固体电子输运理论课件

7.1外场下Bloch电子运动的半经典模型

7.2Boltzmann方程

7.3外场和碰撞作用

7.4驰豫时间的统计理论

7.5电-声子相互作用

7.6金属电导率电阻率

7.8磁输运性质霍尔效应磁电阻效应

7.9热输运性质热电效应热导率热电势7.1外场下Bloch电子运动的半经典模型1对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型每个电子具有确定的位置r、波矢k

和能带指标n

建立模型描述r、k

和n

随时间的变化规律能带指标电子的速度波矢随时间的变化(1)电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁§7.1Bloch电子运动的半经典模型对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义对晶格周期场采用能带2Bloch电子的运动方程对晶格周期场的量子力学处理全部概括在函数中能带结构输运性质半经典模型使能带结构与输运性质即电子对外场的响应相联系输运性质能带结构同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果推断出电子的能带结构Bloch电子的运动方程对晶格周期场的量子力学处理全部概3§7.2Boltzmann方程对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。外场下载流子运动规律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响定义对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k）处相空间体积内的电子数为：每一个电子对电流密度的贡献为n通常不标出，因为考虑的是同一带中的电子所以总电流密度为碰撞以及碰撞和外场同时作用对f的影响？§7.2Boltzmann方程对固体中电子输运性质的了解，4在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数与位置无关。有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡，相应的分布函数点范围内如何随时间变化呢？在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数5t时刻（r,k）处的电子由于碰撞的存在，dt时间内从（r-dr,k-dk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另一方面，t时刻（r,k）处的电子也并非都来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子，因此有：若将因碰撞引起的f变化写成则有必来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子若没有碰撞，则有t时刻（r,k）处的电子由于碰撞的存在，dt时间内从（r6玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到dt的线性项，有对于稳态玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到dt的线性项，有对于稳态7Boltzmann方程决定于体系的能带结构与外场有关因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础半经典模型Boltzmann方程决定于体系的能带结构与外场有关因此，B8§7.3外场和碰撞作用(1)温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少(2)电场忽略掉温度梯度对f1的影响§7.3外场和碰撞作用(1)温度场温度梯度的存在引起不均匀9(1)温度场(2)电场(3)磁场(3)磁场(1)温度场(2)电场(3)磁场(3)磁场10玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。(4)碰撞负号源于偏离随时间的增加而减小。方程的解：该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间来描述这个恢复过程：玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化11温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程温度场电场磁场碰撞(4)碰撞(1)温度场(2)电场(3)磁场得到代入温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方12§7.4固体电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为泰勒定理：因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似借助分布函数电流密度可表示为由于平衡分布对电流没有贡献相当于同时注意到§7.4.1直流电导率§7.4固体电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时13说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了或者说，在k空间中，外加电场引起费米球刚性平移了注意到说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的14知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：代入知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相15两个等能面之间的距离为dk面元为ds体积元为由于：而：考虑K空间的两个等能面两个等能面之间的距离为dk体积元为由于：而：考虑K空间的两16由于只在费米面附近才不为零，即所以积分只需考虑在费米面附近进行考虑一个立方体晶体，外场方向沿着Ox方向，电流沿着Ox所以立方体晶体的电导率由于只在费米面附近才不为零，17利用对称性以及关系利用得到得到和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有两点，一是电子的质量为有效质量，二是驰豫时间为费米面上电子的驰豫时间。利用对称性以及关系利用得到得到和在自由电子气模型中得到的结果18剩余电阻率声子散射有关的电阻率电子－电子相互作用有关的电阻率磁散射有关的电阻率导体在多种散射机制存在下，总的散射几率是：总散射驰豫时间电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第i种机制单位时间内的散射几率意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和杂质、缺陷等散射电子－声子相互作用电子－电子相互作用磁散射导体电阻率至少包含四个部分马西森(Matthiessen)定则剩余电阻率声子散射有关的电阻率电子－电子相互作用有关的电阻率19当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成

晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场离子实对平衡位置的偏离

§7.4.2电-声子相互作用当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子20可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射

假设偏离很小，则有

为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支

将波矢q、频率的简正模引起的原子位移写成实数形式

为振动方向上的单位矢量

可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现21这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k’态的几率为函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，电子从22离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子称为声子

因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（+）或发射声子（-），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言吸收声子发射声子离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化23散射矩阵元由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即散射矩阵元由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢24能量守恒关系动量守恒关系正常过程或N过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k‘的过程能量和动量均是守恒的。吸收声子发射声子能量守恒关系动量守恒关系正常过程或N过程此时说明电子在初态k25倒逆过程或U过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k‘的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。§7.4.3驰豫时间碰撞项该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞项也可以表示为：代表单位时间内因碰撞进入（r，k）处相空间单位体积中的电子数代表单位时间内因碰撞离开（r，k）处相空间单位体积中的电子数倒逆过程或U过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一26若电子从k态跃迁到k’态的几率为wk,k’，计及泡利不相容原理，则有同理有因此可以论证则有若电子从k态跃迁到k’态的几率为wk,k’，计及泡利不相容原27在外加电场下对球形费米面如取电场方向为k方向，则有为k和k’之间的夹角写成积分形式在外加电场下对球形费米面如取电场方向为k方向，则有为k和k28§7.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变化故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（1-cos）的权重因子很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）相互作用导致电子从k态到k’态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方对所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能§7.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变化故电阻率不仅与29对时间平均后得到N个原子总的振动动能为可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数频率为的格波的声子数按德拜模型，总的声子数为对时间平均后得到N个原子总的振动动能为可见，振幅的平方与相应30高温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响布洛赫-格林艾森T5定律高温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与温31更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常数，M原子质量，D为德拜温度高温低温意味着高温时，因电－声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性减小意味着低温时，因电－声子相互作用引起的电阻率按T5关系随温度降低而减少称为布洛赫-格林艾森公式更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常32§7.4.5极化子(polarons)

有关的电阻率电－声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在的声子就越多，散射也就愈加频繁，因此，电阻率随温度升高而增加。电－声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝缘体中由于电子依附离子实而随之运动，使得电子有效质量增大。电子以及与之相伴随的晶格应变场的组合统称为极化子电－声子相互作用极化子的形成以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程§7.4.5极化子(polarons)有关的电阻率电－声33KCl形成弹性点阵

由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离子附近意味着，在弹性点阵情况下，K或Cl离子会因为同传导电子之间的库仑力作用而发生位移，即所谓的晶格应变同样由于Cl离子带负电，当传导电子经过时，传导电子和Cl离子之间的库仑排斥力作用使得Cl离子远离传导电子弹性点阵则传导电子和K离子之间的库仑吸引力作用，使得K离子向传导电子靠近KCl形成弹性点阵由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离34电子加上与之联系的应变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓。在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者说传导电子被因晶格畸变而产生的应变场所捕获，成为束缚态电子。现在所关心的是，电子如何从一个束缚态过渡到另一个束缚态电子加上与之联系的应变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的35极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态高温无外场时势能曲线传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个36传导电子右端势垒高度由原来的E0下降至而传导左端势垒高度增至外场的作用使势垒不再对称因此，传导越过势垒向右的净几率为而电阻率在弱场或高温下传导电子右端势垒高度由原来的E0下降至而传导左端势垒高度增至37低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体

三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论按照该理论，低温（kT<2tp）下电阻率I.G.LangandYu.AFirsov,Sov.Phys.JEPT16,1301(1963)其中tP是极化子跳跃积分，a为晶格常数，为驰豫率光学声子模的平均频率，A为常数，取决于裸带宽和电－声子耦合强度

低温下只有低频模式才对电阻率有贡献，而高频模式可忽略不考虑，因此，

其中s为软光学模式的平均频率，C为正比于极化子有效质量的常数

低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体三十年多前，38§7.4.6电子-电子相互吸引作用的简单模型1950年弗烈里希(Frolich)指出：电子-声子相互作用能把两个电子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型整齐排列的理想点阵中的两个电子当第一个电子通过晶格时，电子与离子点阵的库仑作用使晶格畸变当第二个电子通过畸变的晶格时，受到畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子如果我们忘记第一个电子对晶格造成畸变的过程，而只看最后结果，将是第一个电子吸引第二个电子§7.4.6电子-电子相互吸引作用的简单模型1950年弗烈39固体电子输运理论课件40§7.5磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程1、自由电子的准经典运动

自由电子的能量§7.5磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程1、自由41回转频率可见k空间电子在面上做圆周运动回转频率可见k空间电子在面上42实空间电子的运动对时间求导实空间电子的运动对时间求导43可见在(x,y)平面做匀速圆周运动回转频率可见在(x,y)平面做匀速圆周运动回转频率442、自由电子情况的量子理论

无磁场时自由电子哈密顿算符为整数N个电子基态从能量最低k=0态开始，按能量由低到高依次填充，最后得到一个费米球。电子的本征能量2、自由电子情况的量子理论无磁场时自由电子哈密顿算符为整数45磁场中电子的动量包含两部分运动动量势动量（场动量）因此磁场中电子的哈密顿算符外加磁场，假设磁场沿z轴，则可取矢势因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为磁场中电子的动量包含两部分运动动量势动量（场动量）因此磁场中46令代入得到应满足的方程令显然，这是简谐振子的薛定鄂方程令代入得到应满足的方程令显然，这是简谐振子的薛定鄂方程47谐振子波函数谐振子的能量而电子波函数电子的能量谐振子波函数谐振子的能量而电子波函数电子的能量48电子波函数电子的能量这些量子化的能级称为朗道能级表明：沿磁场方向（z方向）电子保持自由运动，相应的动能为在垂直磁场的(x,y)平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量变成电子波函数电子的能量这些量子化的能级称为朗道能级表明：沿磁场49在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到Landua能级上这样在k空间中，许可态的代表点将简并到Landua管上，其截面为Landau环，如图。在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到Landu503、晶体中电子的情况

晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算符处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变化

——有效质量近似方法哈密顿量采用有效质量近似后，晶体中的电子可视为“自由电子”，正是此电子的质量是有效质量m*3、晶体中电子的情况晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算51回转频率磁场下晶体中电子的波函数能量本征值在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到Landua能级上回转频率磁场下晶体中电子的波函数能量本征值在垂直于磁场方向上524、回旋共振晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子做螺旋运动，回转频率在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当电子将吸收交变电场的能量电子发生共振吸收，称为回旋共振电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级上，通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量不同，具有不同的回旋共振频率4、回旋共振晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子53§7.6磁输运性质§7.6.1Boltzmann方程及解一般情况下Boltzmann方程若没有温度梯度，只有磁场和电场作用，则§7.6磁输运性质§7.6.1Boltzmann方程及54代入到代入到55类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度为若写成形式则有类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度56§7.6.2Hall电阻与欧姆电阻假定磁场沿z轴，电流在垂直于z轴的平面上，如图。§7.6.2Hall电阻与欧姆电阻假定磁场沿z轴，电流在57Hall电阻率与磁场无关！正比于磁场Hall电阻率与磁场无关！正比于磁场58§7.6.3磁电阻效应定义磁场引起的电阻变化，称之为磁电阻效应从推导中看到，与磁场无关的量，意味着之所以得出磁电阻为零的结论，主要是因为：费米面为球形对电流贡献的电子来自于同一能带中只有费米面附近、速度等于费米速度的电子才参与导电，它们感受到同样的洛伦玆力，虽然这种洛伦玆力作用下电子轨道会发生偏转，但恰好为霍尔场的作用所抵消，结果相当于磁场并不存在。§7.6.3磁电阻效应定义磁场引起的电阻变化，称之为磁电59费米面并非严格球形实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效应原因参与导电的电子并非仅仅来自单一能带因此电子速度、有效质量与方向和能量有关，仅部分电子的运动满足洛伦玆力与霍尔场力的平衡，其余电子的轨迹发生了变化。假设参与导电的电子来自两个各向同性的能带两带模型这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流子总电流Ji、i和Di分别为第i带的电流密度、电导率和D矢量由于这一原因，磁电阻测量常常成为研究费米面形状的最有效实验手段费米面并非严格球形实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻60画出矢量图由此解出画出矢量图由此解出61考虑磁场沿z轴电场在xy平面令Jy=0，则从第二式可得到Hall电场Ey将Ey代入第一式则得到Jx

与Ex的关系：磁场下的电导率则有考虑磁场沿z轴令Jy=0，则从第二式可得到Hall电场Ey将62任意场强时公式很复杂，现在考虑低磁场情况。所谓低场是相对而言的，即满足：

磁电导

低场下

磁电阻

所以在两带模型下我们得到磁电阻为任意场强时公式很复杂，现在考虑低磁场情况。所谓低场是相对而言63讨论在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的存在引起电子的运动轨迹发生了变化为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应。讨论在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同64由于由于MR仅为的函数，而由科勒定则看到，相同的磁场下，零场下电阻率越小，则磁电阻越明显，而金属电阻随温度降低而变小，因此，研究这一磁电阻行为的实验最好是在低温下进行。而因此MR仅仅是的函数，即Kohler’sruleF函数的行为仅依赖于材料的本性由于由于MR仅为的函数，而由科勒定则看到，相同的磁场下，65§7.7热输运性质§7.7.1热电效应一般情况下Boltzmann方程若不加磁场该项不考虑温度梯度引起分布不均匀现在考虑除电场外还存在温度梯度的情况然后我们很容易得到与温度梯度有关的部分，即上述方程中的第一项为上述方程第二项可写为§7.7热输运性质§7.7.1热电效应一般情况下Bo66将上面提到的两部分代入到Bolzmann方程并经过整理后，我们得到在电场和温度梯度存在时的Boltzmann方程为由此可得f1可计算出电流密度化学势梯度的作用与外场等价，实际测量中测得的电场已包括这一效应。因此，当把电场强度理解为观察值时该项可去掉。

仅有温度梯度时，也可产生电流，这一效应称为热电效应代入将上面提到的两部分代入到Bolzmann方程并经过整理后，我67电场作用下产生电流温度场作用下也可产生电流(热电效应)温度梯度更重要的作用是产生热流，处在k态的电子所携带的热量为，因而，热流密度为将前面得到的f1代入有电场作用下产生电流温度场作用下也可产生电流(热电效应)温度梯68输运系数系数为张量，对最简单情况，即假设样品具有立方结构，利用

系数则成为标量电流密度热流密度输运系数系数为张量，对最简单情况，即假设样品具有立方结构，利691)n=02)n=13)n=2可见，三个输运系数都通过电导率相联系1)n=02)n=13)n=2可见，三个输运系数都通过70§7.7.2热导率温度梯度的存在，可在金属样品中产生热流。实验上，测量热导率时样品处于开路，无电流通过，因此，J=0

源于：在开路样品中，温度梯度引起电荷流动，在样品端部积聚建立起电场。

在热流计算中应计入这一电场

代入热流正比于温度梯度，其比例系数即为材料的热导率，即

热导率§7.7.2热导率温度梯度的存在，可在金属71§7.7.3热电势相应的电场强度与温度梯度成正比，即样品上加有温度梯度并处于开路状态，在样品上则可观察到热电动势，这一效应称为Seebeck效应比例系数称为材料的绝对热电势，简称为热电势§7.7.3热电势相应的电场强度与温度梯度成正比，即样品72可见，决定热电势的是金属电导率在费米能附近随能量的变化

式中()、v()分别为能量为的电子的弛豫时间和电子速度，dS为能量为的等能面（面积为A）上的面元。

<….>表示在等能面上的平均自由电子气可见，决定热电势的是金属电导率在费米能附近随能量的变化式中73如果弛豫时间对能量的依赖不重要，则由3项中最难估算的是()项对其它金属，如Cu、Ag等，导电电子的行为在某些方面相当接近于自由电子，尽管热电势在温度较高时是正比于温度的线性行为，但符号为正，说明问题并不如此简单。看到，热电势是负的，其数值正比于温度。这正是图中K、Na金属在约150K以上的行为。如果弛豫时间对能量的依赖不重要，则由3项中最难估算的是(74§7.7.4热电势的测量对热电势的测量，通常采用如图所示的由A、B两种材料构成的回路

ABB1423TT＋TVAB由于温差引起的电势差在T0(如室温)下测量，则有

B材料常用铜线，已知SB时，就可得到SA

§7.7.4热电势的测量对热电势的测量，通常采用如图所示757.1外场下Bloch电子运动的半经典模型

7.2Boltzmann方程

7.3外场和碰撞作用

7.4驰豫时间的统计理论

7.5电-声子相互作用

7.6金属电导率电阻率

7.8磁输运性质霍尔效应磁电阻效应

7.9热输运性质热电效应热导率热电势7.1外场下Bloch电子运动的半经典模型76对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型每个电子具有确定的位置r、波矢k

和能带指标n

建立模型描述r、k

和n

随时间的变化规律能带指标电子的速度波矢随时间的变化(1)电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁§7.1Bloch电子运动的半经典模型对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义对晶格周期场采用能带77Bloch电子的运动方程对晶格周期场的量子力学处理全部概括在函数中能带结构输运性质半经典模型使能带结构与输运性质即电子对外场的响应相联系输运性质能带结构同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果推断出电子的能带结构Bloch电子的运动方程对晶格周期场的量子力学处理全部概78§7.2Boltzmann方程对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。外场下载流子运动规律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响定义对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k）处相空间体积内的电子数为：每一个电子对电流密度的贡献为n通常不标出，因为考虑的是同一带中的电子所以总电流密度为碰撞以及碰撞和外场同时作用对f的影响？§7.2Boltzmann方程对固体中电子输运性质的了解，79在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数与位置无关。有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡，相应的分布函数点范围内如何随时间变化呢？在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数80t时刻（r,k）处的电子由于碰撞的存在，dt时间内从（r-dr,k-dk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另一方面，t时刻（r,k）处的电子也并非都来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子，因此有：若将因碰撞引起的f变化写成则有必来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子若没有碰撞，则有t时刻（r,k）处的电子由于碰撞的存在，dt时间内从（r81玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到dt的线性项，有对于稳态玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到dt的线性项，有对于稳态82Boltzmann方程决定于体系的能带结构与外场有关因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础半经典模型Boltzmann方程决定于体系的能带结构与外场有关因此，B83§7.3外场和碰撞作用(1)温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少(2)电场忽略掉温度梯度对f1的影响§7.3外场和碰撞作用(1)温度场温度梯度的存在引起不均匀84(1)温度场(2)电场(3)磁场(3)磁场(1)温度场(2)电场(3)磁场(3)磁场85玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。(4)碰撞负号源于偏离随时间的增加而减小。方程的解：该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间来描述这个恢复过程：玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化86温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程温度场电场磁场碰撞(4)碰撞(1)温度场(2)电场(3)磁场得到代入温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方87§7.4固体电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为泰勒定理：因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似借助分布函数电流密度可表示为由于平衡分布对电流没有贡献相当于同时注意到§7.4.1直流电导率§7.4固体电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时88说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了或者说，在k空间中，外加电场引起费米球刚性平移了注意到说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的89知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：代入知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相90两个等能面之间的距离为dk面元为ds体积元为由于：而：考虑K空间的两个等能面两个等能面之间的距离为dk体积元为由于：而：考虑K空间的两91由于只在费米面附近才不为零，即所以积分只需考虑在费米面附近进行考虑一个立方体晶体，外场方向沿着Ox方向，电流沿着Ox所以立方体晶体的电导率由于只在费米面附近才不为零，92利用对称性以及关系利用得到得到和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有两点，一是电子的质量为有效质量，二是驰豫时间为费米面上电子的驰豫时间。利用对称性以及关系利用得到得到和在自由电子气模型中得到的结果93剩余电阻率声子散射有关的电阻率电子－电子相互作用有关的电阻率磁散射有关的电阻率导体在多种散射机制存在下，总的散射几率是：总散射驰豫时间电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第i种机制单位时间内的散射几率意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和杂质、缺陷等散射电子－声子相互作用电子－电子相互作用磁散射导体电阻率至少包含四个部分马西森(Matthiessen)定则剩余电阻率声子散射有关的电阻率电子－电子相互作用有关的电阻率94当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成

晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场离子实对平衡位置的偏离

§7.4.2电-声子相互作用当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子95可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射

假设偏离很小，则有

为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支

将波矢q、频率的简正模引起的原子位移写成实数形式

为振动方向上的单位矢量

可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现96这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k’态的几率为函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，电子从97离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子称为声子

因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（+）或发射声子（-），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言吸收声子发射声子离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化98散射矩阵元由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即散射矩阵元由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢99能量守恒关系动量守恒关系正常过程或N过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k‘的过程能量和动量均是守恒的。吸收声子发射声子能量守恒关系动量守恒关系正常过程或N过程此时说明电子在初态k100倒逆过程或U过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k‘的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。§7.4.3驰豫时间碰撞项该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞项也可以表示为：代表单位时间内因碰撞进入（r，k）处相空间单位体积中的电子数代表单位时间内因碰撞离开（r，k）处相空间单位体积中的电子数倒逆过程或U过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一101若电子从k态跃迁到k’态的几率为wk,k’，计及泡利不相容原理，则有同理有因此可以论证则有若电子从k态跃迁到k’态的几率为wk,k’，计及泡利不相容原102在外加电场下对球形费米面如取电场方向为k方向，则有为k和k’之间的夹角写成积分形式在外加电场下对球形费米面如取电场方向为k方向，则有为k和k103§7.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变化故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（1-cos）的权重因子很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）相互作用导致电子从k态到k’态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方对所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能§7.4.4声子散射有关的电阻率随温度的变化故电阻率不仅与104对时间平均后得到N个原子总的振动动能为可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数频率为的格波的声子数按德拜模型，总的声子数为对时间平均后得到N个原子总的振动动能为可见，振幅的平方与相应105高温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响布洛赫-格林艾森T5定律高温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与温106更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常数，M原子质量，D为德拜温度高温低温意味着高温时，因电－声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性减小意味着低温时，因电－声子相互作用引起的电阻率按T5关系随温度降低而减少称为布洛赫-格林艾森公式更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常107§7.4.5极化子(polarons)

有关的电阻率电－声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在的声子就越多，散射也就愈加频繁，因此，电阻率随温度升高而增加。电－声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝缘体中由于电子依附离子实而随之运动，使得电子有效质量增大。电子以及与之相伴随的晶格应变场的组合统称为极化子电－声子相互作用极化子的形成以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程§7.4.5极化子(polarons)有关的电阻率电－声108KCl形成弹性点阵

由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离子附近意味着，在弹性点阵情况下，K或Cl离子会因为同传导电子之间的库仑力作用而发生位移，即所谓的晶格应变同样由于Cl离子带负电，当传导电子经过时，传导电子和Cl离子之间的库仑排斥力作用使得Cl离子远离传导电子弹性点阵则传导电子和K离子之间的库仑吸引力作用，使得K离子向传导电子靠近KCl形成弹性点阵由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离109电子加上与之联系的应变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓。在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者说传导电子被因晶格畸变而产生的应变场所捕获，成为束缚态电子。现在所关心的是，电子如何从一个束缚态过渡到另一个束缚态电子加上与之联系的应变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的110极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态高温无外场时势能曲线传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个111传导电子右端势垒高度由原来的E0下降至而传导左端势垒高度增至外场的作用使势垒不再对称因此，传导越过势垒向右的净几率为而电阻率在弱场或高温下传导电子右端势垒高度由原来的E0下降至而传导左端势垒高度增至112低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体

三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论按照该理论，低温（kT<2tp）下电阻率I.G.LangandYu.AFirsov,Sov.Phys.JEPT16,1301(1963)其中tP是极化子跳跃积分，a为晶格常数，为驰豫率光学声子模的平均频率，A为常数，取决于裸带宽和电－声子耦合强度

低温下只有低频模式才对电阻率有贡献，而高频模式可忽略不考虑，因此，

其中s为软光学模式的平均频率，C为正比于极化子有效质量的常数

低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体三十年多前，113§7.4.6电子-电子相互吸引作用的简单模型1950年弗烈里希(Frolich)指出：电子-声子相互作用能把两个电子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型整齐排列的理想点阵中的两个电子当第一个电子通过晶格时，电子与离子点阵的库仑作用使晶格畸变当第二个电子通过畸变的晶格时，受到畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子如果我们忘记第一个电子对晶格造成畸变的过程，而只看最后结果，将是第一个电子吸引第二个电子§7.4.6电子-电子相互吸引作用的简单模型1950年弗烈114固体电子输运理论课件115§7.5磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程1、自由电子的准经典运动

自由电子的能量§7.5磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程1、自由116回转频率可见k空间电子在面上做圆周运动回转频率可见k空间电子在面上117实空间电子的运动对时间求导实空间电子的运动对时间求导118可见在(x,y)平面做匀速圆周运动回转频率可见在(x,y)平面做匀速圆周运动回转频率1192、自由电子情况的量子理论

无磁场时自由电子哈密顿算符为整数N个电子基态从能量最低k=0态开始，按能量由低到高依次填充，最后得到一个费米球。电子的本征能量2、自由电子情况的量子理论无磁场时自由电子哈密顿算符为整数120磁场中电子的动量包含两部分运动动量势动量（场动量）因此磁场中电子的哈密顿算符外加磁场，假设磁场沿z轴，则可取矢势因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为磁场中电子的动量包含两部分运动动量势动量（场动量）因此磁场中121令代入得到应满足的方程令显然，这是简谐振子的薛定鄂方程令代入得到应满足的方程令显然，这是简谐振子的薛定鄂方程122谐振子波函数谐振子的能量而电子波函数电子的能量谐振子波函数谐振子的能量而电子波函数电子的能量123电子波函数电子的能量这些量子化的能级称为朗道能级表明：沿磁场方向（z方向）电子保持自由运动，相应的动能为在垂直磁场的(x,y)平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量变成电子波函数电子的能量这些量子化的能级称为朗道能级表明：沿磁场124在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到Landua能级上这样在k空间中，许可态的代表点将简并到Landua管上，其截面为Landau环，如图。在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到Landu1253、晶体中电子的情况

晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算符处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变化

——有效质量近似方法哈密顿量采用有效质量近似后，晶体中的电子可视为“自由电子”，正是此电子的质量是有效质量m*3、晶体中电子的情况晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算126回转频率磁场下晶体中电子的波函数能量本征值在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到Landua能级上回转频率磁场下晶体中电子的波函数能量本征值在垂直于磁场方向上1274、回旋共振晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子做螺旋运动，回转频率在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当电子将吸收交变电场的能量电子发生共振吸收，称为回旋共振电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级上，通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量不同，具有不同的回旋共振频率4、回旋共振晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子128§7.6磁输运性质§7.6.1Boltzmann方程及解一般情况下Boltzmann方程若没有温度梯度，只有磁场和电场作用，则§7.6磁输运性质§7.6.1Boltzmann方程及129代入到代入到130类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度为若写成形式则有类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度131§7.6.2Hall电阻与欧姆电阻假定磁场沿z轴，电流在垂直于z轴的平面上，如图。§7.6.2Hall电阻与欧姆电阻假定磁场沿z轴，电流在132Hall电阻率与磁场无关！正比于磁场Hall电阻率与磁场无关！正比于磁场133§7.6.3磁电阻效应定义磁场引起的电阻变化，称之为磁电阻效应从推导中看到，与磁场无关的量，意味着之所以得出磁电阻为零的结论，主要是因为：费米面为球形对电流贡献的电子来自于同一能带中只有费米面附近、速度等于费米速度的电子才参与导电，它们感受到同样的洛伦玆力，虽然这种洛伦玆力作用下电子轨道会发生偏转，但恰好为霍尔场的作用所抵消，结果相当于磁场并不存在。§7.6.3磁电阻效应定义磁场引起的电阻变化，称之为磁电134费米面并非严格球形实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效应原因参与导电的电子并非仅仅来自单一能带因此电子速度、有效质量与方向和能量有关，仅部分电子的运动满足洛伦玆力与霍尔场力的平衡，其余电子的轨迹发生了变化。假设参与导电的电子来自两个各向同性的能带两带模型这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流子总电流Ji、i和Di分别为第i带的电流密度、电导率和D矢量由于这一原因，磁电阻测量常常成为研究费米面形状的最有效实验手段费米面并非严格球形实际情况是所有的金属均表现出不为零的