2021-2022学年河南省豫西名校高一（下）段考数学试卷（四）（附答案详解）

2021-2022学年河南省豫西名校高一(下)段考数学试卷(四)一、单选题(本大题共12小题，共60.0分).复数z=(-l+3i)(2-i)在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.已知角a的终边与单位圆交于点P(-则sina=()A.迥 B.1 C.+延 D..在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=g,b=4五,c=5,则a=()A.6 B.7 C.8 D.4V2.为了得到函数/(x)=2sin(2x-》的图象，只需将函数g(x)=2sinx的图象()A.所有点的横坐标缩短到原来的3,纵坐标不变，再将所得图象向右平移卷个单位长度B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移g个单位长度C.向右平移曰个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D.向右平移总个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的：，纵坐标不变5.设a,0e(一1,)且sina=噜，sin0=—则a—夕=()A.7 B.-7 C. D.彳或招TOC\o"1-5"\h\z4 4 3 4 4.已知向量E与方的夹角为60。，且=2,||一23|=28，则|引=()A.V5 B.1 C.2 D.4.下列四个函数中，在区间兀)上单调递增，且最小正周期为兀的是()_ _ XA.y=-sin2x B.y=\cosx\ C.y=\sinx\ D.y=sin-.在等边△ABC中，。为重心，。是。8的中点，则同=()A.而+而 B.|AB+1^C C.1AB+^AC D.^AB+^AC

9.某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚4处测得NP4C=15°,沿土坡向坡顶前进25m后到达。处，9.某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚4处测得NP4C=15°,沿土坡向坡顶前进25m后到达。处，测得“DC=45。.已知旗杆CP=10m,PB1AB,土坡对于地平面的坡度为d则cos8=()A.V2-1B.V3-1C.10.已知函数/(x)=2sin(a)x+<p)(3>0,\(p\<兀)的部分图象如

图所示，若a是第三象限角，且/(a)=l,贝bina=()-立2-立2D.D.-1.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形4BC。中，04J.0C,OA=OC=4,AC1BC,AC=BC,点P是八边形ABCCEFGH内(不含边界)一点，则成•而的取值范围是()A.(-16,48) B.(-48,16)C.(-16V5.48V5) D.(-48V5.16V5).已知/(x)为奇函数，/(x+7T)为偶函数，且当x6[0,n]时，/(x)=sin学设a=/'(2022兀)，b=f(sin$,c=/(3.5),则()a>b>cc>b>aa>c>bb>c>a二、填空题(本大题共4小题，共20.0分).已知sin(1-0)= 8E(0,,则sin。=..已知函数/(x)=tan(x+p)的图象关于点(，,0)中心对称，则。的一个值可以是.已知复数z是关于x的方程%2一Q%+b=0(q/£R)的一个根，若三＜0,且团=V5，则Q+b=..在44BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=8,7sinBsinC+9cosA=0,则△4BC面积的最大值为.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分).已知复数Zj满足(1-2i)Zi=1+2i.(1)求Zi的共规复数名；(2)若复数Z2的虚部为1,且Z1 是实数，求忆2卜z2.已知向量五=(一3,1),|K|=1.(1)若五〃B，求行的坐标；(2)若(2五+3)1位—59)，求五与方夹角的余弦值..已知函数f(x)=2sin(2x-(1)利用“五点法”完成如表的表格，并画出/(x)在区间碍,上的图象;X/(%)(2)解不等式/(x)>1..已知函数/(x)=2yj2sinxcosx+V2cos2x—V2sin2x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.(2)证明：当x 时，/(%)<%2-2%+3..在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。是△ABC的外心，qcos(。一$=布布AOA^1—1+国I•(1)求角A；(2)若44BC外接圆的周长为4百万，求44BC周长的取值范围..已知函数/(x)=cos(®x+“)(0<3W2,|*|W今，对于任意a6R,都有/'(x。)W畸I，且/⑨=0.(1)求/'(X)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+2sin(x-7)+2a2-:在内有3个零点，求a的取值范6 L3 3围.答案和解析.【答案】4【解析】解：z=(-l+3i)(2-i)=-2+3+6i+i=l+7i.复数z在复平面内对应的点(1,7)位于第一象限，故选：A.利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论.本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..【答案】C【解析】解：由题意在单位圆中，可得(一；)2+血2=1,解得加=土出，3 3所以sina=±—.3故选：C.由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.本题考查单位圆与任意角的正弦函数定义，考查数学运算的核心素养，属于基础题..【答案】B【解析】解：因为=a?+C?—2accosB,所以(4或产=a2+52-2x5x|a,解得a=7.故选：B.直接利用余弦定理的应用求出结果.本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题..【答案】4【解析】解：将函数g(x)=2sinx图象所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，可以得到函数y=2sin2x的图象，再将所得图象向右平移工个单位长度，可以得到函数“X)=2sh12a-匀=2sin(2x-勺的图象.O故A正确.故选：A.由题意利用函数y=Asin（a）x+内的图象变换即可求解.本题考查三角函数图象的平移变换，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题..【答案】4【解析】解：因为sina>0,sinp<0,所以0<a<］，<夕<。，易知cosa=^^,cos0=誓，0<a—^<n,则8s（"6）=誓X号+噂X（一曲=争故a-夕=不故选：A.根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可.本题考查两角和与差的余弦公式，考查数学运算的核心素养..【答案】C【解析】解：•:日・石=2x|石|xcos60°=|b|>又|五一23|=2百'a2-4ab+4b2=12>4—4|Zj|+4|&|2=12>解得|b|=2或|b|=—1（舍去），|石|=2，故选：C.根据平面向量数量积的定义与性质建立方程即可求解.本题考查平面向量数量积的定义与性质，方程思想，属基础题..【答案】B【解析】解：y=-sin2x在区间G，兀）上不单调，4不符合题意：y=|cosx|在区间（；,汗）上单调递增，且最小正周期为几，8符合题意；y=|sinx|在区间G，兀）上单调递减，C不符合题意；y=sin：的最小正周期为4乃，。不符合题意.故选：B.

结合正弦函数的性质分别判断各选项即可.本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养，属于基础题..【答案】D【解析】解：在等边AABC中，。为重心，。是0B的中点，设E是4c中点，AD=AB+BD=AB+-BE=48+±例+AE)=-AB+-AC.3 3 3 6故选：D.设E是AC中点，结合。为重心，。是0B的中点，然后求解即可.本题考查平面向量的基本定理，考查数学运算的核心素养，是基础题..【答案】D【解析】解：在△P4C中，/.APD=45°-15°=30°,由正弦定理得PC=AD由正弦定理得PC=AD

sin乙APD•sinl5°=25 _ 502cos15。-n+w在APDC中，PC=10,故疝皿。=誓口=空，因为cos。=sinzPCD,所以cos。=辿=4故选：D.先在△PAD中利用正弦定理求出PC,再在△PDC中求出sin/PCC,则cos。可求.本题考查解三角形的实际应用，考查数学建模的核心素养，属于中档题..【答案】cn (2sin(b=-1【解析】解：由图象可得,/(x)经过点(0,-1)和G，2),代入解析式可得12s讥(吧+o)=2(P=—+2/c7t,k&ZTOC\o"1-5"\h\z结合图象解得7r3 67r ,詈+W=]+2kn,kEZ又因为3>0,\<p\<n,7=含>：，所以10——%,/(x)=2sin(2x因为f(a)=2sin(2a-^)=1,即sin(2a6 6 2所以20：—9=3+2而，keZ或2a—三=§+21兀，keZ,即0=3+而，kEZ^ia=oo 6 6 o^+kn,kGZ.因为a是第三象限角，所以a=乂+2k;r,kEZ,sina=sin—=-6 6 2故选：c.由题意f(x)经过点(0,-1)和C，2),又3>o,3<兀，7=含W，可求可求函数解析式为/(x)=2sin(2x-勺，进而可得sin(2a-[)=进而由a是第三象限角，o oL可求a=r+2/nr,kEZ,即可求解sina的值.6本题考查三角函数的性质，考查逻辑推理、数学运算的核心素养，属于基础题..【答案】BTOC\o"1-5"\h\z【解析】解：如图所示，延长。4至点M,作HMJ.AM, ，延长OE至点N,作DN1EN,过点P作PQJ.4E,垂足为Q. 。易知4M=EN=4,|函|=4.市•屁=雨•(祈+而)= 7\X——.OAAQ, X/71由运动变化思想知Q分别在M、N处时画.而取得最值， B当点Q与点M重合时，OAAP=16t当点Q与点N重合时，OAAP=-48.故函.通的取值范围是(一48,16).故选：B.根据运动变化思想，找到变量的两个极端位置即可求解.本题考查平面向量数量积，运动变化思想，属基础题..【答案】B【解析】解：因为f(x)为奇函数,f(x+乃)为偶函数，所以/(x)=-/(-x)®.f(x+兀)=/(T+兀)②.由①②可得"X)=f(x+4tt),故/(x)的周期为47r.a=/(2022m)=/(2m)=/(0)=0.因为f(x)=si吟在［0,争上单调递增，在百，兀］上单调递减，所以b=/(sin2)=吟<居)=«),且b>0.Ow因为7<2n-3.5<兀，所以c=/(3.5)=f(2it-3.5)>fg故c>b>a.故选：B.由已知结合函数的奇偶性及对称性先求出函数的周期，结合周期进行转化，再由正弦函数的单调性即可比较函数值大小.本题考查函数的性质综合，考查逻辑推理、数学运算的核心素养..【答案】里2【解析】解：因为sinG-O)=F，所以cos。=因为。G(0(),所以sin。=Vl-cos20=y.故答案为：立.2利用三角函数的计算公式，即可解出.本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题..【答案】一?(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)的图象关于点。,0)中心对称，所以工+<p="，kEZ,则9=一工+”，kEZ.6 2 6 2故答案为：一千(答案不唯一).由正切函数的对称性求解即可.本题考查正切函数的图象与性质，考查数学运算的核心素养..【答案】1【解析】解：•••丹<(),Z-I・・可设z=k(2-i)=2k-ki,k<0,v\z\=V5»・・4k2+(-A)2=5k2=5,解得k=-1,•・z=-2+i,复数z是关于x的方程/-ax+b=0(atbeR)的一个根,・,・复数z是关于x的方程/一QX+b=O(a,beR)的另一个根,⑪注储,解得一%』，•・q+b=-4+5=L故答案为：1.根据已知条件，设出Z,再结合复数模公式，求出Z,再结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共枕复数，即可求解.本题主要考查复数模公式，以及一元二次函数在复平面中的复数根互为共物复数，属于中档题..【答案】12【解析】解：7sinBsinC+9cosA=0,cosA=一cos(8+C),:.7sinBsinC—9cos(84-C)=0,^^7sinBsinC—9cosBcosC+9sinBsinC=0,:.16sinBsinC=9cosBcosC,9tanB-tanC=16要使△ABC面积取得最大值，则九应取得最大值，va=BC=BD+CD=—+—=侬匹也砧),tanBtanCtanBtanC...h=±£空吧空工= 1 < == =3,当且仅当tanB=tanC=3时，ta®tanCtanB+tanCZ^tanBtanC2丐 4等号成立，•••八的最大值为3,•••A4BC面积的最大值为:x8x3=12.故答案为：12.根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，求出tanB•tanC=白，再结合基本不等式16的公式，以及三角形的面积公式，即可求解.本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.17.【答案】解:⑴Z117.【答案】解:⑴Z1(l+2i)2

(l-2i)(l+2i)-3+4i5(2)复数Z2的虚部为1，设Z2=Q+i,a6/?,4则4则Z1+--=

z23+9+后=_:+堤+g_岛)。( ( 3V10X= 或1x/103=行因为Zi+2是实数，所以：一=7=0,解得。2=4,22 5a'+l故忆2|=y/a2+I2=V5.【解析】（1）由已知结合复数的四则运算进行化简，然后结合共扼复数概念可求；（2）由已知结合复数的基本概念及复数的模长公式可求.本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，还考查了复数的基本概念，属于基础题.18.【答案】解：（1）设方=（x,y），因为|b|=I,所以(x2+y2=1因为|b|=I,所以( 3V10x- ioVTo,v= V10(2)|a|=V10.因为(2日+石)1(a-5K)»所以(2日+方)•0—5万)=0.即2/一9日•石一5万2=0，解得五不=*设日与石的夹角为仇则cos。=含云=—.同1加6故五与石夹角的余弦值为叵.6【解析】（1）设方=（x,y）,由|石|=1，列方程组［j+l,lol,由此能求出结果.（2）|a|= 由（2五+另），@一5方），得1，B：.利用向量夹角余弦公式能求出丘与石夹角的余弦值.本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：(1)由题意/(x)=2sin(2x-9,可得/(%)在区间[£.?]上的图象如卜图所示:(2)由题意不等式BPsin(2x-^)>i,令2+2kn<2x--<—4-2kn,kSZ,解得24-kzr<x<^+kn,keZ.6 3 6 4 12故不等式/(x)>1的解集为E+.，工+kn](kEZ).【解析】(1)利用列表法，结合五点作图法进行取值作图.(2)由题意可得sin(2x >i,利用正弦函数的性质即可求解.本题主要考查了三角函数的性质以及五点法作图，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题..【答案】⑴解：/(x)=2>j2sinxcosx+V2cos2x-V2sin2x=y/2sin2x+\[2cos2x=2sin(2x+3),故/(x)的最小正周期r=舒=兀，令2x+EW[2kzr-2k?r+§,k&Z,则xe[kzr—拳,k;r+白，kGZ,故f(x)的单调递增区间为[一萼+而吟+kn](kGZ).o oJT(2)证明：令t=2x+],因为x 所以2x+：e[—,争，即te %争，因为y=sinx在[一上单调递增，在碎羽上单调递减，所以sin(2x+：)4sinT=l,即f(x)42,当且仅当2》+：=],即x=；时，等号成立，而/-2x+3=(x—I)2+2>2,当且仅当％=1时，等号成立，

因为/(%)<2与/4-2x+3>2中等号成立的条件不同，所以/(x)<X2-2%4-3,得证.【解析】(1)化简可得/(x)=2sin(2x+$,再根据正弦函数的周期性和单调性，得解：(2)由%勺，可得2x+?的取值范围，再根据正弦函数的单调性，求得/(x)的最大值及此时x的值，然后由配方法求得y=/一2方+3的最小值及此时工的值，即可得证.本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题..【答案】解：(1)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。是AABC的外心，所以AOABI画CAOAC2外心，所以AOABI画CAOAC29\AC\acos(C-g)=AOAB(两+AOACI而化为：acos^C—g)=-7-,即三acosC4-—asinC=竺TOC\o"1-5"\h\z3X2 2 2 2由正弦定理可得sin4cosc+V3sinAsinC=sinB+sinC=sin(4+C)+sinC,&?sinAcosC+V3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC-由sinCW0,化简得通sbM=cosA+1»即sin(A-^)=因为一gvA-gv?,所以=a即4=(6 6 6 6 6 3(2)因为△ABC外接圆的周长为4百万，所以△ABC外接圆的直径为4百.由正弦定理得高=48，则a=4gx更=6.sm/i 2由余弦定理得36=h2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc.因为3bc=(b+c)2-36W3xFF)2,所以；(b+c)2w36,即b+cW12,当且仅当2 4b=c时，等号成立.又因为b+c>a=6,所以6<b4-c<12»则12<a4-/?4-c<18.故仆ABC周长的取值范围为(12,18].【解析】(i)通过组票=：,瞥=2化简已知条件，结合正弦定理，以及两角和与差\AB\2\AC\2的三角函数，转化求解A的值即可.(2)利用△ABC外接圆的周长为46兀，求出△ABC外接圆的直径，结合正弦定理求解a,由余弦定理以及基本不等式，转化求解AABC周长的取值