大学热力学与统计物理课后习题答案第六章

第六章近独立粒子的最概然分布试根据式证明：在体积V到εdε范围内，三维自由粒子的量子态数为Dd

2V

2m31d.222h3（6.2.13）Vppx x

dp, p 到x yp dp,ppy y x

dpx

的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Vdpdpdph3 x y

. （1）Vppdp态数为4πVh3

p2dp. （2）上式可以理解为将空间体积元Vp2dp（V，动量球壳4πp2dp）除以相格大小h3自由粒子的能量动量关系为p2.2m因此p ,pdpmd.将上式代入式，即得在体积V内，在到d三维自由粒子的量子态数为D()d

2πV2m31d. 3）222h3L内，在到d能量范围内，量子态数为1Dd2Lm2d.1h26.2.1空间体积元ddpx的量子态数为

内可能dxdpx.hLppdp范围内（个可能的方向）的量子态数为2L（1）h将能量动量关系代入，即得

p22m1Dd2Lm2d. （2）1h2到d能量范围内，量子态数为Dd

22h2

md.6.2.1空间体积元dxdydpdp内x y的量子态数为1dxdydpdph2 x

. （1）p,p,p,px y为

的关系xp pcos,p psin.xy用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpd.在面积ppdp范围内，动量方向在到d范围内，二维自由粒子可能的状态数为pdpd. （2）h2对d02π，有2d2π.0可得在面积2内，动量大小在p到pp范围内（动量方向任意维自由粒子可能的状态数为pdp. （3）h2将能量动量关系代入，即有

p22mDd

2πL2h2

md. （4）在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp.试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数.（6.2.16）Vppdp内三维自由粒子可能的状态数为Vh3

p2dp. （1）将极端相对论粒子的能量动量关系cpV内，在到d子的量子态数为Dd4πVch3

2d. （2）设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N概然分布分别为al和

ellael,其中l

l和是两种粒子的能级，l

l和是能级的简并度.l l解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和NE，体积为V时，两种粒子的分布和a 必须满足条件aNll

l aN,ll

（1）aaE才有可能实现.

l l l ll l在粒子可以分辨且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的形下，两种粒子分别处在分布和aΩ N!all

l lla,l! ll

（2）Ω

N! a.a! lll l系统的微观状态数Ω

lΩ0Ω（3）（1的条件下使Ω0或InΩ0可得InΩ0lnΩΩNlnNalnaalnNlnNalnaaln,l l l l l l l ll l l lllll为求使lnΩ0为极大的分布，令a和a各有a和a变化，lnΩ0将llll因而有δlnΩ0的变.使lnΩ0为极大的分布和a 必使l lδlnΩ00,即

a

a δlnΩ0

ln lδa

ln l δa

0. l

ll l l

l但这些δal

和δa不完全是独立的，它们必须满足条件lδNδal

0,lδNδa0,llδEδaδa0.ll l l ll l用拉氏乘子,和分别乘这三个式子并从δln中减去，得δlnΩ0δNδNδEllnal

δa

a

δall l0.

l

l l

l l根据拉氏乘子法原理，每个δal

和δa的系数都等于零，所以得lallnll

l

0,aln ll即

0,laell l

（4）ael.l l拉氏乘子,和由条件从玻耳兹曼分布.两个分布的和可以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数NNE具有确定值，.同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解:当系统含有N色子，N个费米子，总能量为E，体积为V时，粒子的分布和a 必须满足条件l l al

N,laNllaaE （1）ll l l ll l才有可能实. 玻色子处在分布，费米子处在分布a 时，其微观状态数分l别为a

l1!Ω ll ,a! 1!l l lΩl

.la!a!l系统的微观状态数Ω0为

l l lΩ0Ω（3）1条件下使Ω0或lnΩ0极大的分布.将式（2）和式取对数，利用斯特令公式可得lnΩ0l

alnl

aal

lnal

lnl

l

ln

ln

aln

a.l l l l l l l ll令各a

和a有

和δa，lnΩ0将因而有δlnΩ0的变化，使用权lllllnΩ0为极大的分布和a 必使lllll lδlnΩ00,即ln

a

aδlnΩ0l

l l δa a ll l

l l δaa ll0.但这此致δa和δa不完全是独立的，它们必须满足条件l l δNδal

0,lδNδa0,llδEδaδa0.ll l l ll l用拉氏乘子,和分别乘这三个式子并从δlnΩ0中减去，得δln0NNE

a

a ln

l δaln l l δall l ll 0.

l l a l

l l根据拉氏乘子法原理，每个δal

和δa的系数都等于零，所以得l