北华大学物理学院12级量子力学试卷答案2

量子力学期末试题（B）答案一、填空题（共20分，每小题2分）p1．Eh,p

h n k

2．电子衍射实验. 3单值连续和有限．2

4.2

Ur

E

5.厄密。 6．对易。7.对角阵。 8．么正 9.二、证明题（205）

1

E0E0 10.费米子。n mHE0HE0E0mnn m

iEt

r,

re

………（1分）

iEt rt re ………（1 iJ2

r,

r,

r,

r,t

………（2分）i

=2rr r

………（1分）所以J与时间无关

证：对两任意函数Ψ和Φ都有F ………（2分） 若Ψ和Φ相同且是F的本征态FF ，则 ………（1分上式为………（1分） 为实数………（1） 3证：设F在A表象中本征方程为Faa ………（1分）由A表象到B表象的变换 FS1FS ………（1分）bS1a ………（1） 在B表象中FbS1SS1aS1FaS1aS1ab …（2分）所以本征值没变。4x y

1y

y

1

y

z

（3）=1

y z

2 1z y

ˆ2ˆy

y z

0 ………（2）三、简答题（共10分，每小题2分）如果和1 2

是体系的可能状态，那么，它们的线性迭加c1 1

c2 2（cc1,2

是复数）也是体系的一个可能状态。波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的当体系处于xcn n

xFF的本征值之一，测得

的几率是c 2 。n n全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起体系物理状态的改变。S，它在空间任何方向上投影的只能取两个数 值:sZ

；每个电子具有自旋磁矩2

，它和自旋角动量S

S的关系是 e e M S或MS

Sc

在空间任何方向上投影的只能取S两个数值：MSZ（10）

e2解：在阱外（x,xa，u 0。在阱内定态薛定谔方程为：2d2dx212

xa ………（2）令2

,方程变0 ………（2分）通解为AsinxBcosx ………（2分）B0x=0x=aAsina0

na

2

E n222 ………（2）2 a

n 2 nAsin x

xaaxan

x0,xa求归一化常数a n a n a n aA2A2sin0A22,a

xdxA2a 2aA2a

sin0

ydyA2

n 2 2………（2分）10）解：(x)2kx1coskx1cos2kx1coskx]2 2 2Acos2kxcoskx]2A 1(ei2kx

ei2kx)

1(e

eikx)]2 2 2A [ei0A 2

1ei2kx2

1ei2kx2

1e2

1eikx] 122

………（2分）可见，动量pn

的可能值为0 2k 2k k k2k22k222k22k22k2222n2

的可能值为0对应的几率 应为n(A2 A2 A2 A2 A2)24 16 16 16 161111128888( )1111128888上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得1 (A24A2)A2n 4 16 2n∴ A1∴ p的平均值为

………（2分）p pn nn02k

A222kA22kA22kA22016 16 16 16………（3分）Tp22n

p2n2 nn0

2k2

12

k2

12 8 2 85k228

………（3分）（10）

a解： 设波函数为aa

1 ，对应的本征值为230 1 0a

a2 1 121 0 1aa ………（1）22 0 1 0a2 233 a332 12

0 a令

则 1

11 a 02 0 1 23 a3 1 0解久期方程 02解得0,2

1

1 0 ………（1）即,0, ………（2分）（1）当0a1

a,a 03 2212 0，利用归一化条件，有A 由此Lx

12 2对应于0的本征函数是 0 ………（2分）21 2（2）当21

，所以a1

a,a3

2a1

12，利用归一化条件，有B21 1 1 1 由此L对应于的本征函数是 2 ………（2分）x 21（3）当时， 1

，所以a212

a,a3

2a1 12故本征矢为C 2，利用归一化条件，有C21 1 1 1 由此L

对应于的本征函数是 2 分）x 2 1 （10）E0 0 0 0 0 a 1 H

0 E0

H0 0 b 0 2 0 a*

b* 0 0 0 E 3 按无简并微扰公式E

E(0)

H

H 2mn

分） 则n n nn

nk

En

E(0)a2a2EE(0)01 1

E(0)a2a2

E(0)3

EE(0)1 1

E(0)b2b2

E(0)3

（3分）E E(0)2 2

0

b2Eb22

E(0)3

E E(0)2 2

E(0)2

E(0)3

（3分）E E(0)3 3

0

E(0)3

E(0)1

E0Ea2b2a2b2

………（3分）（10）

1 12221112

322103