2023年人教版高考数学总复习情境试题创新练（三）数列

情境试题创新练(三)数列(2021•邯郸模拟)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F=22"+l(n=0,1,2,•••)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出£=641X6700417,不是质数.现设a=logq(£,—1)(〃=1,2,―),S表示数列｛a』的前〃项和.若32s=63a〃，则〃=()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选B.因为制=2?"+1(〃=0,1,2,…),所以a.=log4(A,-1)=log.i(2*+1-1)=log,22"=2"~',所以｛aj是首项为1,公比为2的等比数列，所以S=1?一，')=2-1.1—乙所以32⑵-1)=63X21,解得〃=6.(2021•湛江模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺,重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的质量构成等差数列.”则下列说法正确的是()A.该金锤中间一尺重3.5斤B.中间三尺的质量和是头尾两尺质量和的3倍C.该金锤的质量为15斤D.该金锤相邻两尺的质量之差为1.5斤【解析】选C.设该等差数列为｛4｝,公差为d,a=2,团=4,则4+4d=2,解得d=—g.TOC\o"1-5"\h\z। 1/ 、9-n所以4=4—/(/?—1)=—^―,cc5义(2+4) L所以&=3,W= 2 =15,7 5所以国+及+国=5+3+~=9,4+国=6.3.图一为勾股树，它是由一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到的.图二是第1代勾股树，重复图二的作法，得到图三为第2代勾股树，以此类推，已知最大的正方形面积为1,则第〃代勾股树所有正方形的个数与面积的和分别为（）图一 图图一 图二图三A.2"-1,nC.2n+,-l,n【解析】选D.当〃=1时，正方形有20+2］个，当〃=2时，正方形有2°+2'+22个……则第〃代勾股树的正方形有2°+21+22+-+2fl=2n+,-l个，最大的正方形面积为1,当〃=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2,以此类推，所有正方形面积的和为〃+1.4.九连环是一种广为流传的益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用为表示解下AWN*）个圆环所需的最（2a1彳禺少移动次数，数列｛4｝满足4=1,且a=y太物，则解下5个圆环所需的最少12azi-+2,〃为奇数移动次数为（）A.7B.10C.16D.22【解析】选C.数列｛4｝满足句=1,〃为偶数且“=12a-+2,n为奇数'教师专用所以统=1,4=4,a1=7,55教师专用【加练备选】南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前〃项和为S，210g式6+1）—1,则金⑼的值为11()11()A.4041B.4043C.4039D.4037【解析】选A.因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行的数字之和为1,第二行的数字之和为2,第三行的数字之和为4,所以该等比数列首项为1,公比为2,所以S1-2" „=2f,所以4=210g2（S+1）—l=21og220-1=2/7—1,所以金021=4041.5.（2021•海口模拟）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（ ）A.2022年12月 B.2023年2月C.2023年4月 D.2023年6月【解析】选B.每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则X1=500,化简整理得6+9〃一860=0解得25.17或一34.17（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G基站需要26个月，也就是到2023年2月.6.1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支一一分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们还是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段力月的长度为a,在线段力月上取两个点G0,使得4c=施=^4B,以

切为一边在线段46的上方做一个正三角形，然后去掉线段勿，得到图2中的图形；对图2中的线段比；功作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：ACDBACDB图ACDBACDB图1 图2 图3 图4记第〃个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为S，若存在最大的正整数a,使得对任意的正整数〃，都有SV2021,则a的最大值为.【解析】由题设知CD=l且S=a,图2相对图1：线段长度之和的增量为：，图3相对图2：线段长度之和的增量为石，y图4图4相对图3：线段长度之和的增量为六，…，图〃相对图〃一1：线段长度之和的增量为；・佳）〃2'所以5=隹[1+|+“•+◎”,]=；2一那1<24要使SV2021对任意的正整数〃成立，9021所以2a《2021,即,又因为a为正整数，所以为『1010.答案：10107.国际数学教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.图甲图乙图甲图乙其中已知：6H=44=44=44=44=44=4A=44=i=l,4,4,册…，为直角顶点,设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为｛，｝,｛$｝,则关于这两个数列叙述错误的是（）2｛5｝是等差数列n1=1 +d〃+lln-ln-l=y[n—yin—I（〃>1,刀£N）ln-l=2S+2S+i【解析】选C.由阳=44=44=44=44=44=&47=44=3=1,得四=隹，佻=小，…，故OA“=yl'n,所以/“=附+44h+M+i~y[n+、a+1+1,①0An•AA+iyl'nTOC\o"1-5"\h\z2 =2，2 2n对于A,S