信号与系统课件

1引言1.连续系统的分析

(拉氏变换法)

(付氏变换法)

2.离散系统的分析

(z变换)(离散付氏变换DFT/FFT

)

2本章内容：z变换定义及其收敛区（域）z变换的性质反z变换z变换与拉普拉斯变换的关系离散时间系统的Z变换分析法离散时间系统的频率响应特性3一、z变换定义及其收敛区（域）（一）

z变换的定义

由抽样信号的拉氏变换引出

0t

-Ts0Tst

ℒ令

（复数）

（通常令T＝1）

——F(z)称作

f(k)

的双边z

变换ℤ4对有始序列，当

k<0

时f(k)=0（右边序列）——单边z

变换

直接定义：

F(z)为

z－1

的幂级数

（二）

z变换的收敛区（域）定义：

对于任何有界序列f(k)

，使得

f(k)

的

z

变换存在的

z值范围叫

z变换的收敛域。

若两序列分别为

则据定义5表明：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相同的Z变换。因此，为了单值地确定Z变换所对应的序列，不仅要给出序列的Z变换式，而且必须同时标明它的收敛域。级数收敛的充分条件是满足绝对可和条件，即正项级数收敛的判定法：

令或则当时级数收敛，时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。

61．

有限长序列

z变换的收敛域

（1）当时，的收敛域为（2）当时，的收敛域为（包括）（3）当时，的收敛域为（包括）2．

右边序列

z变换的收敛域

当即时该级数收敛（1）当时，的收敛域为（包括）（2）当时，的收敛域为右边序列的收敛域是半径为R1的圆外区域73．

左边序列

z变换的收敛域

令

则即当即时该级数收敛左边序列的收敛域是半径为R2的圆内区域（1）当时，的收敛域为（2）当时，的收敛域为（包括）讨论：①时，——因果序列收敛域为（包括）8②时，——反因果序列收敛域为（包括）Re(z)Im(z)R2z平面0Im(z)Re(z)R1z平面0因果序列的收敛域反因果序列的收敛域③双边序列

其收敛域是两个级数收敛域的公共区域，即Im(z)Re(z)0R1R2双边序列的收敛域9（三）常用序列的

z变换1、单位函数的zℤ2、阶跃序列(k)

的zTℤ公比为z-1等比级数收敛域z收敛域z≥

03、单边指数序列的zTℤ当

即

时，级数收敛

ℤ10若令

，

则

ℤℤ4、双边指数序列的zTℤ当

时

ℤ若

，则以上

z

变换不存在

11讨论：左边序列z变换的计算令则即令则例求ℤ解：（1）由得：（2）求的z变换：（3）12例:因果序列13例反因果序列圆内为收敛域，若则不包括z=0点包括在内。14有限长序列收敛域为，即除了0的整个平面8个零点7阶极点一阶极点例15例双边序列16小结：1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使收敛。2）仅仅由的表达式不能唯一地确定一个信号，只有连同相应的ROC一道，才能与信号建立一一对应的关系。3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。174）如果，则其ROC是各个的ROC的公共区域。若没有公共区域则表明的Z变换不存在。5）当是有理函数时，其ROC的边界总是由的极点所在的圆周界定的。18二、z

变换的性质（一）

线性特性

若

则

其收敛域为

F1(z)和

F2(z)的公共收敛部分

例

求单边余弦和正弦序列的

z

变换ℤℤℤℤ＝19ℤℤ＝(二)移序特性

1、单边zT，且f(k)为有始序列延迟

超前

证明

：

延迟

ℤ20超前

ℤ若

f(k)

为双边序列（进行单边z变换）

则

——同单边序列

2、双边zT，f(k)为双边序列21证明

：

ℤ（三）

尺度变换特性（序列乘）

若

则

证明

：

ℤ（四）

z域微分（序列乘k）

证明：ℤ22（五）

时域卷积

ℤ证明：ℤ(六)初值定理和终值定理

f(k)

为有始序列，且

初值

：

终值

：

证明：（1）初值定理23（2）终值定理由移序特性，有ℤℤℤ24例1求下列有始序列的

z

变换

解

：

由移序特性

：

（2）周期序列

f(k)

0

k

f1(k)f1(k-N)f1(k-2N)

解

：设，

若25解

：

ℤ解

：

[方法一]先尺度变换，再延迟

ℤ[方法二]先延迟，后尺度变换

26例2求

解

：

27例3求卷积

解

：

28例4利用z变换性质求下列序列f(k)的z变换F(z).（1）（2）解：（1）[方法一]（|z|>1）（|z|>1）[方法二]（|z|>1）因故根据z域尺度变换性质得：（|z|>1）29（2）设，根据移序性质（|z|>1）因故由线性与z域微分性质有：（|z|>1）30三、

反z变换

（一）幂级数展开法

（长除法）

由的定义，将其展开为幂级数，有展开式中项的系数即为。当是有理函数时，可以通过长除法将其展开为幂级数。

由于因果序列的展开式中应包含无数多个z的负幂项，所以要按降幂长除。31例1已知

，求

解

：

——因果序列，按

z-1展开

(按

z

降幂排列)

由于反因果序列的展开式中应包含无数多个z的正幂项，所以要按升幂长除。

双边序列要先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。32例2已知求收敛域为和两种情况下的。解

：

（1）当收敛域为

时，

为因果序列

33（2）当收敛域为时，

为反因果序列(按

z升幂排列)讨论

：

①

收敛域对应序列为因果序列；

收敛域对应序列为反因果序列。

②

同一个

F(z)

的

f(k)

不是唯一的，已知

F(z)和收敛域，f(k)才能唯一确定。

34例

,求

解

：

的收敛域为环形区域，其序列为双边序列

－12Im(z)Re(z)0

对应于因果序列

对应于反因果序列

35

利用已知的幂级数展开式

例已知，，求解

：

36（二）部分分式展开法

求拉氏反变换时将

F(s)

展开成部分分式

基本形式

z

反变换

：

（m≤n

——

因果律）

基本形式

为得到基本形式，常常先把展开成部分分式

1．

含单阶极点

372．

含

r重（阶）极点（）例1已知,,求解：

例2

已知

,,求

38解

：

由于

，所以为因果序列

查表知：39

z平面上假设有一固定的围线C，它包围原点，上式两边乘以，然后沿着围线逆时针转一圈积分，得到：（三）留数法（围线积分法）

40复变函数中的柯西积分公式：得逆变换41由围线积分定理（留数定理）得：（C为在

F(Z)

的收敛域内环绕原点逆时针方向的闭合路径）

若在处有一阶极点，则该极点的留数

若在处有r阶(重)极点，则

42试用留数法进行反Z变换。这里的f(k)为因果序列。解:先求被积函数F(z)zk-1的极点。例：设有Z变换式其极点在z=1和z=－0.543例解是因果序列44454646例47例

,的原时间序列解

：

[方法一]

在收敛域内作闭合路径C则k≥0时在C内有一单阶极点

z=112Im(z)Re(z)0

k<0时在C内多了-k阶极点

z=0，在C外有单阶极点

z=248[方法二]

对应因果序列

对应反因果序列

Im(z)Re(z)20求双边反z变换与求双边反拉氏变换一样：关键在于弄清极点的归属问题！Im(z)Re(z)1049四、Z变换与拉普拉斯变换的关系

（一）

Z变换与拉氏变换的关系

1。抽样信号的拉氏变换与抽样序列的

z变换的关系

2．

与相应的连续函数的拉氏变换的关系

50当时，

若

，且

则

小结：由求法：

由

例

已知，

求的

Z

变换

解

：

51（二）

z平面与

s平面的映射关系

复变量s与z的关系：

(T为取样周期)

由上述关系可看出s平面与z平面的映射关系：

（1）

s

平面的虚轴（）映射到z平面是单位圆（）

s右半平面（）映射到z平面是单位圆外部（）

s左半平面（）映射到z平面是单位圆内部（）

s平面的实轴（）映射到z平面是正实轴（）

s平面的原点（，）映射到z平面是单位圆与正实轴的交点（Z＝1）

52平面

0平面

0●a●a`（2）

由于

即是以为周期的周期函数，

在z平面上每变化，相应于s平面上变化

因此从z平面到s平面的映射是多值的。s平面上沿虚轴移动对应于z平面上沿单位圆周期旋转,s平面上每移动，对应于z平面就旋转一周。

bb`cdeC`d`e`53五、离散时间系统的

Z域分析

连续系统

：

时域

微分方程

复频域

代数方程

（微分性质）

离散系统

：

时域

差分方程

Z

域

代数方程

（移序性质）

（一）系统的零输入响应与零状态响应的求解法

1。

零输入响应

考虑一个二阶系统：

54

零输入时：

取z变换：

由零输入初始值决定

2。

零状态响应

二阶系统：

用ZT求系统零输入响应的步骤：（1）对系统的齐次方程进行ZT；（2）代入初始条件，求出z域内的零输入响应yzi(z)；（3）对yzi(z)进行反ZT即可得到零输入响应yzi(k)。55取z变换：

零状态：

这里：其中仅由引起，与系统的初始状态无关

令令

56于是

那么

讨论：

①

在离散系统中可定义——转移函数转移函数可直接由差分方程写出：

②

转移函数与移序算子的形式相同

③

是一个算符没有相消问题，而是代数量可相消

④

⑤——特征方程确定系统的自然响应

用ZT求yzs(k)的步骤如下：（1）用移序算子将系统的差分方程写成算子形式；（2）写出转移算子H(

S)，以z代替S即得系统的系统函数；（3）以e(k)的ZTE(z)与H(z)相乘，得到yzs(z)；（4）对yzs(z)进行反ZT即得yzs(k)。57（二）系统响应直接z变换求解法

直接对方程取

z

变换（消去有关激励信号初始值

e(0)、e(1)

的诸项）：

是与所加的激励无关的零输入初始值

系统响应总的初始值为：

一般给定的初始值是指

例1已知

，,,求全响应

解

：【方法一】

(1)求

58（2）求

或59(3)全响应

【方法二】

例2

求延迟器的H(z)

Dx(k)y(k)

解：60即

X(z)Y(z)

例3一线性时不变系统，设激励为单位阶跃序列时，已知其零状态响应为

a(k),试求系统的单位函数响应。

解

：

61例4描述某线性移不变离散系统的差分方程为：

y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=e(k)，y(-1)=0,y(-2)=0.5,e(k)=ε(k),求系统的响应y(k)。解：先检验初始条件，令k=-1，代入差分方程得：

y(-1)+3y(-2)+2y(-3)=0，可见y(-1),y(-2),y(-3)与激励无关，故为初始条件再对差分方程（包括初始条件）进行z变换（激励函数边不考虑初始条件）：代入y(-1)=0,y(-2)=0.5，得：∴62（三）

离散时间系统系统函数对系统特性的影响

1.由系统函数的零极点分布确定单位函数响应

n

阶系统：（）

H(z)

为有理函数，则

（zi

—零点，

pj

—极点,an=1）

63若pj为一阶极点p1,p2,…,pn

则

单位函数响应

h(k)

的特性取决于

H(z)

的极点，其幅值由系数

Aj

决定，而

Aj

与

H(z)的零点分布有关。与拉氏变换类似，H(z)的极点决定h(k)

的波形特征，而零点只影响h(k)

的幅度与相位。

2.离散时间系统的稳定性和因果性

离散时间系统稳定的充要条件是单位函数响应h(k)

绝对可和，即

64（M

为有限值）

或

由

z

变换和系统函数定义可知：

当

z=1

（在

z

平面单位圆上）

系统稳定必须满足:

表明：稳定系统的

H(z)

收敛域应包含单位圆在内。

对于因果系统：

z

变换的收敛域为

（包含点）

稳定的因果系统，应同时满足上述两个条件：

即对于稳定的因果系统其全部极点应在单位圆内。

65例某离散系统的差分方程为

（1）求系统函数H(z);

（2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性；（3）求单位函数响应h(k);

（4）当激励为单位阶跃序列时，求此因果系统零状态响应。解：（1）对差分方程两边取z变换，得于是（2）由于该系统为因果系统，故其收敛域为：66又因为H(z)的两个极点分别位于0.4和-0.6,它们都在单位圆内，所以该系统是一个稳定的因果系统。（3）（4）时673.离散时间系统的稳定性判定

令----双线性变换则z平面和平面之间是一种单值映射关系:

z平面的单位圆外映射到平面为虚轴以右的半平面

z平面的单位圆内映射到平面为虚轴以左的半平面

z平面的单位圆映射到平面为虚轴因此，根据特征方程的根是否位于z平面中单位圆内来判定离散时间系统的稳定性问题，可归结为判定域中的方程的根是否位于平面的左半平面由此，对不易直接求出特征根的离散时间系统的稳定性问题可通过上述双线性变换后，再利用罗斯-霍维茨（R-H）准则来判定。68例判定下列特征方程对应的系统是否稳定解：（1）令代入D(z)，并化简得R-H阵列：0.6853.0252.4751.8252.5201.825可见，R-H数列没变号，说明的根都在平面的左半平面，即的根都在单位圆内，故其对应的系统稳定。

（2）令代入D(z)，并化简得此系统不稳定69六、离散时间系统的频率响应

连续系统

转移函数

频率响应特性

离散系统：已知转移函数，频率特性？

（一）系统的频率响应特性与转移函数的关系

零状态响应：

考虑（离散的指数序列）

令

70则

系统对离散指数序列的稳态响应仍是一离散指数序列，是其复数振幅，即为系统的频率响应。

又

h(k)

的

z变换：

比较可见：

幅频特性

：

相频特性

：

例1已知描述某离散系统的差分方程为

(0<a1<1),试求该系统的频响特性。解：系统函数为71频响特性为于是幅频特性为相频特性为|H(ejωT)|-ωsωs2ωs2ωs1-a111+a11Φ(ω)ωs2-ω