2022年中考数学复习新题速递之四边形（2022年2月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之四边形一、选择题（共10小题）（2021秋•任城区期末）如图，点。是口对角线的交点，防过点O分别交AD,BC于点、E,F.下列结论：①OE=OF；②AE=BF;③NDOC=NOCD：®ZCFE=ZDEF,3个43个4个（2021秋•让胡路区校级期末）下列NA:NB:NC:N£）的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A.1:2:3:4B.1:4:2:3 C.1:2:2:1 D.3:2:3:2（2021秋•泉港区期末）如图，点E、尸分别是nA8C£＞边4）、8C的中点，G、H是对角线比）上的两点，且BG=O〃.则下列结论中不正确的是（ ）A.GF=EH B.四边形EG/77是平行四边形C.EG=FH D.EHLBDTOC\o"1-5"\h\z（2021秋•平阴县期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（ ）A.7 B.6 C.5 D.4（2021秋•虎林市校级期末）垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼.爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷破中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种（2021秋•川汇区期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）A.1.1,2 B.1,1,1 C.1,2,2 D.1,1,6（2021秋•包头期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得NB=6O。，对角线AC=10c7”，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）图1 图2A.10cm B.20cni C.30cm D.10>/2cvn（2021•泗水县二模）已知四边形ABC£）是平行四边形，对角线AC、BD交于点、O,给出下列条件：（1）AB=AD-,（2）AC=BD；（3）ZBOC=90°:（4）ZABC=ABCDx（5）ZADB=ACDB.其中能判定四边形ABC。是菱形的方法有（）TOC\o"1-5"\h\zA.2种 B.3种 C.4种 D.5种（2021•鹤峰县模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=10.E、F为矩形外面的点，BE=DF=4,AF=CE=3,则E/=（ ）A.>/221 B.15 C.20 D.9&一个多边形的内角和与它的一个外角的和为797。，则这个外角的度数为（ ）A.83° B.97° C.103° D.77°二、填空题（共7小题）（2021秋•余姚市期末）如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板破，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第50层中含有正三角形个数（2021秋•兴义市期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有条.（2021秋•南充期末）若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，则这个多边形的内角和是度.（2021春•宜兴市月考）要使nABCZ）是矩形，你添加的条件是—.（写出一种即可）15.（2021春•泰兴市月考）已知矩形的对角线长为10,且两条对角线相交所成的锐角为60。，则该矩形的面积为一.（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB=6,BD=9,M为对角线上一动点（M不与8和。重合），过点M作ME//CD交BC于点E,连接A”，当AAZW为等腰三角形时，ME的长为.（2021•佳木斯模拟）如图，E是平行四边形边上的点，CE,84的延长线交于点、F,添加一个条件,使得的EnADCE（填一个即可）.三、解答题（共8小题）（2021秋•运城期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F, 与AC相交于点O,连接AF,CE.（1）求证：四边形板户是菱形；（2）已知sinNAC尸=《，CF=5,AB=6,请你直接写出sinB的值.（2021秋•苏家屯区期末）如图，以〃边形的"个顶点和它内部的x个点作为顶点，把原“边形分割成若干个互不重叠的小三角形.（1）以三角形的3个顶点和它内部的1个点作为顶点，把原三角形分割成3个互不重叠的小三角形；以三角形的3个顶点和它内部的2个点作为顶点，把原三角形分割成5个互不重叠的小三角形；以三角形的3个顶点和它内部的3个点作为顶点，可把原三角形分割成一个互不重叠的小三角形；以三角形的3个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原三角形分割成一个互不重叠的小三角形（用含x的代数式表示）.（2）以四边形的4个顶点和它内部的I个点作为顶点，可把原四边形分割成4个互不重叠的小三角形；以四边形的4个顶点和它内部的2个点作为顶点，可把原四边形分割成6个互不重叠的小三角形；以四边形的4个顶点和它内部的3个点作为顶点，可把原四边形分割成一个互不重叠的小三角形；以四边形的4个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原四边形分割成一个互不重叠的小三角形（用含x的代数式表示）.（3）以五边形的5个顶点和它内部的4个点作为顶点，可把原五边形分割成一个互不重登的小三角形；以n边形的n个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原n边形分割成一个互不重叠的小三角形（用含〃，x的代数式表示）.（4）以“边形的"个顶点和它内部的x个点作为顶点，且x= 〃均是整数），可把原“边形分割成3034个互不重叠的小三角形.求这个〃边形的边数.

•••7（2021秋•岚皋县期末）一个多边形的外角和是它的内角和的士，求这个多边形的边数9和内角和.（2021春•泰兴市月考）已知：如图，E、F、G、”分别是口ABCD各边的中点，连接CE、AF交于点M,连接AG、C”交于点N.（1）求证：四边形4WCN是平行四边形；（2）若的面积是12,则四边形AWCN的面积为 .（2021春•泰兴市月考）如图，在等腰AABC中，AB=AC,A”平分NR4C,点E是A”上一点，延长A/7至点尸，使FH=EH.求证：四边形即尸C是菱形.F（2021春•江阴市校级月考）如图，在菱形ABCD中，E、F为BC、8边上两点,BE=DF,ZABC=ZAEB=90°.求证：AA£户为等边三角形.（2021•五峰县模拟）如图，点B、C、E、产在同一直线上，BE=CF,AC_LBC于点C,DF工EF于点、F,AC=DF.求证:

(1)AABChADEF；(2)四边形AB即是平行四边形.BBO=2.5cm,求AC的长.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BDBO=2.5cm,求AC的长.2022年中考数学复习新题速递之四边形参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）（2021秋•任城区期末）如图，点。是qABCD对角线的交点，EF过点O分别交A£）,BC于点E,F.下列结论：®OE=OF-,②AE=BF；③NDOC=NOCD；®Z.CFE=ZDEF,其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力【分析】证AAOEMACO尸（ASA）,得OE=OF,AE=CF,NCFE=ZAEF,进而得出结论.【解答】解：•••qABCD的对角线AC,BD交于点O,：.AO=CO,BO=DO,AD!IBC,：.ZEAO^Z.FCO,在AAOE和△CO尸中，ZEAO=ZFCOAO=CO ,ZAOE=Z.COFAAOEsACOF（ASA）,：.OE=OF,AE=CF,NCFE=ZAEF,又•；ADOC="OA,选项①成立，选项②，③，④不一定成立，故选：A.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.（2021秋•让胡路区校级期末）下列NA:N8:NC:N£）的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A.1:2:3:4B,1:4:2:3 C,1:2:2:1 D.3:2:3:2【答案】D【考点】平行四边形的判定【专题】多边形与平行四边形；推理能力【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以N4和NC是对角，NB和是对角，对角的份数应相等.只有选项O符合.【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有。符合条件.故选：D.【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.（2021秋•泉港区期末）如图，点E、尸分别是边4）、8c的中点，G、H是对角线班）上的两点，且= 则下列结论中不正确的是（ ）A.GF=EH B.四边形EG777是平行四边形C.EG=FH D.EH1BD【答案】。【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【专题】多边形与平行四边形；推理能力［分析】证AGBFmAHDE（SAS）,得GF=EH,Z.BGF=NDHE,则NFGH=4EHG,得GF!/EH,再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG=FH,故ABC正确，ZEHG不一定等于90。，故。不正确，即可得出结论.【解答】解：•.•四边形ABCD是平行四边形，..BC//AD,NGBF=AHDE,在AGBF和AHDE中,BF=DE<NGBF=ZHDE,BG=DH：.\GBF=AHDE(SAS),:.GF=EH,ZBGF=ZDHE,：.ZFGH=ZEHG,：.GF//EH,四边形EG"/是平行四边形，:.EG=FH,故ABC正确，.•ZEHG不一定等于90°,:.EHL8D不正确,故选：D.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明AGMmAHDE是解题的关键.(2021秋•平阴县期末)过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为( )A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【考点】多边形的对角线【专题】多边形与平行四边形；几何直观【分析】〃边形中过一个顶点的所有对角线有(〃-3)条，把这个多边形分成(〃-2)个三角形,根据这一点即可解答.【解答】解：这个多边形的边数是4+2=6.故选：B.【点评】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成(〃-2)个三角形，本题属于基础题型.(2021秋•虎林市校级期末)垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼.爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷豉中，只购买一种瓷碗进行平铺，有几种购买方式A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【答案】C【考点】平面镶嵌（密铺）【专题】几何直观；与圆有关的计算【分析】从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360。，并以此为依据进行求解.【解答】解：①正三角形每个内角是60。，能被360。整除，所以能单独镶嵌成一个平面：②正方形每个内角是90。，能被360。整除，所以能单独镶嵌成一个平面；③正五边形每个内角是108。，不能被360。整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；④正六边形每个内角是120。，能被360。整除，所以能单独镶嵌成一个平面；故能单独镶嵌成一个平面的正多边形有：①②④.故选：C.【点评】本题主要考查了平面镶嵌.解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解.（2021秋•川汇区期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）A.1,1,2 B.I,1,1 C.1,2,2 D,1,1,6【答案】C【考点】多边形【专题】三角形：推理能力【分析】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可.【解答】解：A、♦「1+1+2=4=4,此三条线段与长度为4的线段不能组成四边形，故不符合题意；B、•.-1+1+1=3<4,此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故不符合题意：C、•.•1+2+2=5>4,此三条线段与长度为4的线段不能组成四边形，故符合题意；。、vl+l+4=6,此三条线段与长度为4的线段不能组成四边形，故不符合题意；故选：C.【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.

（2021秋•包头期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得NB=6O。，对角线AC=10c7”，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）图1图1 图2A.10cm B.20cni C.30cm D.1Qyflctn【答案】D【考点】勾股定理的应用；菱形的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力：推理能力在图2【分析】连接AC.在图1中，证AABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=在图2中，由勾股定理求出AC即可.【解答】解：如图1,图2中，连接AC.图1图1 图2图1中，•.•四边形ABCD是菱形，/.AB=BC，・・・/8=60。，^ABC是等边三角形，AB=BC=AC=10cm，在图2中，・・•四边形是正方形,：.AB=BC,々=90。，・・.AA8C是等腰直角三角形，；.AC=gAB=1。收ent）；故选：D.【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型.(2021•泗水县二模)已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、交于点O,给出下列条件：(1)AB=ADx(2)AC=BD;(3)NBOC=90。；(4)ZABC=ZBCD;(5)ZADB=ZCDB.其中能判定四边形A8C£)是菱形的方法有()A.2种 B.3种 C.4种 D.5种【答案】B【考点】菱形的判定；菱形的性质；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形：多边形与平行四边形；矩形菱形正方形【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.【解答】解：(1)•.•四边形ABC。是平行四边形，AB^AD,平行四边形A88是菱形；•.•四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,平行四边形ABC。是矩形；•.•ZBOC=90°,ACA.BD,•.•四边形ABCD是平行四边形，••・四边形ABCD是菱形；•.•四边形ABCD是平行四边形，AB//CD,：.ZABC+ZBCD=180P,-.ZABC=ABCD,.•.ZABC=90°,平行四边形ABC£)是矩形；•.•四边形ABCD是平行四边形，：.AD//BC,：.ZADB=ZCBD,:ZADB=Z.CDB,:2CBD=NCDB,BC=DC,二平行四边形钻8是菱形；其中能判定四边形ABCZ）是菱形的方法有3种,故选：B.【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键.9.（2021•鹤峰县模拟）如图，在矩形ABCD中，AQ=5,AB=10,E、F为矩形外面的【答案】A【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】矩形菱形正方形【分析】延长E4交EB的延长线于点M，可证明AEWF是等腰直角三角形，由SSS证明MDF三ACBE,得出N/TW=N£BC,ZDAF=ZBCE,.■ZFDA+DAF=900.证出NM=90°=NA77）,证明AADFsAiRW,得出对应边成比例求出8W、AM,得出ME、叱的长，然后由勾股定理求出所即可.【解答】解：延长E4交£»的延长线于点如图所示：•.•四边形A88是矩形，：.AD=BC=5,AB=DC=\O,ZBAD=90°,•;BE=DF=4,AF=CE=3,：.AF2+DF2=AD2=25,.♦.AADF是直角三角形，ZAFD=90°,同理：ACBE是直角三角形，：.ZFDA+ZDAF=90°,•.■^DAF+^BAM=90°,,-.ZFDA=ZBAM,同理：ZECB=ZMBA,在A4D厂和ACBE中，DF=BE<AD=CB.AF=CE/.AA£>F=ACBE(SSS),：.ZFDA=ZEBC,ZDAF=ZBCE,\ZFDA+DAF=90°,••.N8AM+ZMBA=90。，.-.ZA/=90o=ZA/D,AAD/70°Afi4A7,AFDFADnn3 4 5BM~AM~AB'BM~AM~\0'解得：BM=6,AM=8,：.MF=AF+AM=\\,ME=BE+BM=IO,：.EF=>JME2+MF2=V102+112=^/22T.故选：A.D C八、 ；BM【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，是一道非常不错的中考题目，证明出三角形全等和三角形相似是解题的关键.一个多边形的内角和与它的一个外角的和为797。，则这个外角的度数为（ ）A.83° B.97° C.103° D.77°【答案】。【考点】多边形内角与外角【专题】多边形与平行四边形；运算能力【分析】设这个多边形边数是〃，表示出一个外角的范围，求出不等式的解集确定出正整数

"的值，即为多边形的边数，继而求出这个外角即可.【解答】解：设这个多边形的边数是"，"为正整数,根据题意得：0<797。一（〃-2）、180。<180。，180180180这个外角为797。一(6-2)x180。=77°,故选：D.【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180。的倍数是解题的关键.二、填空题（共7小题）（2021秋•余姚市期末）如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板破，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第50层中含有正三角形个数为694个.【答案】694.【考点】平面镶嵌（密铺）【专题】规律型；推理能力【分析】分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题.【解答】解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形 每一层比上一层多12个，故第50层中含有正三角形个数是6+12x（50-1）=694（个），故答案为：694.【点评】此题考查了平面镶嵌（密铺），规律型：图形的变化等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题.（2021秋•兴义市期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有27条.【答案】27.【考点】多边形的对角线【专题】几何直观；多边形与平行四边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为〃-3计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由“边形的对角线总条数公式为四二@进行解答.2【解答】解：•••过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，多边形的边数为6+3=9,・•.这个多边形是九边形.•••该多边形对角线一共有：9x,-3）=27（条）.2故答案为：27.【点评】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为（〃-3）是解题的关键.（2021秋•南充期末）若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，则这个多边形的内角和是720度.【答案】720.【考点】多边形内角与外角【专题】多边形与平行四边形；运算能力【分析】根据一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，可得多边形的边数，根据多边形的内角和定理，可得答案.【解答】解：由题意得，两个四边形有一条公共边，得多边形是3+3=6,由多边形内角和定理，得（6-2）x180°=720°.故答案为：720.【点评】本题考查了多边形的对角线，利用了多边形内角和定理，注意对角线是四边形和五边形的公共边.（2021春•宜兴市月考）要使口488是矩形，你添加的条件是/&4£）=90°（答案不唯一）.（写出一种即可）

【答案】ZBAD=90°（答案不唯一）.【考点】矩形的判定；平行四边形的性质【专题】矩形菱形正方形：多边形与平行四边形；推理能力【分析】由矩形的判定即可得出结论.【解答】解：要使是矩形，添加的条件是44£>=90。，理由如下：•.•NBAD=90。，四边形ABCD是平行四边形，.•qA8C£>是矩形，故答案为：ZBAD=90P（答案不唯一）.【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键.15.（2021春•泰兴市月考）已知矩形的对角线长为10,且两条对角线相交所成的锐角为60。，则该矩形的面积为_256_.【答案】256.【考点】矩形的性质；多边形内角与外角【专题】推理能力；矩形菱形正方形；等腰三角形与直角三角形【分析】由矩形的性质可得。4=08=5,可证AAOB是等边三角形，可得4?=5,由勾股定理可求8C,即可求解.【解答】解：如图：D•.•四边形ABCZ）是矩形，/.AC=2AO=\0,BD=2BO,AC=BD,:.OA=OB=5,♦.•ZAQB=60°,/^AOB是等边三角形，.-.OA=OB^AB=5,BC=4AC1-AB2=7100-25=5』，.•.矩形的面积=A8x8C=5x56=25名,故答案为25G.【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.16.（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形中，A8=6,BD=9,历为对角线上一动点（M不与8和。重合），过点M作ME//CD交BC于点E,连接40,当AADA7为等腰三角形时，ME的长为W或2.一3【答案】W或2.3【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质【专题】分类讨论；矩形菱形正方形；运算能力【分析】以菱形A8CD的对角线BD所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立直角坐标系，分三种情况，AM=AD,MA=MD,DA=DM,求出点M的坐标，最后利用A字型相似三角形求出ME的长即可.【解答】解：以菱形A8CD的对角线比＞所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立直角坐标系，•.•四边形ABCD是菱形，9 1:.AB=BC=CD=AD=6,AC-LBD,OB=OD=-BD=-,OA=OC=-AC.2 2A(0,—―~~)>£)(—,0)>B(—>0),•.•点M在y轴上，.♦.设Af(肛0),/.AM2=m2 =rrr+号,AD2=62=36,

ME//CD^BMEsgnc分三种情况当AW=A£＞时点M与点3ME//CD^BMEsgnc分三种情况当AW=A£＞时点M与点3重合不符合题意当M4=MD时MD2BM/\BMEs邸DCBMMEME(--/n)2（舍去）M(——BMABME^ABDCMEME综上所述ME的长为故答案为ME(--/n)2（舍去）M(——BMABME^ABDCMEME综上所述ME的长为故答案为根据题目的已知条件并结合图形，建立适当的直角坐标系是解题的关键，同时渗透了分类讨当八4=D”时，如图【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质论的数学思想.17.（2021•佳木斯模拟）如图，E是平行四边形ABC。边上的点，CE,84的延长线交于点F,添加一个条件_AE=£）E^_,使得AAFE三ADCE（填一个即可）.【答案】AE=DE等.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定【专题】多边形与平行四边形：推理能力【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答即可.【解答】解：•.•四边形ABCD是平行四边形，AB//CD,：.ZF=ZDCE,ZFAE=ZEDC,添加AE=OE,利用A4S得出AAFEmADCE；添加AF=Z）C,利用ASA得出AAFEwADCE；添加£尸=瓦7,利用A4S得出AAFE三ADC£；故答案为：=等.【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形对边平行解答.三、解答题（共8小题）18.（2021秋•运城期末）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,EF与4c相交于点O,连接AF,CE.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）已知sinNACF=@,CF=5,AB=6,请你直接写出sin8的值.【答案】（1）证明见解析:⑵-.3【考点】解直角三角形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质【专题】图形的全等；推理能力；矩形菱形正方形：多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用：等腰三角形与直角三角形；运算能力【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得04=OC.EA=EC,再证A4OE三ACOF(ASA),得OE=OF,则四边形AEC户是平行四边形，然后由E4=EC,即可得出结论；(2)过A作/W_LBC于A/,由锐角三角函数定义得O尸=石，则OC=2>5，AC=2OC=4百，再由勾股定理求出EM=3,则AA/=4,即可解决问题.【解答】(1)证明•.•四边形ABCD是平行四边形，.-.ADHBC,.\ZEAO=ZFCO,又♦.•川垂直平分AC,：.OA=OC.EA=EC,在AAOE和ACOF中，ZEAO=ZFCO<OA=OCZAOE=ZCOFAAOE=ACOF(ASA),:.OE=OF,：.四边形AECF是平行四边形，EA=EC・•.平行四边形A£CF是菱形；(2)解：过A作AMJ.8C于M,如图所示：EFA.AC,ZCOF=90°,/石OFvsinZACF=——= ,CF=5»5CF.-.OF=y[5,:.OC=4cF2-OF2="2-(府=275,AC=2OC=445,由(1)得：四边形AEC户是菱形，：.AF=CF=5,-.AM±BC,：.ZAMB=ZAMC=90°,AM2=AF2-FM2=AC2-CM2,即52-FM2=(4百产-(FM+5)2,解得：FM=3,AM=^AF2-FM2=y152-32=4,【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.19.（2021秋•苏家屯区期末）如图，以〃边形的"个顶点和它内部的x个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形.（1）以三角形的3个顶点和它内部的I个点作为顶点，把原三角形分割成3个互不重叠的小三角形；以三角形的3个顶点和它内部的2个点作为顶点，把原三角形分割成5个互不重叠的小三角形；以三角形的3个顶点和它内部的3个点作为顶点，可把原三角形分割成7个互不重叠的小三角形；以三角形的3个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原三角形分割成一个互不重叠的小三角形（用含x的代数式表示）.(2)以四边形的4个顶点和它内部的1个点作为顶点，可把原四边形分割成4个互不重叠的小三角形；以四边形的4个顶点和它内部的2个点作为顶点，可把原四边形分割成6个互不重叠的小三角形；以四边形的4个顶点和它内部的3个点作为顶点，可把原四边形分割成一个互不重叠的小三角形；以四边形的4个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原四边形分割成个互不重叠的小三角形(用含x的代数式表示).(3)以五边形的5个顶点和它内部的4个点作为顶点，可把原五边形分割成个互不重叠的小三角形；以n边形的〃个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形(用含〃，x的代数式表示).(4)以〃边形的〃个顶点和它内部的x个点作为顶点，且x= 〃均是整数)，可把原〃边形分割成3034个互不重叠的小三角形.求这个〃边形的边数.【答案】(1)7,(2x+l)；8,(2x+2)；11,(2x+〃-2)；2024.【考点】多边形的对角线；列代数式；代数式求值【专题】规律型；运算能力【分析】(1)根据图形得到规律可得答案；(2)类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；(3)根据规律，把相应的点数换成〃、x整理即可得解；(4)把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解.【解答】解：(1)三角形内部1个点时，共分割成3个小三角形，3=3+2(17),三角形内部2个点时，共分割成5个小三角形，5=3+2(2-1),三角形内部3个点时，共分割成7个小三角形，7=3+2(3-1),••,所以，三角形内部有X个点时，3+2(x-l)=2x+l,故答案为：7,(2x+l)；(2)四边形内部1个点时，共分割成4个小三角形，4=2+2xl四边形内部2个点时，共分割成6个小三角形，6=2+2x2,四边形内部3个点时，共分割成8个小三角形，8=2+2x3,••,所以，四边形内部有x个点时，分割成的小三角形个数为：2+2x,故答案为：8,(2%+2)；(3)如图,以五边形的5个顶点和它内部的4个点作为顶点，可把原五边形分割成11个互不重叠的小三角形，以n边形的〃个顶点和它内部的x个点作为顶点，可把原”边形分割成(2x+〃-2)个互不重叠的小三角形，故答案为：11，(2x+n-2)；(4)由题意得，2x+〃-2=3034,即1〃+〃-2=3034,2解得“=2024.【点评】本题考查多边形的对角线，能根据图形得到规律是解题关键.(2021秋•岚皋县期末)一个多边形的外角和是它的内角和的2,求这个多边形的边数和内角和.【答案】1620°.【考点】一元一次方程的应用：多边形内角与外角【专题】运算能力；多边形与平行四边形：一次方程(组)及应用【分析】设这个多边形是〃边形，由题意得|、180。(〃-2)=360。，解得可得多边形的边数，再计算内角和即可.【解答】解：设这个多边形是“边形，,2由题意，得§、180。(〃-2)=360。，解得n=11.故这个多边形的内角和是(11-2>180。=1620°,这个多边形是十一边形，其内角和为1620。.【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握“边形的内角和是(〃-2>180。，多边形的外角和是360。是解题的关键.(2021春•泰兴市月考)已知：如图，E、尸、G、”分别是各边的中点，连接CE、AF交于点连接AG、C”交于点N.(1)求证：四边形40CN是平行四边形；(2)若qABCD的面积是12,则四边形AMCN的面积为4.【答案】(1)证明见解析；(2)4.【考点】中点四边形；平行四边形的判定与性质【专题】运算能力；推理能力；多边形与平行四边形；三角形【分析】(1)先证四边形AECG、四边形A/TH是平行四边形，得AG〃EC,AF//HC,即可得出结论；(2)连接AC、BD交于点O,证8、M,N、。在同一条直线上，再证8M=MN=£)N,求出4VWN的面积=2,然后由平行四边形的性质即可得出答案.【解答】(1)证明：•.•四边是平行四边形，：.AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD!IBC,♦.•E、尸、G、〃分别是qABCD各边的中点，：.AE^-AB,CG=-CD,CF=-BC,AH=-AD,2 2 2 2：.AE=CG,AH=CF,：.四边形AECG、四边形AFCH是平行四边形，AGIIEC,AF//HC,四边形AMCN是平行四边形；(2)解：连接AC、BD交于点O,v四边形是平行四边形，OA=OC,OB=OD9•.•E、F、G、〃分别是各边的中点，CE、AF交于点M，AG、CH交于点N,:.M是CE、AFxOB的交点，N是AG、CH>。。的交点，:.B、M>N、。在同一条直线上，由(1)得：AG//EC,,是AABN的中位线，同理：DN=MN,：.BM=MN=DN,•.•dABCD的面积是12,.1AABD的面积=」x12=6,2,AAWV的面积=।x]6=2,3•.•四边形AA/CN是平行四边形，平行四边形AMCN的面积=2AAMV的面积=4,故答案为：4.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.（2021春•泰兴市月考）如图，在等腰AABC中，AB=AC,AH平分NBAC,点E是A"上一点，延长A"至点尸，使FH=EH.求证：四边形E8FC是菱形.【答案】证明过程见解答.【考点】等腰三角形的性质；角平分线的性质；菱形的判定【专题】多边形与平行四边形；推理能力：矩形菱形正方形；等腰三角形与直角三角形【分析】根据等腰三角形的性质求出A/7L3C,BH=CH,根据平行四边形的判定得出四边形E8尸C是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可.【解答】证明：♦.♦AB=AC,47平分N8AC,AHLBC（即EF±BC）,BH=CH,\FH=EH,四边形EB”1是平行四边形，,EF±BC,.••四边形EBFC是菱形.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定和菱形的判定等知识点，能熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形和对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键.（2021春•江阴市校级月考）如图，在菱形ABCO中，E、r为8C、CD边上两点、,BE=DF,ZABC=ZAEB=^O°.求证：A4E厂为等边三角形.BE【答案】见解析.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力【分析】根据菱形的性质得到他=4)，ZB=ZD=80°.AD//BC,求得Nfl4£>=100。，根据全等三角形的性质得到/3=诙，NA£B=NA尸0=80°,根据等边三角形的判定定理即可得到结论.【解答】证明：•.•四边形ABCD是菱形，：.AB=AD,ZB=ZD=80°,AD!IBC，.-.ZBA£)=100o.在MBE与AADF中，AB=AD<NB=ND,BE=DF:.MBE^AADF(SAS),：.AE=AF,ZAEB=ZAFD=WP,.-.^AE^ZDAF=2QP,ZEAF=ABAD-ZBAE-ZDAF=60°,.•.AA£F是等边三角形.【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，证得A/3E=AM方是解题的关键.(2021•五峰县模拟)如图，点5、C、E、产在同一直线上，BE=CF,AC_L8C于点C,DFJLEF于点F,AC=DF.求证：(1)AABC=AD£F；(2)四边形ABa是平行四边形.(2)证明过程见解答.【考点】平行四边形的判定：全等三角形的判定与性质【专题】多边形与平行四边形；推理能力：图形的全等；线段、角、相交线与平行线【分析】(1)根据BC=£F求出3C=EF,根据垂直定义得出= 话=90°,再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可：(2)根据全等三角形的性质得出M=£)E,ZABC=ADEF,根据平行线的判定得出AB//DE,再根据平行四边形的判定定理推出即可.【解答】证明：(1)•.BE=CF,：.BE—CE=CF—CE,即BC=EF,又•.•AC_L8C于点C,DFLEF于点、F,ZACB=ZDFE=90°,在AABC和ADEF中，AC=DF<ZACB=NF,BC=EFAA8C=ADEF(SAS)；(2)由(1)知A48C=△£>£/，：.AB=DE,ZABC=ZDEF,：.AB//DE,四边形ABED是平行四边形.【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的判定，平行四边形的判定等知识点，能熟记有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键.25.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、交于点O,AD=\2cm,AB=l3cm,BO=2.5cm,求AC的长.A12DB C【答案】\l60\cm.【考点】平行四边形的性质；勾股定理的逆定理【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力【分析】直接利用平行四边形的性质得出5。的长，在利用勾股定理逆定理得出AABD是直角三角形，进而利用勾股定理得出AO的长，即可得出AC的长.【解答】解：•.•四边形ABC。是平行四边形，BO=2.5cm,.\BO=DO=2.5cm,BD=5cm，AD=12cm>AB=13cm»v122+52=132,..BD2+AD1=AB2,是直角三角形，在RtAADO中，AD2+DO2=AO2,【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理逆定理、勾股定理等知识，正确得出人钻。是直角三角形是解题关键.考点卡片1.列代数式(1)定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式.(2)列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义.如“除"与''除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.【规律方法】列代数式应该注意的四个问题.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量..要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”简写作“V或者省略不写..在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数..含有字母的除法，一般不用“+”(除号)，而是写成分数的形式..代数式求值(1)代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.(2)代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简..一元一次方程的应用(-)一元一次方程解应用题的类型有：(1)探索规律型问题；(2)数字问题；(3)销售问题(利润=售价-进价，利润率=型9X100%)；(4)工程问题(①工作量=进价人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量)；(5)行程问题(路程=速度义时间)；(6)等值变换问题；(7)和，差，倍，分问题；(8)分配问题；(9)比赛积分问题；(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度).(二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹k解、答.列一元一次方程解应用题的五个步骤.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系..设：设未知数(x),根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么)，也可设间接未知数..列：根据等量关系列出方程..解：解方程，求得未知数的值..答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句..全等三角形的判定(1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3：AS4--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边..全等三角形的判定与性质(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形..角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，在NAO8的平分线上，CDLOA,CELOB：.CD^CE1.线段垂直平分线的性质(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”.(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等..等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论..等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60。，则用判定定理2来证明..勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么J+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式。2+必=号的变形有：a=^c2_b2, 及。=抒定.（4）由于a1+b1=c1>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边..勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足。2+庐=。2,那么这个三角形就是直角三角形.说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是..勾股定理的应用(1)在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.(3)常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边..多边形(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.(2)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.(3)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180°,通常所说的多边形指凸多边形.(5)重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.常见图形的重心(1)线段：中点(2)平行四边形：对角线的交点(3)三角形：三边中线的交点(4)任意多边形..多边形的对角线(1)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.(2)〃边形从一个顶点出发可引出(〃-3)条对角线.从〃个顶点出发引出(〃-3)条,而每条重复一次，所以〃边形对角线的总条数为：”(〃-3)2(〃23,且〃为整数)(3)对多边形对角线条数公：n(n-3)2的理解：〃边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出(n-3)条.共有〃个顶点，应为〃(n-3)条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2.(4)利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数〃的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求〃..多边形内角与外角(1)多边形内角和定理：(〃-2)・180°(〃23且〃为整数)此公式推导的基本方法是从〃边形的一个顶点出发引出(n-3)条对角线，将〃边形分割为(〃-2)个三角形，这(〃-2)个三角形的所有内角之和正好是〃边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法.(2)多边形的外角和等于360°.①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则〃边形取〃个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°.②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-(〃-2)780°=360°..平面镶嵌(密铺)(1)平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接.彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.(2)正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能.(3)单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形.(4)两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形