习题 实际问题的函数建模课后强化训练

实际问题的函数建模课后强化作业基础巩固一、选择题1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋eq\f(1,2)x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为()A．18件 B．36件C．22件 D．9件[答案]A[解析]y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－eq\f(1,2)x2＝－eq\f(1,2)x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A．y＝eq\s\up7(\f(x,50))·mB．y＝(1－eq\s\up7(\f(x,50)))·mC．y＝－x·mD．y＝(1－－x)·m[答案]A[解析]设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝，∴q%＝eq\s\up7(\f(1,50))，即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y＝eq\s\up7(\f(x,50))·m.3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A．14400亩 B．172800亩C．17280亩 D．20736亩[答案]C[解析]因为年增长率为20%，所以第四年造林为10000×(1＋20%)3＝17280(亩)，故选C.4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y125…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1[答案]D[解析]代入数值检验，把x＝2代入可排除A、B、C，把x＝1,2,3代入D选项，符合题意．5．某种动物繁殖数量y(只)与繁殖时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第七年它们发展到()A．300只 B．400只C．500只 D．600只[答案]A[解析]∵由题意知，当x＝1时，y＝100，即100＝alog22，∴a＝100.∴y＝100log2(x＋1)．∴当x＝7时，y＝100log28＝300(只)．6．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为()A．y＝(3x＋5)＋B．y＝8×＋C．y＝(3x＋8)＋D．y＝(3x＋5)－1＋[答案]A[解析]第一年企业付给工人的工资总额为8×＋3×(万元)，第二年应付给工人的工资总额为(8＋3)×＋3×(万元)，依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3(x－1)]×＋＝(3x＋5)×＋.二、填空题7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up7(加密))密文eq\o(→,\s\up7(发送))密文eq\o(→,\s\up7(解密))明文已知加密函数为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．[答案]4[解析]依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2，所以加密函数为y＝2x－2，因此当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.8．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q＝－＋，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．[答案]35[解析]由Q＝－＋＝(v2－70v)＋＝[(v－35)2－352]＋＝(v－35)2＋.∴v＝35km/h时，耗油量最少．三、解答题9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝，lg3＝[解析]解法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的eq\f(2,3)，过滤n次后杂质含量为eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n.依题意，得eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20)，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))7＝eq\f(128,2187)>eq\f(1,20)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))8＝eq\f(256,6561)<eq\f(1,20)，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．解法二：接解法一：(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，又n∈N＋，∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.能力拓展一、选择题1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2③浮萍从4m2蔓延到12m2④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是()A．①② B．①②③④C．②③④⑤ D．①②⑤[答案]D[解析]设此指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：a＝2，∴y＝2x，故①正确．当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22eq\s\up7(\f(7,2))，从而可知浮萍从4m2蔓延到12m2用时超过个月，③错，显然④错误．把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D.2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，则放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：V＝a·e－kt，若新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a；若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()A．125天 B．100天C．75天 D．50天[答案]C[解析]∵当t＝50时，V＝eq\f(4,9)a，∴eq\f(4,9)a＝a·e－50k，得k＝lneq\r(50,\f(9,4))∴V＝a·e－lneq\r(50,\f(9,4))t＝a·(eq\f(2,3))eq\s\up7(\f(t,25)).∴当V＝eq\f(8,27)a时，由eq\f(8,27)a＝a·(eq\f(2,3))eq\s\up7(\f(t,25))，解得t＝75(天)．二、填空题3．里约热内卢为成功举办2022年奥运会，决定从2022年底到2022年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2022年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．[答案]%[解析]设现有车辆总数为a,2022年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.∴x(1＋＋＝1.∴x≈%.4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．[答案]；(2).[解析]由图像可知，当0≤t<时，y＝10t；当t＜时，由1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))－a，得a＝，∴当t＞时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－eq\f(1,10).∴，由题意可知(eq\f(1,16))t－eq\f(1,10)＜，得t＞(小时)．三、解答题5．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量减少了10p万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．[解析]由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．(1)由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80×80－10p×p%≥96，,0<p<8，))解得2≤p≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.(2)当0<p<8时，f(p)＝80×(80－10p)×p%＝－8(p－4)2＋128.∴当p＝4时，f(p)max＝128.即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析]设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝eq\f(πx,2)＋x＋2y，y＝eq\f(2l－2＋πx,4)，由y>0，得x∈(0，eq\f(2l,π＋2))．S＝eq\f(π,8)x2＋xy＝eq\f(π,8)x2＋eq\f(2l－2＋πx,4)·x＝－eq\f(4＋π,8)(x－eq\f(2l,4＋π))2＋eq\f(l2,24＋π)，x∈(0，eq\f(2l,π＋2))．当x＝eq\f(2l,4＋π)时，Smax＝eq\f(l2,24＋π)，此时，y＝eq\f(l,4＋π)＝eq\f(x,2).答：窗户中的矩形高为eq\f(l,4＋π)，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、万件、万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．[解析]设两个函数y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；y2＝g(x)＝a·bx＋c.依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝p＋q＋r＝1，,f2＝4p＋2q＋r＝，,f3＝9p＋3q＋r＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a