大学线性代数2矩阵代数知识点总结

2矩阵代数A，BABA的各列的线性组合，以B同样，ABBA例如，ABmBmAABnAnB矩阵乘法恒等式：ImAAAIn逆矩阵的概念仅对方阵有意义。ARn中的b，Ax=bx=A-1b初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。mxnAA的结果。设对单位矩阵Im进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。因此，每个初等矩阵均可逆。nAIn时，AA变为InInA-1。求A-1：将增广矩阵[A I]进行行化简，若A可逆，则[A I]~[I 将[A I]行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1,Ax=e2,...Ax=en这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩[A e1e2...en]=[A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=ej，而不需要求出整个A-1。[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：AAnAnAx=0Ax|->AxRnb，Ax=b（有且仅有唯一解？）ARnx|->AxRnRnnxnBAB=BA=IAT可逆ARn的一个基ColA=Rndim(Col(A))=nrank(A)=nNul(A)=0dim(Nul(A))=0det(A)≠0 <=> AA0AAA再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。对于mxn（m≠n）则未必分块矩阵乘法两个矩阵A、B相乘，要求A的列数等于B的行数，因此若要使分块后的矩阵能够应用乘法，分块时A的列分法必须与B的行分法一致，而A的行分法与B的列分法可以任意。例如A有5列B有5行，A分块为3列/2列，那么B就要分为3行/2行。AB到：AB=[col1(A) col2(A)...coln(A)][row1(B) row2(B)...rown(B)]T=sigma(colk(A)rowk(B)) (1≤k≤n)每个colk(A)rowk(B)本身也是一个mxp矩阵（假设A为mxn矩阵，B为nxp矩阵）。单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵。LU如果A可化为阶梯形U，且化简过程中仅使用行倍加变换（将一行倍数加到它下面的另一行），那么由于每次初等变换均等价于相应初等矩阵与A相乘，所以A到U的变换过程可表示为：Ep...E1A=U于是A可表示为A=LU，其中L=(Ep...E1)-1，即L=E1-1...Ep-1由于单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵，所以L为单位下三角矩阵。量，以上运算结果仍在该集合中。子空间：非空，对加法和标量乘法封闭（非空且封闭则必包含零向量）。v1v2vpVSpan(v1v2vpVAmxnAx=0x集合是A的零空间，是Rn的子空间，空间中的任意向量vAmxn，A的列的所有线性组合是A的列空间，是Rm的子空间，空间中的任意向量vAx=v子空间的维与向量的维：向量中元素数量是向量的维；子空间的基的向量的数量是子空间的维。A=rank(A)Anrank(Adim(Nul(A)n矩阵的主元列构成列空间的基若A，B均为nxn矩阵，则detAB=(detA)(detB) [注：一般来说det(A+B)≠detA+detB]AnxndetAA2x2矩阵，那么由A|detA|若A是一个3x3矩阵，那么由A的列确定的平行六面体的体积为|detA|（若A为2x2矩阵，两列为v1，v2，那么平行四边形的四个顶点为0，v1，v2，v1+v2）（若A为3x3矩阵，三列为v1，v2，v3，那么平行六面体的八个顶