：对𝐴点和𝐶点应用伯努利方程有𝜌𝑣2+

𝜌𝑔ℎ𝐶

𝐶𝑝𝐴

=

𝑝𝐶

=

𝑝0𝑣𝐴

=

0𝑣𝐵

=

𝑣𝐶

=

𝑣ℎ𝐴

−

ℎ𝐶

=

ℎ2𝑣

= 2𝑔ℎ2

=2

×

9.8

×

3=

7.7𝑚/𝑠ℎ1𝐴ℎ2𝐶𝐵𝑣𝐵

=

𝑣𝐶

𝑝𝐶

=

𝑝0

ℎ𝐵

−

ℎ𝐶

=

ℎ1

+

ℎ2𝑝𝐵

=

𝑝0

−

𝜌𝑔 ℎ1

+ℎ2

=

2.26

×

104𝑃𝑎解：对𝐵点和𝐶点应用伯努利方程有ℎ1ℎ2𝐴𝐵

𝐶

例题1-3

为应用虹吸现象从水库引水的示意图。已知虹吸管粗细均匀，其最高点B比水库水面高出ℎ1

为5.0𝑚，管口C又比水库水面低ℎ2为3.0𝑚，求虹吸管内水的流速和𝐵点处的压强（已知大气压强为1.013×105𝑃𝑎）𝑝𝐵

+12𝐵2𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ𝐵=

𝑝𝐶

+122𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ𝐶

𝐶例题1-4

，注射器活塞的面积为𝑆1，针头出口处截面积为𝑝1

+121𝜌𝑣2

=

𝑝2

+122𝜌𝑣210𝑝 =

𝑝

+𝐹𝑆12𝑣

=2𝐹𝑆1𝜌

𝑆2

−

𝑆21

2𝑝2

=

𝑝0𝑆1𝑣1

=

𝑆2𝑣2𝑆2（𝑆1

≫𝑆2

），活塞的行程为𝐿，作用于活塞上的力为𝐹。设注射器水平放置，活塞匀速向前推进。求从注射器中喷出的水流速度和喷射的时间。解：设活塞运动的速度为𝑣1，喷出的水流速度为𝑣1，作用于活塞上

的压强为𝑝1，针口处的压强为𝑝1。选注射器中心轴线为水平参考面，应用伯努利方程对𝐴点和𝐶点应用伯努利方程有𝐹𝐴点：𝑝1，𝑆1，𝑣1

𝐶点：

𝑝2，𝑆2，𝑣2例题1-4

，注射器活塞的面积为𝑆1，针头出口处截面积为𝑣2

=2𝐹𝑆1𝜌

𝑆2

−

𝑆21

2𝑆2（𝑆1

≫𝑆2

），活塞的行程为𝐿，作用于活塞上的力为𝐹。设注射器水平放置，活塞匀速向前推进。求从注射器中喷出的水流速度和喷射的时间。𝐹𝐴点：𝑝1，𝑆1，𝑣1

𝐶点：

𝑝2，𝑆2，𝑣2𝑆1

≫

𝑆2

𝑣2

=2𝐹𝜌𝑆1𝑆1𝑣1𝑡

=

𝑆2𝑣2𝑡

=

𝑆1𝐿𝑆1𝐿

𝑆1𝐿𝑡

=

𝑆

=

𝑆2𝑣2

2𝜌𝑆12𝐹由此可见，推力𝐹越大，液体从针口喷射出的速度也越大，而喷射时间就越短。例题（习题1-9 P40）设空气流过机翼时为稳定流动，空气密度为𝜌=1.29𝑘𝑔∙𝑚−3，若机翼下面气流速度为100𝑚∙𝑠−1，机翼两侧达到1000𝑃𝑎的压强差时，机翼上面的气流速度为多少？12解：如图，先由机翼前端（后端）与上表面（1）形成的流线列伯努利方程，再由前端（后端）与下表面（2）形成的流线列伯努利方程，简化后得：由于ℎ1

≈ℎ2，故说明：机翼上表面因有弯度而使得上表面的空气流速更快。12𝑝1

+12𝜌𝑣122+

𝜌𝑔ℎ =

𝑝

+122𝜌𝑣 +

𝜌𝑔ℎ2

2𝑝1

+112𝜌𝑣122=

𝑝

+12𝜌𝑣221𝑣

=2 𝑝2

−

𝑝1𝜌2+

𝑣2=2

×

10001.29+

1002

=

107𝑚

∙

𝑠−1足球的“香蕉”球乒乓球的弧圈球滁州西涧韦应物独怜幽草涧边生，上有黄鹂深树鸣。带雨晚来急，野渡无人舟自横。01力学基

本概述02理想流体的流动03黏滞流体的运动规律Contents一、黏滞流体的基本规律黏滞性不可忽略的流体称黏滞流体。1.层流 牛顿黏滞定律（1）层流：各液层只作相对滑动，彼此不相掺合的分层流动。层流特点：只有切向速度，没有径向速度。（2）牛顿黏滞定律速度空间梯度（随空间的变化）黏滞流体沿𝑥方向作层流，其速度沿𝑦正方向增大。𝑑𝑣𝑑𝑦𝑦

+

𝑑𝑦𝑦𝑆𝑥𝑣𝑣

+𝑑𝑣称为速度梯度𝑦𝜂—黏滞系数（或黏度）单位:𝑃𝑎∙𝑠决定流体粘滞性强弱的物理量大小的影响因素：液体本身的性质；温度；压强𝐹

=

𝜂𝑑𝑣𝑑𝑦𝑆黏滞力：任意两相邻流层的界面上具有内摩擦力，这种内摩擦力称黏滞力。黏滞性：流体 存在黏滞力的性质。牛顿黏滞定律（Newton’slawofviscosity）：实验证明，黏滞力的大小与相邻两流层间接触面积、速度梯度成正比。𝑦

+

𝑑𝑦𝑦𝑆𝑥𝑣𝑣

+𝑑𝑣𝑦牛顿流体：一般的流体，在一定温度下黏滞系数是常数，遵守牛顿黏滞定律。一般较稀的液体 、牛奶、糖溶液等均属于此类。表：几种液体的的黏滞系数（单位：10−3𝑃𝑎∙𝑠）液体温度/℃液体温度/℃水0201.7921.005甘油轻机油2037830342800.357血浆372.5～3.5蓖麻油2001.2530020986𝑅𝑒

=𝜌𝑣𝑑𝜂2.湍流 雷诺数湍流：各液层相互掺合，整个液体作紊乱的无规则运动。雷诺数：液体

流体

管道密度 速度 直径层流湍流（3）雷诺数的意义①层流或湍流的判据（临界雷诺数）由层流向湍流过渡的雷诺数称为临界雷诺数，用𝑅𝑒𝑐表示。对于一般的圆形管道流，𝑅𝑒𝑐约为2000～2600。：𝑅𝑒<𝑅𝑒𝑐时，层流；𝑅𝑒=𝑅𝑒𝑐时，临界；𝑅𝑒>𝑅𝑒𝑐时，湍流。②流体相似律：两种流动的边界状况或边界条件相似且具有相同的雷诺数，则流体具有相同的动力学特征。植物组织𝑅𝑒动物组织𝑅𝑒植物导管0.04主动脉1200～5800松柏类树木0.02大动脉110～850散孔材阔叶树0.08毛细血管0.0007～0.003草本植物（小麦）2.91大静脉210～570藤本植物3.33腔静脉630～900生物体系中液体流动的雷诺数例题1-5 水在内径𝑑

=0.1𝑚的金属管中流动，流速𝑣

=0.5𝑚/𝑠，水的密度𝜌

=

1.0

×

103𝑘𝑔

∙

𝑚3，黏滞系数𝜂

=

1.0

×

10−3𝑃𝑎

∙

𝑠。试问（1）水在管中呈何种流动状态？（2）若管中的流体是油，且流速不变，但其密度𝜌=0.8×103𝑘𝑔∙𝑚3，黏滞系数𝜂=2.5×10−2𝑃𝑎∙𝑠。油在管中又呈何种流动状态？解：（1）水的雷诺数：所以水在管中呈湍流状态。（2）油的雷诺数𝑅𝑒

=𝜌𝑣𝑑 1.0

×

103

×

0.5

×

0.1𝜂 1.0

×

10−3= =

5

×

104

>

2000𝑅𝑒

==𝜌𝑣𝑑 0.8

×

103

×

0.5

×0.1𝜂 2.5

×

10−2=

1600

<

2000所以油水在管中呈层流状态。二、泊肃叶定律𝑅𝑝1𝑝2f𝑓

+

𝑑𝑓𝑣𝑓2𝑓1𝑙当液体元在水平方向上作匀速直线流动时，𝐹合=0即

𝑓1

−

𝑓2

+

𝑓

− 𝑓

+

𝑑𝑓 =

01、黏滞流体的流速当液体元在水平方向上作匀速直线流动时，𝐹合=0即又得另𝑑𝑣

𝑑𝑣𝑓

=

𝜂 𝑆

=

−𝜂

2𝜋𝑟𝑙𝑑𝑦

𝑑𝑟两边微分：

𝑑𝑓

=

−2𝜋𝜂𝑙𝑑

𝑟𝑑𝑣𝑑𝑟𝑦

→

𝑟𝑝1𝑓

+

𝑑𝑓𝑣𝐹1𝑝2𝐹2𝑙f

𝑟𝑓1

−

𝑓2

+

𝑓

− 𝑓

+

𝑑𝑓 =