专题04 导数与函数的极值（练习）（教师版）

专题04导数与函数的极值A组基础巩固1．（2021·辽宁高三月考）已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】要使有三个极值点，则有三个变号实根，转化为方程有两个不等于1的变号实根，令，通过研究的最小值可得的取值范围.【详解】，求导，得，令，得，或.要使有三个极值点，则有三个变号实根，即方程有两个不等于1的变号实根.，令，则，令，得.易知，且，；，.所以，当时，方程即有两个变号实根，又，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于把“有三个极值点”转化为方程“方程有两个不等于1的变号实根”.2．（2020·全国高二课时练习）已知函数，其导函数为．有下列命题：①的单调减区间是；②的极小值是；③当时，对任意的且，恒有④函数有且只有一个零点．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由，知，令，得，分别求出函数的极大值和极小值，知①错误，②③正确；由，且，（a）（a），利用导数证明即可0，故④正确【详解】，其导函数为．令，解得，，当时，即，或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，①错误，②③正确；，且，令（a）（a），则，记，因为当时，，则在单调递增，又因为（a）（a），所以当时，，当时，，所以在递减，在递增，又，所以（a）成立，故④正确；所以中真命题的个数为个，故选：C3．（2021·湖南师大附中高二月考）已知函数在处取得极值0，则（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或9【答案】B【分析】由题意可知，解方程组得和的值，再代入检验是否能使是原函数的极值点.【详解】因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；当'时，，令，得或；令得.所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则.故选：B.【点睛】本题考查根据函数的极值求参数的值，本题的易错点在于当令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值.4．（2021·淮北市树人高级中学高二期末（文））已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，，求导，令，得当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数的取值范围是故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．（2021·石泉县石泉中学高二开学考试（文））函数的极小值为（）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求导，利用导数分析原函数的单调性，得到极小值即可.【详解】由，得，当时，，单调递增；当或时，，单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为.故选：A.6．（2021·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知函数在处取得极小值，则在的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求出的值，然后利用导数可求得函数在的最大值.【详解】，则，由题意可得，解得，则，，令，可得或，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，，，则，所以，.故选：B.【点睛】思路点睛：利用导数求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.8．（2021·铅山县第一中学高二月考（文））已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】求得导函数，由，，解得，则即可判断极大值点，进而求得极大值.【详解】因为，所以，又因为函数在图象在处的切线方程为，所以，，解得，.由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A.8．（2021·全国高二单元测试）函数的极大值为___________，极小值为___________.【答案】【分析】求得函数的导数，根据导数的符号求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，令，解得或；令，解得，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，函数取得极大值，极大值为，当时，函数取得极小值，极小值为.故答案为：；.9．（2021·浙江高一期末）已知函数在时有极值0，则________，________．【答案】29【分析】根据，解得或，再验证函数在时是否取得极值，即可得解.【详解】因为，所以，由题意可知，，即，解得或，当时，，函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意；当时，，令，得或，令，得，所以函数在和上递增，在上递减，所以在时取得极大值，符合题意.故答案为：.【点睛】本题考查函数在某点处取极值的问题，一定要注意的是，在求出两组结果之后要代回检验是否符合题意．10．（2020·浙江台州市·高二期中）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为________；函数的极大值点为________.【答案】【分析】根据奇函数的定义，得到，即，确定函数解析式，函数求导得切线的斜率，利用函数的单调性求得极值点.【详解】因为函数是奇函数，所以，从而得到，即,所以，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，，则，所以函数在上是减函数，在是增函数，所以函数的极大值点是故答案为:；【点睛】本题考查利用导函数求函数在某点处的切线方程及函数极大值点，属于基础题..

B组能力提升11．（2021·辽宁高三其他模拟）（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．当时，函数有两个不同零点D．有两个极值点【答案】AD【分析】根据时，解析式，利用导数求得其单调递减区间，根据的奇偶性即可判定A、B的正误；在同一坐标系种画出与的图象，数形结合，即可判定C的正误；根据的图象，即可判定D的正误，即可得答案.【详解】当时，,令得,时,,所以在区间上单调递减,再根据奇函数知在区间上单调递减，故A正确;因为,所以在区间单调递减，故B错误;因为又为奇函数，所以,如图与有两个交点,则-且,故C错误;函数的两个极值点为土，故D正确.故选：AD【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的应用等知识，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.12．（2021·苏州市第三中学校高二月考）（多选题）下列命题中是真命题有（）A．若，则是函数的极值点B．函数的切线与函数可以有两个公共点C．函数在处的切线方程为，则当时，D．若函数的导数，且，则不等式的解集是【答案】BD【分析】结合导数的计算以及导数的几何意义直接判断即可.【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；故选：BD.13．（2021·全国高三专题练习）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为【答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．14．（2021·全国高三专题练习）（多选题）己知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（）A．是奇函数 B．0是的极值点C．在上有且仅有一个零点 D．的值域为R【答案】ACD【分析】A.利用函数的奇偶性定义判断；B求导，利用极值点的定义判断；C.根据函数在上单调，且判断；D.根据函数在R上连续，且判断.【详解】A.函数的定义域为R，，所以是奇函数，故正确；B.，当时，；当时，；所以在上单调递增，故错误；C.因为在上单调递增，且，所以在上有且仅有一个零点，故正确；D.因为函数在R上连续，，所以当时，且，，当时，且，，又，所以函数的值域为R，故正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题关键是用导数法得到函数的上的单调性.15．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高二期末）（多选题）设函数，，下列命题，正确的是（）A．函数在上单调递增，在单调递减B．不等关系成立C．若时，总有恒成立，则D．若函数有两个极值点，则实数【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.由，可得，由，可得.所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B选项错误；对于C选项，若时，总有恒成立，可得，构造函数，则，即函数为上的减函数，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，其中，.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，，C选项正确；对于D选项，，则，由于函数有两个极值点，令，可得，则函数与函数在区间上的图象有两个交点，当时，，如下图所示：

当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.所以，实数的取值范围是，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.16．（2021·全国高三专题练习）（多选题）对于函数，下列说法正确的有（）A．在处取得极大值B．有两不同零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】A､根据极值的定义求解判断；B､令，结合函数的图象判断；C､利用函数的图象，结合判断；D､根据在上恒成立，由求解判断.【详解】A､函数的导数，令，得，则当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确；B､当时，，时，，则的图象如图：由，得，得，即函数只有一个零点，故B错误；C､由图象知，，故成立，故C正确；D､若在上恒成立，则，设，则，当时，，当时，，即当时，函数取得极大值同时也是最大值，为，∴，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数法，得到函数的图象而得解.17．（2021·河南高三二模（文））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若极大值大于2，求的取值范围.·【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）先对函数求导得到，导函数的正负跟的取值有关系，所以要对的取值进行分类讨论，进而求出函数的单调递增区间.由（1）知，和时，无极大值，不成立．再分析当时，极大值，又，求解得a的取值范围；当时，极大值，得，求解得a的取值范围，最后两种情况取并集即可.【详解】（1）求导,当时，令，，解得：，所以的单调递增区间为，递减区间为当时，令，解得：或，所以的单调递增区间为和，的单调减区间为当时，上恒成立，所以的单调递增区间为；无递减区间当时，令，解得：或，所以的单调递增区间为和，的单调减区间为.综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和；（2）由（1）知，当和时，无极大值，不成立当时，函数的极大值为，解得，由于，所以．当时，函数的极大值为，得，令，则，，在取得极大值，且.因为，所以，而在单增，所以，解为，则.综上.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.18．（2021·四川成都市·树德中学高二月考（文））已知函数，且在点处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）依题意得，解方程即可；（2）原方程化为，令，求导分析单调性，求值域即可求的取值范围．【详解】（1），，∵函数在点处取得极值，，即当时，，，解得，经检验符合题意；（2），，.令，则.∴当时，，随的变化情况如下表：123+0-极大值计算得，，，，所以的取值范围为．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解19．（2021·江苏省苏州第十中学校高二期中）己知函数（1）当时，求曲线在点处的切线