最新空间向量法解决立体几何问题课件

空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题1学习提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；

(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量学习提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位2最新空间向量法解决立体几何问题课件3最新空间向量法解决立体几何问题课件4最新空间向量法解决立体几何问题课件5最新空间向量法解决立体几何问题课件6最新空间向量法解决立体几何问题课件7最新空间向量法解决立体几何问题课件8练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面9解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,得平面OA1D110练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD11最新空间向量法解决立体几何问题课件12

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决几何问题因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，13二、立体几何中的向量方法——平行关系二、立体几何中的向量方法14ml一.平行关系：ml一.平行关系：15αα16αβαβ17例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行已知直线l与m相交,αβｌｍ例1.用向量方法证明已知直线l与m相交,18例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线几何法呢？例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正19例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正A20ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为21ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐22练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线23练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线24练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线25三、立体几何中的向量方法——垂直关系三、立体几何中的向量方法26二、垂直关系：lm二、垂直关系：lm27lABClABC28αβαβ29例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证1立几法例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD证30例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证2MN⊥AB,同理MN⊥CD.例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD证31例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证2如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的32练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.练习棱长为a的正方体33ABCDPEFXYZ证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.ABCDPEFXYZ证1：如图所示建立34ABCDPEFXYZ证2：ABCDPEFXYZ证2：35A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证36A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.

证明2：A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证37,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.

证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.

平面EBD,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.38证明2：E,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.

求证：平面EBD证明2：E,E是AA1中点，例3正方体39ABCDPXYZGABCDPXYZG40例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B141解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-42例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB143证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得于是，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,443.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离nabAB45例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A146解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴异面直线AC1与BD间的距离解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则47(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ(2)点到平面的距离nABHαθ48例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=49解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则50会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.xzyPBEADCF会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化51解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F为CD的中点,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由得n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,∵∴.解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴52空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离53最新空间向量法解决立体几何问题课件54空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题55学习提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；

(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量学习提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位56最新空间向量法解决立体几何问题课件57最新空间向量法解决立体几何问题课件58最新空间向量法解决立体几何问题课件59最新空间向量法解决立体几何问题课件60最新空间向量法解决立体几何问题课件61最新空间向量法解决立体几何问题课件62练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy练习:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面63解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,得平面OA1D164练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD65最新空间向量法解决立体几何问题课件66

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决几何问题因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，67二、立体几何中的向量方法——平行关系二、立体几何中的向量方法68ml一.平行关系：ml一.平行关系：69αα70αβαβ71例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行已知直线l与m相交,αβｌｍ例1.用向量方法证明已知直线l与m相交,72例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线几何法呢？例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正73例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正A74ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为75ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐76练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线77练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线78练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线79三、立体几何中的向量方法——垂直关系三、立体几何中的向量方法80二、垂直关系：lm二、垂直关系：lm81lABClABC82αβαβ83例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证1立几法例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD证84例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证2MN⊥AB,同理MN⊥CD.例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD证85例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证2如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的86练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.练习棱长为a的正方体87ABCDPEFXYZ证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.ABCDPEFXYZ证1：如图所示建立88ABCDPEFXYZ证2：ABCDPEFXYZ证2：89A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证90A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.

证明2：A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证91,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.

证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.

平面EBD,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.92证明2：E,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.

求证：平面EBD证明2：E,E是AA1中点，例3正方体93ABCDPXYZGABCDPXYZG94例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B195解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-96例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB197证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得于是，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,983.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离nabAB99例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A1100解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴异面直线AC1与BD间的距离解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则101(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ(2)点到平面的距离nABHαθ102例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=