2022届中考数学压轴大题押题含答案

2022年中考数学压轴题1.如图，抛物线、=加+6)什。(a<0)与x轴交于4,B两点,点4在点B的左侧，抛物线与y轴正半轴交于点C,分别连接ZC、BC,则有tanNA8C=2,NZC8=90°,(1)求抛物线的函数表达式；(2)设。为抛物线的顶点，点、E(m,0)为线段。/上任意一点，过点E作x轴的垂线分别交直线4C及抛物线于点F、点G,当△40尸是锐角三角形时，求机的取值范围.(3)在(2)的前提下，设尸G=s,求2s+3机的最大值.解：⑴VZACB=90°,:.NBCO+NACO=90°,ZACO+ZCAO=90°,/.ZCAO=Z.BCO,则tanZCJO=tanZ5CO=1,故设OB=x,则OC=2x,OA=4x,则点工、8的坐标分别为(-4x,0)、(x,0),函数的对称轴为x=—/=—3,1由中点公式得-3=讶(-4x+x),解得x=2,故点4、B、C的坐标分别为(-8,0)、(2,0)、(0,4),

64q—8b+c=0将点4、B、C的坐标代入抛物线表达式得4q+2b+c=0,c=41-43-2--41-43-2--4===QbCr,，l(2)由抛物线的表达式知，顶点。的坐标为(-3,—),4由点4C的坐标知，直线AC的表达式为夕=营+4,1■:点E(m,0),则点名(/W,严+4),①当N4。尸为直角时，过点。作y轴的垂线，交£尸于点N,交过点力与y轴的平行线于点•；/MDA+/NDF=90°,/MDA+/MAD=90°,:・/MAD=/NDF,MDNF -3+8即 MDNF -3+8即 = ,即--AMDNH425T14-7H—4m+3解得m=一诟:2同理可得：m=-q时，尸是锐角三角形:TOC\o"1-5"\h\z1 O(3)由(2)知，点£(w,0),点尸(加，-m+4),则点G(m,4/[ 3 1 1贝lj2s+3/w=2(—彳〃/——zzz+4-3m-4)+3m=-5-zzz2-m,1V-i<0,故2s+3m有最大值，当初=-1时，2s+3加最大值为•1.2.如图，抛物线歹=一52+云+。与X轴交于4,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点。，已知力(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使△PC。是以CQ为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标：如果不存在，请说明理由：(3)点E是线段8c上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点E求△CB/解：(1)-：A(-1,0),C(0,2)在抛物线y=#+bx+c上，则一2一匕+0=°,解1c=2得p11c=2.•.抛物线解析式为尸-#+会+2；(2)存在，理由:丁产一#+|x+2=_4(x-2+鲁，••抛物线对称轴为直线产|,：.D(二,0),且C(0,2),2••8=居)2+22=今・•点P在对称轴上，、 3・'.可设尸(~,/),：.PD=\t\,PC=J(|)2+(t-2)2,,,c 5 _ 353s当尸。=C。时，则有川=解得尸土彳，此时P点坐标为广,-)或(彳，-J)；当尸C=C。时，则有J(|)2+(t-2)2=会解得1=0(与。重合，舍去)或，=4,3此时尸点坐标为（5,4）；综上可知存在满足条件的点尸，其坐标为（：，或（：，-I）或（；4）；ZZ ，4 L(3)当歹=0时，即一#+会+2=0,解得x=-l或x=4,：.A(-1,0),B(4,0),设直线8c解析式为^=筋+$,由题意可得=（T解得];二:交,直线BC解析式为尸-4x+2,,・•点E是线段BC上的一个动点，；・可设£（加，-2m+2）,则尸（m,-2〃尸+26+2），103 1 lc 1 、:.EFu-^n1+对R2-（-2机+2）=-?/+2川=一2（6-2）2+2,：.S^cbf=\x4»EF=2[-1（m-2）2+2]=-（w-2）2+4,V-1<0,.,.当用=2时，S&7"有最大值，最大值为4,此时—2.什2=1*：.E（2,1）,即E为8c的中点，.,.当E运动到8c的中点时，△C5F的面积最大，最大面积为4,此时E点坐标为（2,1）.3.如图，在RtA48C中，N/C8=90°,以斜边上的中线8为直径作。。，与8c交于点M,与48的另一个交点为E,过M作A/N_L/8,垂足为M（1）求证：A/N是。。的切线；（2）若OO的直径为5,sin8=工，求£7）的长.3

•：OC=OM,：・4OCM=4OMC,在RtZ\X8C中，CQ是斜边上的中线,：・CD=%B=BD,:"DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：・OM〃BD,■:MN工BD,：・OM1MN,•・・OM过O,・・・A/N是。。的切线；(2)(2)解：连接OM,CE,•・・CQ是OO的直径,：.ZCED=90°,ZDA/C=90°,

即QA/_L6C,CELAB.由（1）知：BD=CD=5,・•・”为8C的中点，Vsin5=J,4cos^=耳,在RtABMD中，BM=BD・cosB=4,:・BC=2BM=8,在RtZkCEB中，BE=BC・cgsB=*D32 7：.ED=BE-80=苔一5=春.□ □4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点4B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点4,8之间的优弧上，NMPN=80°,求N4C8的度数；（2）如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4P8C为菱形，N/1P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.M-fePBM-fePB NP B N1图1 囱2【解答】解：（1）如图1,连接04OB,MPB N图1'：PA,尸8为。。的切线，:.NPA0=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,M上, B N（备用图）/.ZJP5+ZJOB=180°,VZJP5=80°,.•.408=100°,.,.N/CB=50°；(2)如图2,当N4尸8=60°时，四边形4PBe是菱形,连接。LOB,由(1)可知，N4O8+NZP8=180°,VZAPB=60°,.,.408=120°,/.ZJC5=60°=NAPB,•.•点c运动到尸c距离最大，...PC经过圆心，'：PA,尸8为。。的切线，：.PA=PB,N4PC=NBPC=30°,又＜PC=PC,:.XAPgABPC(SAS),；.NACP=NBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,四边形4PBe是菱形；(3);。。的半径为r,.'.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,前的长度=噌需=?r,loUJ,阴影部分的周长=以+尸。+而=旧什厂+宗=(V3+l+^)r.5.如图，以为。。的切线，PBC为。。的割线，尸于点O,ZVIOC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD.'JOALAP,ADYOP,由射影定理可得：PA1=PD^PO,AD1=PD'OD.…（5分）又由切割线定理可得PA2=PB・PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）NPDB=NPC0=NOBC=NODC,NPBD=4COD,:ZBDsXCOD,PDBD--（155»：.BD-CD=PD*OD=AD1,.BDAD・・布=CD,又/BDA=NBDP+90°=NOOC+90°=ZJDC,：・4BDAsAADC,:・NBAD=NACD,：.AB是△4DC的外接圆的切线，:・/BAE=/ACB.

76.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.yp+t29I4， 2n2 2, 、+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq).."2n-2o2/Q+亡/Q产PXQ-2 , 、^Xq(Xq-Xp)— xp”…BCPC又因=—一，所以，77=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因为尸。〃。0,所以.口PCACnay/3a—2于是=—,即―=