2019届中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特殊角

2019届中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特别角2019届中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特别角14/142019届中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特别角2019届中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特别角一．选择题1．（2013兰州，9，3分）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，若是a2+b2=c2，那么以下结论正确的选项是（）A．=B．=C．=D．ctanB=bcsinAabcosBcatanAb考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a2+2=c2，依照勾股定理的逆定理获取△是直角三角形，且∠=90°，再bABCC依照锐角三角函数的定义即可获取正确选项．解答：解：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．A．sinA=，则csinA=a．故本选项正确；B．cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；C．tanA=，则=b．故本选项错误；D．tanB=，则atanB=b．故本选项错误．应选A．议论：此题观察了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形可否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（2013湖北孝感，8，3分）式子的值是（）A．B．0C．D．2考点：特别角的三角函数值．分析：将特别角的三角函数值代入后，化简即可得出答案．解答：解：原式=2×﹣1﹣（﹣1）=﹣1﹣+1=0．应选B．评：此题观察了特别角的三角函数值，一些特别角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．3.[2013湖南邵阳，9，3分]在△ABC中，若sinA-1+(cosB-1)222=0，则∠C的度数是( )A．30°B．45°C．60°D．90°知识考点：特别角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：依照两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠、∠AB的角度数，进而求出∠C的度数.满分解答：解：由题意知sinA-11112=0，cosB-2=0，解得sinA=2，cosB=2.因此∠A=45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°.应选C.名师议论：此题是常有的计算型试题，观察考生的综合运算能力，熟练掌握特别角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的要点.4．（2013?东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB按以下列图放置，尔后绕点O逆时针旋转90至AOB的地址，点B的横坐标为2，则点A的坐标为（）A．(1，1)B．(2,2)C．(－1，1)D．(2,2)答案：C分析：在RtAOB中，OB2，AOB45，AOBOA，因此OBOAOBcosAOB222，因此OA2，过A作ACy轴于点C，在2RtAOC，AOC45，OA2，sinAOCAC，AOACAOsinAOC21，又由于⊙OAC1，且点A在第二象限，因此点22A的坐标为（－1，1）．5.（2013杭州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】依照题意画出图形，以下列图，Rt△ABC中，AB=4，sinA=，BC=ABsinA，依照勾股定理得：AC==3.2，S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴CD=

=【方法指导】此题观察认识直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法规是解此题的要点6.（2013?衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为，则这棵树的高度为（）（结果精确到，≈）．A．B．C．D．【答案】D．【分析】设CD=x，Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，AD=x，Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，则ED=x，由题意得，

AD﹣ED=

x﹣

x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈．【方法指导】此题观察认识直角三角形的应用，

解答此题要点是构造直角三角形，

利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013四川乐山，

6，3分）如图，已知第一象限内的点

A在反比率函数

y

2

上，第二x象限的点

B在反比率函数

y

k

上，且

OA⊥OB，cosA=

3

，则

k的值为【

】x

3A．－3B．－6C．－4D．238．（2013重庆市，6，4分）计算6tan45°－2cos60°的结果是（）A．43B．4C．53D．5【答案】D．【分析】6tan45°－2cos60°＝6×1－2×1＝5．2【方法指导】此题观察特别锐角三角函数值．熟练记忆特别锐角三角函数值，并掌握实数运算法规是正确求解的前提．9.(2013湖南邵阳,9,3分)在△ABC中，若sinA1(cosB1)20,则∠C的度数是22()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】：D．【分析】：∵sinA1(cosB1)20，∴sinA1;cosB1;2222∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．应选D．【方法指导】：此题观察了特别角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特别角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．依照绝对值及完好平方的非负性，可求出sinA、cosB的值，既而得出∠A、∠B的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数．10．（2013重庆，9，4分）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）CA．2B．23C．313【答案】D【分析】在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠A=45°，∴∠ADBCD在Rt△（第9题图）=30°，∴=中，∠=90°，∠BCDBDCBBDtanB应选D．

D．31ACD=∠A=45°，∴AD=CD=1．13，∴=+=13，ABADBDtan30【方法指导】此题观察了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以经过求作高，转变成直角三角形解答；在含有特别角的直角三角形中，已知两个元素（最少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转变：sinAa，则a＝c·sinA，c＝ab，csinA；cosAbaac则b＝c·cosA，c＝；tanA，则a＝btanA；b．btanAcosA11．(2013湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为( )A．2B．222C．222D．224C【答案】BO2，过点B作⊥于，∵＝1，∠＝45°，∴＝＝2．∴AD【分析】如图45°BDACDOBAOBBDOD2DARt△中，＝22＝1－2．在BAD2BD2＝(1)2()2＝22．图2ABDAB222∴sinC＝AB＝222．应选B．AC【方法指导】∵∠＝2∠，∴∠C＝22.5°．此题说明°＝22．不难得出AOBC2cos22.5°＝222，°＝22＝2－1．2212.（2013深圳，11，3分）已知二次函数ya(x1)2c的图像如图2所示，则一次函数yaxc的大体图像可能是（）yyyyyOxOxOxOxOx图2ABCD【答案】A【分析】由二次函数图像知，抛物线张口向上，则a>0，因抛物线的极点(1,c)在第四象限，则c>0；据此，一次函数yaxc中，因a>0，则图像自左向右是“上升”的，先消除C、D。又c>0，则一次函数的图像与y轴的正半轴订交，故B错误，A正确。【方法指导】观察一次函数数、二次函数的系数与图像间的关系，函数相关系数的几何意义，观察学生数形结合的能力和转变思想、观察判断能力，综合观察一次函数和二次函数的相关性质，固然难度不是太大，但也拥有必然的综合性，需要全面仔细的考虑，对相关知识熟练无误。二．填空题1．（2013贵州安顺，

14，4分）在

Rt△ABC中，∠C=90°，

，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：依照tanA的值及即可．

BC的长度可求出

AC的长度，尔后利用三角形的面积公式进行计算解答：解：∵tanA=

=，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：

24．议论：此题观察解直角三角形的知识，

比较简单，要点是掌握在直角三角形中正切的表示形式，进而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．2．（2013湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12近似计算）．

A点测得D点的m（结果不作考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：第一过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，尔后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，既而可求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，依照题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，DE=BC=18m，CD=BE，Rt△ABC中，AB=BC?tan∠ACB=18×tan60°=18（m），Rt△ADE中，AE=DE?tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．议论：此题观察俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的要点，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013·鞍山，13，2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：第一利用余弦函数的定义求得AC的长，尔后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA＝，∴AC＝AB?cosA＝8×＝6，∴BC＝＝＝．故答案是：2．议论：此题观察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4.2013杭州4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出以下结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只要填上正确结论的序号【答案】．②③④【分析】以下列图：∵在Rt△中，∠=90°，=2，ABCCABBC∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．【方法指导】此题观察的是特别角的三角函数值，熟记各特别角度的三角函数值是解答此题的要点．5（2013四川内江，22，6分）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，则sinA﹣sinB=±．考点：互余两角三角函数的关系．分析：依照互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解．22sinB=cosA，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=﹣1=，则（sinA﹣sinB）2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA=1﹣=，sinA﹣sinB=±．故答案为：±．议论：此题观察了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答此题的要点．（2013浙江台州，14，5分）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为．【答案】：2．D5AOD，∵AB=4，则OA=OB=OC=2，OC=5，由于CD为⊙O的切线，则∠ODC=90°，【分析】连接OBC∴sinC=OD2。OC514题D【方法指导】此题观察切线的性质、三角函数的计算等知识点，其中连接半径OD是解决切线问题中的常用辅助线，进而构造直角三角形，解决三角函数问题。A浙江湖州,12,4分)如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosB7．(2013OBC的值为__▲__．【答案】513【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，因此BC=AB2AC21321225，因此cosBBC5，故填5。AB1313【方法指导】此题观察了勾股定理和锐角三角函数。先利用勾股定理求出BC的长度，尔后再依照余弦的定义求出cosB的值。（2013四川南充，12，4分）如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE=．【答案】：23【分析】设AD与BE交于点M，AC与BE交于点N，易知△MAN∽△BCN，进而获取ANAM，CNCB再过E作⊥交的延长线于，可得==2，再依照△∽△得MABA2EFBF即MA22，解得MA22221，因此AN5AC==，由题知225CN2222522AN1，解得AN=2，因此tanE=2.4AN533【方法指导】此题主要观察相似三角形的判断和性质以及锐角三角函数的定义.正确的找出相似三角形及其对应线段是此题的打破口，也是难点，难度较大.三．解答题1．（2013贵州安顺，19，6分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20130﹣|1﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特别角的三角函数值．专题：计算题．分析：此题涉及零指数幂、特别角的三角函数值、绝对值、负指数幂等四个考点．针对每个考点分别进行计算，尔后依照实数的运算法规求得计算结果．解答：解：原式=2×+﹣1﹣（﹣1）=．议论：此题观察实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型．解决此类题目的要点是熟记特别角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特别角的三角函数值、绝对值、负指数幂等考点的运算．2.2013?新疆8分）以下列图，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到）【思路分析】过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．先解直角△ACD，得出AD=CD=xkm，再解直角△BCD，得出BD=CD=xkm，尔后依照AD﹣BD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．【分析】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AD=CD=xkm．在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，BD=CD=xkm．∵AD﹣BD=AB，x﹣x=2，∴x=+1≈2.7（km）．故景点C到观光大道l的距离约为．【方法指导】此题观察三角形知识的实质运用，解题的要点．

难度适中，经过作辅助线构造直角三角形是3.2013

浙江丽水

6分）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图地址时，

AB=3m，已知木箱高

BE=

3m，斜面坡角为

30°，求木箱端点

E距地面

AC的高度

EF。（2013?宁波7分）天封塔历史悠久，是宁波出名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观察点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）【思路分析】在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，尔后依照AB=AD+BD即可求出AB的值．【分析】由题意得，∠EAC=45°，∠FCB=60°，EF∥AB，∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°，∵∠ACD=∠CAD=90°，在Rt△CDB中，tan∠CBD=

，∴BD=

=17

米，∵AD=CD=51米，∴AB=AD+BD=51+17．答：A，B之间的距离为（51+17）米．【方法指导】此题观察认识直角三角形的应用，解答此题的要点是依照俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．5．（2013贵州省六盘水，22，10分）阅读资料：关于三角函数还有以下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特别角的三角函数转变成特别角的三角函数来求值．例：tan15°=tan（45°﹣30°）===依照以上阅读资料，请选择合适的公式解答下面问题1）计算：sin15°；2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到米，参照数据，）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）把15°化为45°﹣30°今后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先依照锐角三角函数的定义求出BE的长，再依照AB=AE+BE即可得出结论．解答：°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣解：（1）sin15×=﹣=；（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，BE=DE?tan∠BDE=DE?tan75°．∵tan75°=tan（45°+30°）===2+，∴BE=7（2+）=14+7，∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）．答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．议论：此题观察了：1）