中学数学三角形中常见的辅助线问题经典含答案

中学数三形中常的助线问1前言研究背景[1]

从1952教育部颁布第一部《中学数学教学大纲（草)》将三角形的教学内容分散安排在初一初二和初三年级中学数学大纲进行了多次修改而三角形的教学内容也进行了多次调整[2]以年颁布的过渡性《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版为标志，我国新一轮基础教育课程改革全面启动。年教育部颁布了现行的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿要求培养和增大合情推理能力，所以对初中平面几何图形尤其是三角形中的辅助线应该引起重视。研究目的在平面几何三角形的学习过程中有部分三角形问题看上去很容易解决但在实际的动手的操作的过程中给人一种“山重水复疑无路”的感.而，如何能够“柳暗花明又一村得解题的思路明确，过程简捷？辅助线对问题的解决起着非常重要的作用，是否能添加正确的辅助线是能否解决问题的关.本文基于前人对本论题的研究成果针对如何正确快捷地添加辅助线以达到化繁为简的目的。结合历年中考考试题目总结归纳出常用的六类常用辅助线的方法，并对这些方法进行进一步的分析，体会蕴涵在三角形中的常见辅助线的思想方法，并能举一反三，创造性地运用所学知识。研究意义理论意义进行初中数学三角形的有关辅助线问题的研究会在一定程度上丰富三角形的教学理论。实践意义本研究在丰富的理论支持下深入三角形的课堂教学研究提出具有实践意义的教学建议可帮助教师选择正确教学模式丰富课堂内容提高课堂教学效率。2.三角形中的辅助线倍角化等腰[3]当三角形中出现一个角是另一个角2倍时通过转化倍角寻找到等腰三角形。如图1中，若∠ABC＝2∠C，如果BD平分∠ABC，则是等腰三角形，并且△ABD与△CAB相似。如图2中，若∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结，则△ADC是等腰三角形，并且△ABD与△CAD相似。/9如图3中，若∠∠ACB，如果C为角的顶点CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△是等腰三角。DA

AADB

图1

CDB

图2

C

图

C例1.如图4，中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A分析：由于条件中∠＝2∠B，可利用图1所做辅助线方式，所以作CD平交ABD，过DBC于E，则2BCD，是等腰三角形。而DEBC，由等腰三角形三线合一可得，又BC＝2AC,所以AC＝EC。易证ACDECD，所

图4评析此题属于较简单的题对于一般基础的学生还是比较容易入手那么对于难度系数稍微高一点的题如例2。例（2009年全国初中数学联赛在△ABC中最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8。则BC=______解法一：分割法(图1辅助线方法）如图5，作∠CAB的平分线AD交BC于D。△ABC∽△DBA，7xy∴yx7∴

x8y7，得y(x

x105157y10515

∴

图5评析解法一的思路是常规思路平分倍角构造相似三角形通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。解法二：构造法（图2辅助线方法）[4]如图6，延长CA至点D，使AD=AB。则∠D=∠ABD=

∠CAB=∠C，△CBD∽△DAB，∴

CD∴BDABBD

2

=AB·CD=7×（8+7）

图6=105，BD=，又∠∠D，∴BC=BD=105/9评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。解法三：综合法如图7，作∠CAB的平分线AD交BC于D。作BE∥AD。7y△ADC∽△BAE，，①x△ADC∽△EBC，，②xy7①×②，

7xy，（x+y）=7×15，x

图7评析：由△ADC∽△BAE，BE∥AD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映的本质是相同的。角平分线问题[5]角平分线具有两条性质：a对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下出现了直角或是垂直等条件时一般考虑作垂线其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。2.2.1角平分线到两端的距离相等过角平分线上一点向角两边作垂线用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例3.如图8，已知△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，BD分∠ABC，求证：AB=BC+CD．分析：题目中有角平分线和垂直，故想到过点作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知，CD=DE，由全等三角形的判定定理可得△BCD≌△BED，可得出BC=BE，再根据△是等腰直角三角形可知∠A=45°，故△ADE是等腰直角三角形，所以DE=AE，再通过等量代换，所以AB=BE+AE=BC+CD

图8评析此题难度系数不大也可以才用后面所用的截长补短法来证明证明过程也比较简单一般的学生都基本上能够解决。例4.如图9，中，AB＞AC，DF垂直平分BC交△BAC的外角平分线于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，连接BD，CD．求证：∠DBE=∠DCA分析：要证明的结论是两个角的角度相等，而图形中两个/9角不在同一个三角形中，所以想到证明两个三角形全等。从已知条件中有外角平分线，且DE⊥AB，入手，想到角平分线到两边的距离相等，故过D作DG⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DG，然后利用“”证明

图9eq\o\ac(△,Rt)DBE和Rt△DCG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠DCA。评析此题有一定难度系数主要是学生不知道从哪里入手而此题从外角平分线入手，与常规的内角平分线有所不同，基础较好学生能独立完成。2.2.2利用角平分线构造对称图形作法是在角平分线的一侧的长边上截取短边构造出对称图形利用两个三角形全等的性质将角或边转化。[6]例5.如图10，已知△ABC中AB=AC，，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。分析：结论要证明边的和差关系，首先想到截长补短法，有一定难度，已知条件中告诉了∠A=100°，从角平分线入手，算出所有角度大小，在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接、CF，由BD平分∠ABC，∠1=∠2进而得△ABD≌△EBD∠DEB=∠A=100°则得∠DEC=80°又∠2=20所以∠F=80因为∠∠3=40°，所以△DCE≌△DCF（AAS所以DF=DE=AD，BC=BF=BD+DF=BD+AD

图10评析此题难度系数比较大多数学生会从结论出发用截长补短法证明，此种方法不能充分利用BD是角平分线这一关键已知条件。2.2.3角平分线+垂线从角的一边上的一点作角平分线的垂线使之与角的两边相交则截得一个等腰三角形垂足为底边上的中点该角平分线又成为底边上的中线和高以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交[7]例6.如图11，已知ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF为BC中线，交于G，求证：BE=2CD分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形，延长CD与BA延长线交于H．BD为角平分线．构建全等三角形△ABE≌△ACH（ASA然后由全等三角形的对应边相等的性质、等腰三角形的“三合一”的性质可证得CH=2CD，所以BE=2CD。/9

图11评析：题中如果有角平分线和垂线，可联想到等腰三角形“三线合一利用其基本性质解决要证明的问题。2.2.4角平分线+平行线有角平分线时常过角平分线上的一点作角的一边的平行线从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。例7.如图12，在△中，AB=AC，在AC上取一点P，过P点作⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．证明：．分析：由已知条件知△为等腰三角形，且，所以想到角平分线+平行线，则可以作AD平，由等腰三角形三线合一性质，此时ADBC，故AD//EF故可知是等腰三角形，所以AE＝AP。

图12[8]例8.如图13，BD平分∠ABC交AC于，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF分析：已知条件中有角平分线和平行线，而要证明的时线段相等,想到角平分线+平行线构造出等腰三角形。作交BD的延长线于M，所以△ABM为等腰三角形，再证△ADM≌△EDF，推出EF=AM，得到AB=EF

评析：此题中的关键是利用平分∠ABC，做平行线构造等腰三角形，将AB转化成AM。中点问题在三角形中如果已知一点是三角形某一边上的中点那么首先应该联想到三角形的中线中位线加倍延长中线及其相关性直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。2.3.1倍长中线法[9]

当出现线段中点或三角形中线时，常常延长中线构造全等三角形。倍长中线法又可分为直接倍长法和间接倍长法。A

中

方式1：直接倍长B

D

C

AD是BC边中线

延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长/9A

作CF⊥AD于F，

A

延长到N，B

E

FD

C

作⊥AD的延长线于E连接BE

B

使，连接CN例9.如图14，中，D为BC的中点．求证：AB+AC＞2AD分析：从已知条件中D为BC中点入手，想到倍长中线，延长AD至E使DE=AD，连接BE，构造△ADC≌，得AC=BE，再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞AE即AB+AC得证。

评析：此题属于倍长中线法的简单应用，但也曾出现在初中数学竞赛中。2.3.2中位线法中位线既有线段的等量关系，又有平行性，而平行线又可以产生等角关系，更重要的是，在涉及中点的题目中，中位线常起过渡和转化的作用那么我们可以加以利用中位线的相关性质加以添加辅助线解题。例10.（2013年数学联赛四川省初二初赛）如图，已知四边形中，AB=DC，E、F分别为AD与BC的中点，连结与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M．求证：∠BNF=∠CMF。分析：由已知条件可知，E、F分别为AD与BC的中点，想到中位线定理，连接AC，取AC的中点K，连结，FK，则EK、FK分别是△ACD和△ABC的中位线，得到，AB=2FK,根据AB=DC得到∠FEK=∠EFK，根据平行线性质可得:∠FEK=∠CMF，∠EFK=∠BNF，∠BNF=∠CMF。2.3.3直角三角形斜边的中线

[10]

直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半。例16.如图23，△ABC，AD是高CE是中线G是CE的中点，DG⊥CE为垂足，证明：DC=BE。分析：要证明，而这两条线段又没有在同一个三角形中，不能直接入手，由已知条件△ABD直角三角形且E为斜边中点，所以想到连接DE，∵G是CE中点，DG⊥CE∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=AB，∴DC=BE。线2.４.1截长法

/9图18图18[11]

截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条然后证明剩下部分等于另一条（此种方法在中学最常见例11.如图16四边形中平分∠⊥AB于E，求证：AE=AD+BE。分析：采用截长法：首先在上截取AM=AD，连接CM，再证明△AMC≌△ADC，可得∠3=∠D，再根据∠∠D=180°，∠3+∠4=180°，可以证出∠4=∠B，根据等角对等边可证出CM=BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME﹣BE，再利用等量代换可证出。2.４.2补短法

[12]

补短将一条短线段延长延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。例12.如图17，在四边形中，AB∥CD，点E为BC边的中点，∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．求证：。分析：延长AE交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC

图17评析：在三角形中遇到求证线段间和，差，倍数关系时一般方法是截长或补短法，在同一道题中一般两种方法都可以用。例13：如图18：在△ABC中AB＞AC，∠1＝，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。证明截长法）在上截取AN＝AC连接PN,在△APN

A和△APC中，AN＝AC，∠1＝∠2，AP＝AP，所以△≌△APC（SAS）所以PC＝PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边）所以：－PC

B

N

1D

2P

CM＜AB－AC。证明补短法）延长至M，使AM＝AB，连接PM，在△ABP和△中，AB＝AM，∠1＝∠2，AP＝AP，所以△ABP（SAS）有PB＝PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：CM－PC(三角形两边之差小于第三边)，所以：AB－AC＞PB－PC。线2.５.１平行法/9此种类型的题从已知题目中不能直接得出结论通过添加平行线通过平行线的性质再进行转换形成全等或相似三角形，进而解决问题，如以下两题。[13]

例15.如图19，△ABC中AB=AC，在上取一点E，在AC延长线上取一点F，使CF=BE，连接EF，交BC于点D求证：DE=DF。分析：因为DE所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。证明：作EG交BC于G，∴∠BGE=∠ACB，∠GED=∠F，∠EGD=∠FCD．∵AB=AC，∠B=∠ACB，∴∠B=，BE=EG．∵CF=BE，∴CF=GE．在△GED和△CFD中，∠F，GE=CF∠EGD=∠FCD，∴△GED≌△CFD（ASA∴DE=DF。

图19评析当对某些三角形的图形无从下手时不妨大胆加以猜想根据某些交点过该交点作等腰三角形的腰或底边的平行线再加以利用等腰三角形以及添加的平行线的性质来解题此题的辅助线还可以有以下几种作法学生的选择比较多，但他们的本质都是相同的。图2.５