正弦定理(学生版)

勤奋 博学 笃志 感恩正弦定理一、学习目标1、掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2、会利用正弦定理求三角形的面积，判定三角形的形状．二、重点难点重点：利用正弦定理解三角形难点：正弦定理是一个连比等式，解题问题根据其比值或等量关系，要学会灵活运用．三、知识梳理1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2.2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝sin_A，bc＝sin_B.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinaA＝sinbB＝sincC，这个比值是三角形外接圆的直径2R.5．正弦定理：sinaA＝sinbB＝sincC＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)a＝b＝c＝a＋b＋c＝2R；sinAsinBsinCsinA＋sinB＋sinC(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.6．三角形面积公式：S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.四、典例分析题型一利用正弦定理解三角形例1（1）（衡阳校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=5，c=10，A=30°，则B等于（ ）A．105° B．60° C．15° D．105°或15°（2）（长沙校级模拟）在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知A=，a=，b=2．则B=（ ）A．B．C．D．1勤奋 博学 笃志 感恩课堂小结 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．课堂练习1（1）（白银模拟）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°（2）（岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3B．3：2：1C．1：：2D．2：：1题型二 正弦定理的应用例2.（1）（大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形（2）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则b等于()2aA．23B．22C.3D.22勤奋 博学 笃志 感恩课堂练习2：（1）在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．（2）（朝阳区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（ ）A．B．C．D．1（3）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，C．asinB·cosC＋csinBcosA＝2b，则sinB＝()A．1B．－1C．3D．22222例3.（1）（河南模拟）在△ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3勤奋博学笃志感恩（2）（上海模拟）已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定(3)在ABC中，若a6，A60，b6，则角B的度数为（3）A、30或150B、30C、150D、45课堂练习3：（1）在△ABC中，sin2A2＝c－2cb(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为_____________（2）在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为__________________．（3）（日照二模）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=120°，则的值为（ ）A．B．﹣C．D．﹣（4）（山西模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是4勤奋 博学 笃志 感恩五、家庭作业1（衡阳校级模拟）在△ABC中，若A=30°，b=16，此三角形的面积S=64，则△ABC中角B为（）A．75°B．30°C．60°D．90°2.（安庆三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2b=4，B=，则∠A的平分线AD的长等于（ ）A．B．3 C．D．3.（平度市一模）已知△ABC中，a=3，b=1，C=30°，则•=（ ）A．B．﹣C．﹣D．4.（茂名二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（ ）A．B