七年级数学《二元一次方程组》自主学习资源包（一）公开课教案教学设计

七年级数学《二元一次方程组》自主学习资源包（一）（二元一次方程二元一次方程组解二元一次方程组）杭州市易良斌乡村名师工作室李佳易良斌一、知识建构1.二元一次方程:⑴定义：含两个未知数且未知项的最高次数是—的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含未知数；②未知项的最高次数是—;③分母不含。⑵使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的;2.二元一次方程组：⑴同时满足以下条件的方程组就是二元一次方程组：⑵去令两个未知数；②未知项的最高次数是—；③分母不含o⑵同时使—二元一次—方程都成立的未知数的值叫二元一次方程组的解。无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成的形式。⑶二元一次方程组的解法：基本思路是o①消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程；②消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。二、经典例题例1.下列是二元一次方程的是（）,2A.5x—2=-xB.8x=3yC.xd■-=0D.3x—y=xyy反思:考查二元一次方程的概念，关键是抓住概念中的关键词，满足两个未知数及未知数次数为lo例2.下列四对数值中，是二元一次方程x-2y=l的解的是（）x=0,, （x=l, [x=l, （x=1,A. B.- C.-D.■y2 ly=i ly=o ly=-i反思:方程的解是使方程两边的值相等的未知数的值，所以可以把方程的解代入方程求解其他未知字母.也应注意二元一次方程有无数个解，而方程组往往只

有一个解，它是两个方程的公共解.例3.解下列方程组.⑴广+6,2x4-3y=8.2x+3y=-19,x+5y=1.反思：解二元一次方程组的基本思路是消元，通过代入消元或加减消元达到减少一个未知数的目的.解题过程中注意去分母或方程两边同乘一个数时不要漏乘,减法消元时注意符号的变化.例4.已矢口［例4.已矢口［*=2和］x=-4\y=3Iy=2是关于x、y的二元一次方程2ax-by=2的两个解，求a,b的值.反思：本题考查了二元一次方程的解，先把解代入得出方程组，再求出方程组的解.例5.已知（x-3是方程4x+my=10和mx-ny=ll的公共解，求nT‘+2n的值.ly=-l反思：本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解就是使方程的左右两边相等的未知数的值代入得到关于m、n的方程组是解题的关键.例6.已知关于x,y的方程组卜x+by=10的解是［x=l,求关于x,y的方程组(inx-ny=8(y=2’1 1—a(x+y)+—b(x-y)=10<： : 的解.ym(x+y)-^n(x-y)=8反思：本题考查了二元一次方程组的解，把所求方程整理成关于a、b、m、n的形式，并列出关于x、y的方程组是解题的关键，整体思想的利用是解题的关键.三、基础演练TOC\o"1-5"\h\z.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A.8x2+l=y B.y=8x+l C.y=g D.xy=lx.已知方程3x-2y=5,把它变形为用含x的代数式表示y,正确的是（ ）A.彦-5 b.>3x+5C. D.y2 y2 y2 y2.下列各组数值是二元一次方程x-3y=4的解的是（ ）A./x=1B.卜=2c.卜=TD.卜=4（y=-l 1y=l （y=-2 （y=-l.已知卜=1是方程组卜x+y=-l的解，则a+b=（）\y=2 12x-by=0A.2 B.-2 C.4 D.-4.在3x+4y=9中，如果2y=6,那么x= ..已知卜二2是方程组（x-2y=0的解，则3a-b= .Iy=bI2x+y=5.2元的人民币x张，5元的人民币y张，共120元，这个关系用方程可以表示为..已知方程组产亦5和方程组［2x^:5有相同的解，则m的值是 .Ix+y+irpO |x+jH-idpO

.⑴用代入法解方程组《二；二(2)用加减消元法解方程组：[7x-4k22

[5x+2y=6.已知方程ax+by=8的两个解为［x-T和1x-1,求a+b.ly=0ly=4四、能力提升fy=2xLfy=2xL方程组=的解是()(x=46=8尸W=62x+^= (P.方程组Ix+2y=2 ②的解满足x+y=0,则k的值为( )A.1B.1 C.0D,不能确定升p2r~y.二元一次方程组~T"=一r=x+2的解是.2x+j=3(T).解二元一次方程组：15x+p=9②.

五、综合拓展.已知(x=3是方程4x+my=10和mx-ny=ll的公共解，求m2+2n的值.ly=-l.若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=l,y=kx-9有公共解，求k的值..甲、乙两人同解方程组，Ax+By=2,甲正确解得[x=l,乙因抄错c解得(x=21Cx-3y=-2 [y=-l [y=-6求A、B、C的值.4.小红和小丽对问题“若方程组aix+biy=c4.小红和小丽对问题“若方程组aix+biy=c1 1I的解是32*+1>27=02x=3,求方程组y=-43alx+2b<y=5ci ,, 一,.1 1 1的解”提出各自的想法.小红说：“这个题目好象条件不够，3a2x+2b„y=5c2不能求解”；小丽说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过整体代换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目应该怎样求解呢？.已知方程组卜于5 ①无数多个解；②唯一解；③无解.分别求三种情况[ax+3y=b-l下a、b的值..先阅读，然后解方程组.(4(x-y)-y=5解方程组时，可由①得x-y=l③，然后再将③代入②得4X1-尸5,求得y=-l,从而进一步求得[x=°这种方法被称为“整体代入法”.lv=-l

'2x-y-2=0请用这样的方法解方程组6x-3y+4 .:12—125六、中考链接1（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（y-x=4.51,y-x=4.51,yTx=1x-y=4.5]C.<y?二ix-y=4.5] D.<y-x=4.5

/xg（2019•嘉兴）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）A（4x+6y=38 Rf4y+6x=48c（4x+6y=48 0/4x+6y=4813x+5y=48 （3y+5x=38 \5x+3y=38 ]3x+5y=38（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则( )A.2x+3(72-x)=30B.3x+2(72-x)=30C.2x+3(30-x)=72 D.3x+2(30-x)=72(2019•怀化)一元一次方程x-2=0的解是()A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=l（2019•巴中）已知关于x,y的二元一次方程组步一卜=4的解是产=2，则I3x-^by-4\y--2a+b的值是（）A.1 B.2 C.-1 D.0（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）A.1,11 B.7,53 C.7,61 D.6,50（2019•宁波）小慧去花店购买鲜花,若买5支玫瑰和3支百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3支玫瑰和5支百合,则她所带的钱还缺4元,若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（）A.31元B.30元 C.25元 D.19元（2019•台州）一道来自课本的习题：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min,甲地到乙地全程是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数X,y已经列出一个方程嘿，则另一个方程正确的是（）.xy42 nx y 42 x y 42 x y 42A.—+—=— o.-+~~=— （_1,.—+———— U.—+——=—4360 5 4 60 4 5 60 3 4 60（2019•重庆A卷）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其2的钱给乙.则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱？设甲3的钱数为x,乙的钱数为y,则可建立方程组为（）x+《y=50x+—y=50—y=50—y=50A.«2 B..2 C..2 D..22 ”2 ”2 52 5—x+y=50x+—y=50—y=50x+—y=50133133,常德）二元一次方程组的解为 （2019•岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布,每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布尺.（2019•苏州）若a+2b=8,3a+4b=18.则a+b的值为.（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：”今有黄金九枚，白银一十一枚,称之重适等，交易其一,金轻十三两，问金,银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等,两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的重量忽略不计），问黄金，白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两，每枚白银重y两,根据题意可列方程组为.（x+y=10,（2019•凉山）方程j2x+y=16的解是.{x+y=k—\（2019•眉山）已知关于x、y的方程组jzx+y=5左+4的解满足'+旷=5,则k的值为.l3x-2^=-8（2019.山西））解方程组：2y=0

（2019（2019•金华）解方程组：<3x-4(x-2y)=5,17.2x-3y=518.（2019•潍坊）已知关于x,y的二元一次方程组jJ,的解满足xx-2y=k>y,求k的取值范围.七、素养提升1.已知关于X,y的方程组(ax+by=10的解是|x=l,求关于x,y的方程组(mx-ny=8(y=2ri i-r-a(x+y)+—b(x-y)=l0: 的解.ym(x+y)^-n(x-y)=82.甲、乙两人解方程组［°x+5y<3£）,由于甲看错了①中x的系数，乙看l4x-（）y=2 ②错了②中y的系数，结果分别得到*）祟，崂；x啜，行得.假如两人的计算过程没有错误，求正确的方程组并解之.

3.已知关于x、y的方程组:(即X、y都是整数)，并求出所有的整数解.2x+93.已知关于x、y的方程组:(即X、y都是整数)，并求出所有的整数解.八、资源超市.解方程组［2'—"=5 下列解法不正确的是( )\3x-2y=7A.①X3-②义2,消去x B.①义2-②X3,消去yC.①X(7升②乂？，消去x D.①X2-②X(-3)消去y.解方程组「、+2夕=15,用加减法消去x的方法是 ；用加减法消去y3x+4y=10的方法是_ _.(x+j=l.方程组1立一了=3的解是I3x+y=3.方程组［%-丁=2的解为.2x+y=3(1).解二元一次方程组：15x+y=9②.J2x+j=56解方程组：\x-y=4.

1 2=_2_(11 2=_2_(1)■2 3151 54-x--y=—[2 337.解下列方程组X《一十1=y3 ,2(x+l)-y=68.方程组＜|：：?T=4的解是9.已知 -=X+-V=4,贝ijx=,y=TOC\o"1-5"\h\z3 2(x=2 (ax+by=2.已知\y=-3是方程组&r+ay=3的解，则a2-b2=..已知F=—2是方程组卜+“=1的解，则(a+b)(a-b)的值为( )y=1 [bx+ay=\35 35A.--B.—C.0D.23 3.请写出一个以x、y为未知数的二元一次方程组，要求同时满足下列两个条件:(1)由两个二元一次方程组成；X=2(2)方程组的解为'ly=3..已知(x-1,1x-n都是关于x,y的二元一次方程y=x+b的解，且m-n=£+2bIy=mIy=2-4,求b的值.14.当a取何值时，方程组3x-5y=2a,2x+7y=a-18的解互为相反数？

TOC\o"1-5"\h\zmx+2ny=60, ①15.求当m,n为何值时,15.求当m,n为何值时,2x+y=10, ③mx+y=22—n ④l3x-y=5 ②的解相同.16.已知n是偶数，m是奇数，方程组1一2002的解产p,是整数，那么（）nx+29y=m[y=QA.P、q都是偶数 B.p、q都是奇数C.p是偶数，q是奇数D.p是奇数，q是偶数17.小红和小丽对问题“若方程组3+3』的解是17.小红和小丽对问题“若方程组3+3』的解是a?x+b2y=c2x=3y-**—43a.x+2b\^二5c,1 1 1的解”提出各自的想法.小红说：“这个题目好象条件不够，3a2x+2bxy=5c2不能求解”；小丽说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过整体代换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目应该怎样求解呢？参考答案一、知识建构(1)一、2.两个3.1次字母⑵解 2.一次、字母、二元一次、大括号、代入、加减二、经典例题例1例2例32、14 例4把产2和卜=-4分别卜=4 [y=3 1y=3[y=2(1I代入方程2ax-by=2,得：fa-3b=2,解得：，16.I-8a-2b=2lb~4例5 '=3是方程4x+my=10和mx-ny=ll的公共解，ly=-l..J4X3ttp10①，解①得，m=2,把m=2代入②得，6+n=ll,解得n=5,所以，ma+2n=22+2X5=4+10=14,即m2+2n的值为14.例6方例6方程组变形为x+yx-y-

in*——n*~z-=8・.・关于X,y的方程组，ax+b尸10的解是(x=l[inx-ny=8(y=24=19...所求的方程组中 ，卫=23”整理得，，x+尸2, 解得fx=4, 即所求方程组的解是1x=4[x-y=6 1y=-2 [y=-2三、基础演练1.B2.A3.A4.B5.-16.57.2x+5y=1208.5 9.(1)x=2,y=-l(2)x=2,y=_2四、能力提升(r=-5 |x=2B2.B3.ly=-14.\y=-1五、综合拓展1.142.解方程组［3x^=7得(x=2,(2x+3y=l(y=-l把卜=2代入y=kx-9得-l=2k-9,解得k=4.ly=-lA-2,5 /3a】x+2bly=5ci3.，B=0.54.将方程组,1 1 1两边同时除以5,原方程组化为3a2x+2bxy=5c2f _ ■—■x=3方程组,、x+R-J的解是（x=3, 5 ,解得产a2x+b2y=C2（y=-4 Zv=_4 ly=-10及：产5①[ax+3y=b-l②由①得：x=y+5 ③将③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1,情况1：当卜+3=0 ,即卜=-3时，原方程组转化为：卜力=5,{-5a+b-l=0Ib=-l4 lx-y=5那么，满足x+y=5的x、y的值有无数对，

即：当a=-3,b=-14时，原方程组有无数多个解；情况2：（a+3=°当（a=-3时，原方程组转化为：卜力=5I-Ba+b-lTtOlb#-14 [x-y卉5因为这两个方程互相矛盾，所以方程组无解.即：当a=-3,bW-14时，原方程组无解；情况：当aW-3时，由①得：x=y+5 ③ 将③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1,因为aW3,所以y有唯一解：y=Ya+b-la+3f_b+14即：当aW3,b为任意实数时原方程组有唯一解：_-5a+bT

[尸a+3'2x*y-2=0①6.解：史二警+②，5由①得2x-y=2③，将③代入②得力丝电+2y=12,5解得y=5, 把y=5代入③得x=3.5. 则方程组的解为卜5.I尸5六、中考链接1.B,2.D,3.D,4.A,5.B,6.B,7.A

BA12. 59x=1ly(lOy+x)-(8x+y)=BA12. 59x=1ly(lOy+x)-(8x+y)=13x—6,y=416.原方程组的解为:x=-2y=]17.原方程组的解为4x=3,x=1.解之得：｛ Vx>y,：.~3k+l0>-2k+5：