专题4三角函数与解三角形课件

专题四三角函数与解三角形专题四三角函数与解三角形目录CONTENTS考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式1考点二三角恒等变换2考点四正弦定理、余弦定理及解三角形4考点三

三角函数的图像与性质32目录考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、考点一

任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公必备知识全面把握考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

(1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内构成的集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．1．角的概念

①要注意上述的单位是一致的，当α为角度时，与其终边相同的角为β＝α＋k·360°，k∈Z，k≠0；当α为弧度时，与其终边相同的角为β＝α＋2kπ，k∈Z，k≠0.必备知识全面把握考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关5②对sin(nπ＋α)进行化简时，要对整数n进行讨论，即sin(nπ＋α)＝（k∈Z）.③锐角仅是第一象限角的一部分，第一象限的角不一定是锐角；终边在坐标轴上的角不属于任何象限，终边在坐标轴上的角的集合为.考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

5②对sin(nπ＋α)进行化简时，要对整数n进行讨论，即s6①角α的弧度数公式为|α|＝，其中l是以α为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．(2)弧度制②弧度与角度换算：180°＝π弧度．③弧长公式：.扇形的面积公式：考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

6①角α的弧度数公式为|α|＝，其中l是以α为圆心角时7利用平面直角坐标系，在角α的终边上任取一点P(x，y)(与原点不重合)，记r＝|OP|＝2．三角函数的定义考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

7利用平面直角坐标系，在角α的终边上任取一点P(x，y)(与8(1)三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定，所以三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数.①三角函数值在各象限的符号：上述符号可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦。考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

8(1)三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯9②各象限内的三角函数线：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

9②各象限内的三角函数线：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、10③特殊角的三角函数值表：考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

10③特殊角的三角函数值表：考点一任意角的三角函数、同角三角11

(2)根据三角函数的定义可以推导出一些三角函数公式．

之间函数值的关系，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”，其中奇、偶是指(或90°)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名的变化，把α看成锐角，实质α可以为任意角．如：sin(270°－α)＝－cosα.考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

11(2)根据三角函数的定义可以推导出一些三角函数公式．12考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

12考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式13平方关系：sin2α＋cos2α＝1，常用变形sin2α＝1－cos2α，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；②同角三角函数关系式：考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

13平方关系：sin2α＋cos2α＝1，常用变形sin2α143．三角函数的几种常用化简途径(2)项的分拆与角的配凑

如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x；配凑角(常用角变换):2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，－β等．β等．考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

143．三角函数的几种常用化简途径(2)项的分拆与角的配凑β15(3)化弦(切)法将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)的形式．考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

15(3)化弦(切)法考点一任意角的三角函数、同角三角函16

核心方法重点突破方法1三角函数定义的应用(1)在利用定义法解决问题时要注意点P所有可能的位置，避免漏解．(2)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点．(3)利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．(4)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示及三角函数值．1．三角函数定义法求值考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

16核心方法重点突破方法1三角函数定义的应用(1)17例1、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

17例1、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα18三角函数线是三角函数的几何表示，它的特征是将三角函数值这一纯代数形式的比值直观地用单位圆中的有向线段来表示，使我们能直观地看到三角函数间的大小关系．三角函数线法就是利用这一直观特征来研究和解决问题的．在研究三角函数的定义域、值域(最值)、单调性，解三角不等式和方程，判断或证明三角函数的大小关系时经常应用这一方法．2．三角函数线的应用考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

18三角函数线是三角函数的几何表示，它的特征是将三角函数值这19例2、考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

19例2、考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱20方法2同角三角函数基本关系的应用1．弦切互化法求值在三角函数的求值、化简、证明过程中，经常需要根据三角函数式的特点作相应的恒等变形，在解决齐次式的问题时，需要熟练应用同角三角函数关系弦切互化，有时可以根据需要用平方关系，换1为sin2α＋cos2α.考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

20方法2同角三角函数基本关系的应用1．弦切互化法求值21例3、(1)[山东潍坊2018模拟]已知则sin2α－sinαcosα的值是(

)A.B．C．－2D．2(2)[宁夏银川2017模拟]已知tanα＝2，则cosα＝________．考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

21例3、(1)[山东潍坊2018模拟]已知22【答案】(1)A

(2)－考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

22【答案】(1)A(2)－考点一任意角的三角函数、同角三232．和积转化法求值已知sinα＋cosα＝m，求三角函数值的两种方法：方法一：联立通过解方程组求解；方法二：两边同时平方可得1＋2sinαcosα＝m2sin2α＝m2－1，再通过二倍角公式求解．

利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化，注意所求需要开方时要根据角所在象限判断结果的正负符号．考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

232．和积转化法求值利用(sinθ±cos24例4、已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求其值.考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

24例4、已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝25考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

25考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式26方法3诱导公式的应用例5、[山西孝义2017模拟]sin2040°＝(

)

A．－B．－C.D.【解析】sin2040°＝sin(6×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin120°＝－sin60°＝－.【答案】B考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

26方法3诱导公式的应用例5、[山西孝义2017模拟27例6、考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

27例6、考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱28例7、已知α为第三象限角，f(α)＝考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

28例7、已知α为第三象限角，f(α)＝考点一任意角的三角函29考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

29考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式30考法例析成就能力本考点的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低，多考查三角恒等变换及三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主。考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

30考法例析成就能力本考点的命题重点是同角三角函数的基本关31例1、[北京2017·12]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则cos(α－β)＝________．考法1三角函数定义的应用【解析】因为角α和角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋360°·k，k∈Z.所以sinβ＝sinα＝，cosβ＝－cosα，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝－.【答案】－考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

31例1、[北京2017·12]在平面直角坐标系xOy中，角32例2、[浙江2018·18]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．【解】(1)由角α的终边过点得sinα＝－,所以sin(α＋π)＝－sinα＝.考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

32例2、[浙江2018·18]已知角α的顶点与原点O重合，33考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

33考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式34考法2同角三角函数的基本关系式例3、[大纲全国2014·3]设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则(

)

A．a>b>cB．b＞c＞aC．c>b>aD．c>a>b【解析】∵b＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a，∴b>a.又∵c＝tan35°＝>sin35°＝cos55°＝b，∴c>b，∴c>b>a.【答案】C考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

34考法2同角三角函数的基本关系式例3、[大纲全国2035例4、[课标全国Ⅲ2016·5]若tanα＝，则cos

2α＋2sin2α＝(

)A.B.C．1

D.【答案】A考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

35例4、[课标全国Ⅲ2016·5]若tanα＝36例5、[课标全国Ⅱ2017·14]函数f(x)＝sin2x＋·cosx－的最大值是.【答案】1考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式

36例5、[课标全国Ⅱ2017·14]函数f(x)＝sin237考点二三角恒等变换必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力37考点二三角恒等变换必备知识全面把握核心方法重点突破38必备知识全面把握sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；1．和差角公式考点二三角恒等变换

38必备知识全面把握sin(α＋β)＝sinαcosβ392．倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；3．升降幂公式注：升幂公式与降幂公式均是由cos2α＝2cosα2－1＝1－2sin2α变化得到的。考点二三角恒等变换

392．倍角公式sin2α＝2sinαcosα；3．升40

角的和、差、倍总是相对而言的，我们要学会根据三角函数式的特征，对角作灵活的变形，如α＝2·＝(α＋β)－β，α＋β＝(α＋θ)＋(β－θ)，－α＝π－，15°＝45°－30°＝60°－45°等．考点二三角恒等变换

40角的和、差、倍总是相对而言的，我们要414．辅助角公式考点二三角恒等变换

414．辅助角公式考点二三角恒等变换42核心方法重点突破方法三角函数式的化简与求值三角函数式的化简要注意以下几点：(1)坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现．(2)角的变换是三角恒等变换的核心，注意拼角、凑角的技巧．考点二三角恒等变换

42核心方法重点突破方法三角函数式的化简与求值三角函43③要灵活运用降幂公式高次变低次，通过降幂公式把高次的三角函数变为低次，再利用辅助角公式变为一个角的三角函数进行求解．考点二三角恒等变换

43③要灵活运用降幂公式考点二三角恒等变换44例1、已知0<α<π，化简1．三角函数式的化简________．【答案】－cosα考点二三角恒等变换

44例1、已知0<α<π，化简45给角求值问题的特点：所给角都是非特殊角，表面看来不易求值，但仔细观察该非特殊角与特殊角之间总有一定的联系．解题的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数求值．2．三角函数的给角求值例2、求值：(1)(2)[四川树德中学2019届模拟]考点二三角恒等变换

452．三角函数的给角求值例2、求值：(1)(2)[四川树德46考点二三角恒等变换

46考点二三角恒等变换473．三角函数的给值求值给值求值问题的关键：找出已知式和欲求式之间的角、运算及三角函数式的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外三角函数式的值，以备应用；同时变换欲求式，使其与已知式或备用式有直接联系，达到解题的目的．考点二三角恒等变换

473．三角函数的给值求值给值求值问题的关键：找出已知式和欲48例3、

[辽宁锦州2018模拟]设α为锐角，若【答案】考点二三角恒等变换

48例3、[辽宁锦州2018模拟]设α为锐角，若【答案】考49例4、[江西临川一中2019届月考]已知考点二三角恒等变换

49例4、[江西临川一中2019届月考]已知考点二三50考点二三角恒等变换

50考点二三角恒等变换51例5、[江西吉安白鹭洲中学2019届联考]已知0<α<考点二三角恒等变换

51例5、[江西吉安白鹭洲中学2019届联考]已知0<α<考52考点二三角恒等变换

52考点二三角恒等变换53例6、已知考点二三角恒等变换

53例6、已知考点二三角恒等变换54给值求角问题的关键：先求出该角的某一个三角函数值，同时根据该角的取值范围求出满足条件的角，达到解题的目的．4．三角函数的给值求角例7、[湖南师大附中2019届月考]已知求β的值．考点二三角恒等变换

54给值求角问题的关键：先求出该角的某一个三角函数值，同时根55例8、已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点二三角恒等变换

55例8、已知tan(α－β)＝，tanβ＝－56对于三角恒等式的证明，最常用的方法就是直接法和代入法．将条件角转化为结论角后，由已知等式直接推到结论等式，这种方法称为直接法；有时也可从已知等式中求解出部分角的三角函数值，进而代入求解，这种方法称为代入法．5．三角函数的恒等式的证明考点二三角恒等变换

56对于三角恒等式的证明，最常用的方法就是直接法和代入法．将57例9、

[陕西延安黄陵2018校级月考]已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.考点二三角恒等变换

57例9、[陕西延安黄陵2018校级月考]已知tan2α＝58考点二三角恒等变换

58考点二三角恒等变换59考法例析成就能力考法1利用两角和差公式与二倍角公式化简求值例1、[四川2015·12]sin15°＋sin75°的值是________．【解析】sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝2sin45°cos30°＝.【答案】考点二三角恒等变换

59考法例析成就能力考法1利用两角和差公式与二倍角60例2、[课标全国Ⅱ2016·9]若则sin2α＝(

)【答案】D考点二三角恒等变换

60例2、[课标全国Ⅱ2016·9]若61例3、[课标全国Ⅱ2018·15]已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.考点二三角恒等变换

61例3、[课标全国Ⅱ2018·15]已知sinα＋cos62【答案】－考点二三角恒等变换

62【答案】－考点二三角恒等变换63例4、[江苏2018·16]已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．考点二三角恒等变换

63例4、[江苏2018·16]已知α，β为锐角，tanα64考点二三角恒等变换

64考点二三角恒等变换65考法2三角恒等变换的综合应用例5、[浙江2017·18]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－考点二三角恒等变换

65考法2三角恒等变换的综合应用例5、[浙江20166考点二三角恒等变换

66考点二三角恒等变换67考点三三角函数的图像与性质必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力67考点三三角函数的图像与性质必备知识全面把握核心方68必备知识全面把握1．基本三角函数的图像及其作法(1)正弦函数y＝sinx，x∈R的图像叫做正弦曲线．余弦函数y＝cosx，x∈R的图像叫做余弦曲线．正切函数y＝tanx，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的图像叫做正切曲线．(2)作三角函数图像的方法：①列表描点法；②对于函数y＝sinx，y＝cosx，x∈[0，2π]可以用“五点法”作图；③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像，可由y＝sinx，y＝cosx的图像变换得到．考点三三角函数的图像和性质

68必备知识全面把握1．基本三角函数的图像及其作法(1)正69

五点法”作图，是作正弦函数、余弦函数草图的重要方法．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)草图的具体步骤：设X＝ωx＋φ；由X取0，，π，，2π求出相应的x值及对应的y值；描点作图．考点三三角函数的图像和性质

69五点法”作图，是作正弦函数、余弦函数草图702．三角函数图像的三种变换(1)相位变换：函数y＝sin(x＋φ)的图像可以看作是把函数y＝sinx的图像向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度而得到的．(2)周期变换：函数y＝sinωx的图像可以看作是函数y＝sinx图像上的每一点的纵坐标不变，把横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍而得到的．(3)振幅变换：函数y＝Asinx的图像可以看作是函数y＝sinx图像上的每一点的横坐标不变，把纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍而得到的．考点三三角函数的图像和性质

702．三角函数图像的三种变换(1)相位变换：函数y＝sin71考点三三角函数的图像和性质

71考点三三角函数的图像和性质72考点三三角函数的图像和性质

72考点三三角函数的图像和性质733．三角函数图像的性质考点三三角函数的图像和性质

733．三角函数图像的性质考点三三角函数的图像和性质74考点三三角函数的图像和性质

74考点三三角函数的图像和性质75考点三三角函数的图像和性质

75考点三三角函数的图像和性质76

以上表格所列出的三角函数的性质是三角函数部分的重要内容，是解决三角函数有关问题的重要依据，在记忆时一定要结合三角函数的图像．4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的主要性质(1)定义域为R，值域为[－A，A];(2)周期性：最小正周期为(3)单调性：令z＝ωx＋φ，利用y＝sinz的单调性解出x；(4)对称性：对称轴是直线对称中心是点考点三三角函数的图像和性质

76以上表格所列出的三角函数的性质是三角函数部分的77考点三三角函数的图像和性质

77考点三三角函数的图像和性质78核心方法重点突破方法1三角函数的图像变换处理三角函数图像变换问题时，要弄清哪一个是原始函数(图像)，哪一个是最终函数(图像)，解决问题主要有以下几种方法：1．常规方法正确确定原始函数与最终函数，根据“必备知识全面把握”中“2.三角函数图像的三种变换”中的图形内容一步步求得结果．特别要强调的是，由y＝sinx的图像变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图像时，无论何种变换，一般都是对变量x，y进行的．若先周期变换再相位变换，则平移的量是(ω>0)个单位长度．此处容易出错，应特别注意．考点三三角函数的图像和性质

78核心方法重点突破方法1三角函数的图像变换处理三角792．方程思想可以把要判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解．如y＝sin2x变为可设平移φ(φ>0)个单位长度，则即向左平移个单位长度；若φ<0，说明向右平移|φ|个单位长度．792．方程思想803．快速方法平移变换实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移变换对应着图像的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图像的上下平移．一般可选定变换前后两函数f(x)，g(x)的图像与x轴的第一个交点(即图像上升时与x轴的交点)分别为(x1，0)，(x2，0)(f(x1)＝0，g(x2)＝0)，则由x2－x1的值可判断出左右平移的情况，由g(x)max－f(x)max的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化判断出伸缩变换的情况.考点三三角函数的图像和性质

803．快速方法考点三三角函数的图像和性质81例1、[安徽皖南八校2018高三联考]将函数f(x)＝的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得图像的一条对称轴的方程是(

)考点三三角函数的图像和性质

81例1、[安徽皖南八校2018高三联考]将函数f(x)＝考82【答案】C考点三三角函数的图像和性质

82【答案】C考点三三角函数的图像和性质83例2、[河南郑州2018高三第一次质量检测]若将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)(0<φ<π)图像上的每一个点都向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若函数y＝g(x)是奇函数，则函数y＝g(x)的单调递增区间为(

)考点三三角函数的图像和性质

83例2、[河南郑州2018高三第一次质量检测]若将函数f(84【答案】B考点三三角函数的图像和性质

84【答案】B考点三三角函数的图像和性质85方法2由三角函数图像求函数的解析式已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像求其解析式的步骤：先确定A，b，再确定ω，最后确定φ.具体方法如下：(1)在一个周期(或者从最高点到相邻的最低点，即半个周期)内，若最大值为M，最小值为m，则特别地，当b＝0时，A＝M＝－m.考点三三角函数的图像和性质

85方法2由三角函数图像求函数的解析式已知函数y＝Asi86(2)ω由最小正周期T确定，即由求出．常用的确定T值的方法：①当b＝0时，曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为；②曲线上最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标的差的绝对值为；③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T；④有时还可以从图中读出的值．考点三三角函数的图像和性质

86(2)ω由最小正周期T确定，即由求出．常用的87(3)φ值的确定有三种途径：①代入法：将图像上一个已知点或图像与直线y＝b的交点的坐标代入求解(要注意交点在增区间还是减区间)．②五点法：由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，当b＝0时也可以利用图像与x轴的交点．利用图像与x轴的交点时，通常把“五点法”中的第一个点(x0，0)(初始点)作为突破口，由“第一个点”(图像上升时与x轴的交点)可得等式ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)；由“第三个点”(图像下降时与x轴的交点)可得等式ωx0＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．再由已知条件中φ的具体范围确定相应的φ值．考点三三角函数的图像和性质

87(3)φ值的确定有三种途径：考点三三角函数的图像和性质88③运用逆向思维，由图像变换来确定由f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝

知，“五点法”中的第一个点就是由原点平移而来的，可从图中读出此点横坐标等于－，即可得到φ值．考点三三角函数的图像和性质

88③运用逆向思维，由图像变换来确定由f(x)＝Asin(ω89例3、[贵州贵阳2018期末]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则φ的值为(

)考点三三角函数的图像和性质

89例3、[贵州贵阳2018期末]函数f(x)＝Asin(ω90【答案】D考点三三角函数的图像和性质

90【答案】D考点三三角函数的图像和性质91例4、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，已知点若将它的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)图像的一条对称轴方程为(

)考点三三角函数的图像和性质

91例4、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|92【答案】D考点三三角函数的图像和性质

92【答案】D考点三三角函数的图像和性质93方法3三角函数的单调性的应用三角函数单调性问题的常见类型及解题策略：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的函数的单调区间时，要“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(1)已知三角函数解析式求单调区间．考点三三角函数的图像和性质

93方法3三角函数的单调性的应用三角函数单调性问题的常见94(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决．考点三三角函数的图像和性质

94(2)已知三角函数的单调区间求参数．(3)利用三角函数的95例5、已知函数f(x)＝(ω>0)的图像相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调递增区间为(

)考点三三角函数的图像和性质

95例5、已知函数f(x)＝96【答案】A考点三三角函数的图像和性质

96【答案】A考点三三角函数的图像和性质97例6、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)|φ|的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(

)考点三三角函数的图像和性质

97例6、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋98【答案】A考点三三角函数的图像和性质

98【答案】A考点三三角函数的图像和性质99方法4三角函数的最值问题求解三角函数的最值及值域问题，先通过三角恒等变换将目标函数转化为关于一个角的三角函数，再利用三角函数的有界性及单调性等求出最值，进一步可得到值域．(1)如果出现的角为x－φ1，x－φ2，可以考虑根据两角和差公式，将函数化为关于角x的三角函数；如果出现sin2x，cos2x或sinxcosx，可逆向运用二倍角公式，将函数化为关于角2x的三角函数等．考点三三角函数的图像和性质

99方法4三角函数的最值问题求解三角函数的最值及值域100(2)求解三角函数的值域(最值)时，常见以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数，应用辅助角公式化为(a，b为非零常数，tanφ＝）的形式，再根据

sin(x＋φ)∈[－1，1]，求值域(最值)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设t＝sinx，化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c，再根据二次函数的单调性及t的取值范围求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，得到t2＝1±2sinxcosx，根据此关系把原解析式化为关于t的二次函数，再求值域(最值)．考点三三角函数的图像和性质

100(2)求解三角函数的值域(最值)时，常见以下几种类型的101例7、已知函数现将y＝f(x)的图像向左平移个单位长度；再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)在上的值域为(

)A．[－1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[－1，0]考点三三角函数的图像和性质

101例7、已知函数102【答案】A考点三三角函数的图像和性质

102【答案】A考点三三角函数的图像和性质103例8、[北京2015·15]已知函数(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．考点三三角函数的图像和性质

103例8、[北京2015·15]已知函数考点三三角函数的104方法5三角函数的奇偶性(图像的对称性)、周期性问题考点三三角函数的图像和性质

104方法5三角函数的奇偶性(图像的对称性)、周期性问105考点三三角函数的图像和性质

105考点三三角函数的图像和性质106考点三三角函数的图像和性质

106考点三三角函数的图像和性质107例9、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的最小正周期为π，且则下列说法不正确的是(

)考点三三角函数的图像和性质

107例9、设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>108【答案】C考点三三角函数的图像和性质

108【答案】C考点三三角函数的图像和性质109例10、同时具备以下性质：“①最小正周期是π；②图像关于考点三三角函数的图像和性质

109例10、同时具备以下性质：“①最小正周期是π；②图像关110【答案】D考点三三角函数的图像和性质

110【答案】D考点三三角函数的图像和性质111方法6三角函数的综合应用(2)利用三角函数的解析式求解实际问题时，需要根据实际问题得到解析式，求得的函数的解析式一般形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b，把实际问题转化为函数的相关问题进行求解．注意所得结果要符合实际意义．(3)解决三角函数与不等式、导数、单调性、极值、零点等综合问题时，只要将三角函数视为一般函数，用函数的方法解决问题即可．(1)利用三角函数的图像解决与性质有关的问题时，对于形如，的三角函数，要通过引入辅助角化为的形式来求解.考点三三角函数的图像和性质

111方法6三角函数的综合应用(2)利用三角函数的112例11、若函数f(x)的导函数为f′(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，）f′(x)的部分图像如图所示，g(x)＝|g(x1)－g(x2)|的最大值为(

)考点三三角函数的图像和性质

112例11、若函数f(x)的导函数为f′(x)＝Acos113【答案】C考点三三角函数的图像和性质

113【答案】C考点三三角函数的图像和性质114例12、[湖北2015·17]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜2(π))在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像．若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．考点三三角函数的图像和性质

114例12、[湖北2015·17]某同学用“五点法”画函数115考点三三角函数的图像和性质

115考点三三角函数的图像和性质116考法例析成就能力本考点主要考查：（1）三角函数的图像变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换综合考查。多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。考点三三角函数的图像和性质

116考法例析成就能力本考点主要考查：（1）三角函数的图像117考法1三角函数的图像变换例1、[课标全国Ⅰ2017·9]已知曲线C1：y＝cosx，C2：，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2考点三三角函数的图像和性质

117考法1三角函数的图像变换例1、[课标全国Ⅰ201118【答案】D考点三三角函数的图像和性质

118【答案】D考点三三角函数的图像和性质119考法2三角函数图像与性质的应用例2、(1)[北京2018·11]设函数，对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．(2)[课标全国Ⅲ2018·15]函数在[0，π]的零点个数为________．考点三三角函数的图像和性质

119考法2三角函数图像与性质的应用例2、(1)[北京120【答案】(1)

(2)3考点三三角函数的图像和性质

120【答案】(1)(2)3考点三三角函数的121考法3由三角函数性质求函数的解析式例3、[课标全国Ⅰ2015·8]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(

)考点三三角函数的图像和性质

121考法3由三角函数性质求函数的解析式例3、[课标全122【答案】D考点三三角函数的图像和性质

122【答案】D考点三三角函数的图像和性质123考法4三角函数的单调性例4、[课标全国Ⅱ2018·10]若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(

)【答案】A考点三三角函数的图像和性质

123考法4三角函数的单调性例4、[课标全国Ⅱ201124例5、[重庆2015·18]已知函数f(x)＝sin(－x)·sinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．考点三三角函数的图像和性质

124例5、[重庆2015·18]已知函数f(x)＝sin(125例6、[福建2014·16]已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0＜α＜，且sinα＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．考点三三角函数的图像和性质

125例6、[福建2014·16]已知函数f(x)＝cos126考法5三角函数的最值例7、[山东2017·16]设函数其中0＜ω＜3.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移4(π)个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在上的最小值．考点三三角函数的图像和性质

126考法5三角函数的最值例7、[山东2017·16]127例8、[江苏2017·16]已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．考点三三角函数的图像和性质

127例8、[江苏2017·16]已知向量a＝(cosx，128考法6三角函数的奇偶性(图像的对称性)、周期性例9、[课标全国Ⅲ2017·6]设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(

)考点三三角函数的图像和性质

128考法6三角函数的奇偶性(图像的对称性)、周期性129【答案】D考点三三角函数的图像和性质

129【答案】D考点三三角函数的图像和性质130例10、[山东2016·7]函数f(x)＝的最小正周期是()【答案】B考点三三角函数的图像和性质

130例10、[山东2016·7]函数f(x)＝131例11、[天津2017·7]设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若且f(x)的最小正周期大于2π，则()考点三三角函数的图像和性质

131例11、[天津2017·7]设函数f(x)＝2sin(132【答案】A考点三三角函数的图像和性质

132【答案】A考点三三角函数的图像和性质133例12、[江苏2018·7]已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值是________．【答案】－考点三三角函数的图像和性质

133例12、[江苏2018·7]已知函数y＝sin(2x＋134例13、[重庆2014·17]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；考点三三角函数的图像和性质

134例13、[重庆2014·17]已知函数f(x)＝考点三三角函数的图像和性质

考点三三角函数的图像和性质136例14、[课标全国Ⅰ2016·12]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在单调，则ω的最大值为(

)A．11

B．9

C．7

D．5考点三三角函数的图像和性质

考法7三角函数的综合应用136例14、[课标全国Ⅰ2016·12]已知函数f(x)＝137【答案】B考点三三角函数的图像和性质

137【答案】B考点三三角函数的图像和性质138例15、[天津2016·15]已知函数(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．考点三三角函数的图像和性质

138例15、[天津2016·15]已知函数考点三三角函数139考点三三角函数的图像和性质

139考点三三角函数的图像和性质考点四正弦定理、余弦定理及解三角形必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点四正弦定理、余弦定理及解三角形必备知识全面把握核心方141必备知识全面把握1．正弦定理、余弦定理及解三角形(1)正弦定理：(R为△ABC外接圆的半径)．

应用正弦定理和三角形内角和定理，可以求解以下两类解三角形问题：①已知两角和任一边，求其他的边和角；②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

141必备知识全面把握1．正弦定理、余弦定理及解三角形(142①应用余弦定理可以求解以下两类解三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个内角．②应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状．③应用正弦定理和余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边或角的单一”的等式．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

142①应用余弦定理可以求解以下两类解三角形问143考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

143考点四正弦定理、余弦定理及解三角形144

利用三角函数的知识，结合三角形的边角关系及有关公式解决三角形中的计算与证明问题，必须注意以下两点：①熟练掌握有关三角形的定理：正弦定理、余弦定理、内角和定理；②重视三边、三角、三线(高线、中线、角平分线)、面积、两个半径(外接圆半径、内切圆半径)之间的相互依赖的关系和互化关系．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

144利用三角函数的知识，结合三角形的边角关145考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

145考点四正弦定理、余弦定理及解三角形146(5)判断解的个数的方法根据已知条件给出的数据，利用正弦定理和余弦定理解三角形时，有时结果不止一个，此时需要根据情况合理取舍．具体方法有：①代数法：根据已知条件中角的大小、边的长短并结合“大角对大边、大边对大角”判断，根据正弦函数的值域判断等．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

146(5)判断解的个数的方法考点四正弦定理、余弦定理及解147②几何法：先根据条件画图形，再根据图形判断．特别地，如果已知△ABC的两边a，b及边a的对角A求角B时，结果可能有一个、两个或者没有．具体如下：考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

147②几何法：先根据条件画图形，再根据图形判断．特别地，如148核心方法重点突破方法1利用正弦定理解三角形考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

148核心方法重点突破方法1利用正弦定理解三角形考点149考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

149考点四正弦定理、余弦定理及解三角形150例1、[山东2017·9]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(

)A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A【解析】∵sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosA·sinC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)．又∵sinB＝sin(A＋C)，∴2sinBcosC＝sinAcosC.∵0<C<2(π)，∴cosC≠0，∴2sinB＝sinA.由正弦定理得a＝2b.【答案】A考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

150例1、[山东2017·9]在△ABC中，角A，B，C的151例2、[课标全国Ⅱ2016·13]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.【答案】考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

151例2、[课标全国Ⅱ2016·13]△ABC的内角A，B152例3、[江苏2016·15]在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.(1)求AB的长；(2)求cos(A-)的值．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

152例3、[江苏2016·15]在△ABC中，AC＝6，c153例4、[浙江2016·16]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

153例4、[浙江2016·16]在△ABC中，内角A，B，154考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

154考点四正弦定理、余弦定理及解三角形155方法2利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形的类型及方法：(1)已知△ABC的两边a，b及夹角C，求边c和角A，B.具体方法：直接运用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC可求得边c.求角A，B有两种途径：一是利用余弦定理的变形式cosA＝.求出角A，B；二是利用正弦定理的变形式求出sinA，sinB，进一步得到角A，B.但是利用正弦定理时，求得锐角、钝角的正弦值均为正值，一定要根据大边对大角，或者是三角形内角和为π等信息对角进行讨论，避免出现增根或失根．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

155方法2利用余弦定理解三角形利用余弦定理解三角形的156考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

156考点四正弦定理、余弦定理及解三角形157例5、[课标全国Ⅲ2016·8]在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(

)【答案】C考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

157例5、[课标全国Ⅲ2016·8]在△ABC中，B＝158例6、[课标全国Ⅲ2018·9]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(

)【答案】C考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

158例6、[课标全国Ⅲ2018·9]△ABC的内角A，B，159例7、[课标全国Ⅱ2017·17]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

159例7、[课标全国Ⅱ2017·17]△ABC的内角A，B160考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

160考点四正弦定理、余弦定理及解三角形161方法3综合利用正弦定理、余弦定理解三角形(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形时，应注意以下几点：①若已知等式(或不等式)中左、右均有边，一般利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；②若已知等式(或不等式)中左、右均有角的正弦，也可利用正弦定理将角的关系转化为边的关系；③否则，可考虑使用余弦定理．(2)求解平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形不止一个，因此需要合理分析、确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求得结果．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

161方法3综合利用正弦定理、余弦定理解三角形(1)利162例8、[课标全国Ⅰ2017·17]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

162例8、[课标全国Ⅰ2017·17]△ABC的内角A，B163考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

163考点四正弦定理、余弦定理及解三角形164例9、[天津2017·15]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.(1)求b和sinA的值；(2)求的值．考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

164例9、[天津2017·15]在△ABC中，内角A，B，165考点四

正弦定理、余弦定理及解三角形

165考点四正弦定理、余弦定理及解三角形166例10、[课标全国Ⅰ2016·17]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC