突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题03复数问题(含详解)

【高考真题】专题03复数问题(2022•全国乙理)已知z=l-2i,且z+aT+6=0,其中a,b为实数，贝4( )A.a=1,b=—2B.a=-1,h=2C.a=1,h(2022•全国乙文)设(l+2i)a+6=2i,其中a,人为实数，则(A.a=l,b=-1B.a=l,b=lC.a=-1>b(2022•全国甲理)若z=-l+，5i,则Y—=( )zT—1A.-1+小i B.—1—C.—1+^i(2022•全国甲文)若z=l+i.则|iz+3T|=( )A.4小 B.4^2 C.2小(2022•新高考I)若i(l-z)=l,则z+T=( )A.-2 B.-1 C.1(2022・新高考][)(2+2i)(l—2i)=( )A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i(2022・北京)若复数z满足iz=3—4i=,则|z|=( )A.1 B.5 C.7(2022•浙江)已知a,bWR,a+3i=S+i)i(i为虚数单位)，则(A.a=l,b=-3 B.a——1,b=3C.a=—1,b=—3D.a=l,b=3【知识总结】.复数的相关概念及运算法则(1)复数z=a+6i(a,bGR)的分类①z是实数=/?=0；②z是虚数③z是纯虚数=a=0且6W0.(2)共辗复数复数z=a+历(a,beR)的共辗复数三=a一历.(3)复数的模复数z=a+历(a,bCR)的模|z|=W^TP.(4)复数相等的充要条件a+6i=c+Ji=a=c且％=d(a,b,c,t/ER).特别地，a+bi=0Qa=0且b=0(a,beR).(5)复数的运算法则加减法：(a+Z?i)±(c+</i)=(a±c)+(b±d)v.D.2yf2D.2D.6-2iD.25乘法：(a+bi)(c+di)=(ac—W)+(ad+bc)i；„A., , ,ac+bd,be-ad除法：3+bi)+(c+M)=:+V2+M+dzKc+'W。)-(其中a,b,c,t/GR)2.复数的几个常见结论(l)(l±i)2=±2i.1+i 1-i⑵0=LT+i=-i(3)i4,,=l,i4rt+,=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4«+i4«+i+i4n+2+i4„+3=0(neZ).【同类问题】题型一复数的概念TOC\o"1-5"\h\z（2021•浙江）已知aGR,（l+ai）i=3+i（i为虚数单位），则a等于（ ）A.-1 B.1 C.-3 D.3（2020・全国IH）若1（l+i）=l-i,则z等于（ ）A.1-i B.1+i C.—i D.i若复数z满足日手=l-i,则复数三的虚部为（）A.i B.-i C.1 D.-1（2020•全国I）若z=1+i,则Iz2—2z|等于（ ）A.0 B.1 C.y[2 D.2.已知号=l-yi,其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共规复数为（ ）A.2+i B.2-i C.l+2i D.1一2i.（2021•上海汜知z=l-3i,贝”z-i尸..如果复数三&SCR）的实部与虚部相等，那么6=（）A.-2 B.1 C.2 D.4.若复数znS—D+a—Di为纯虚数，则实数x的值为..（多选）若复数2=亩，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为一1B.|z|=<2C.z2为纯虚数 D.z的共筑复数为一l-i.（多选）（2022・武汉模拟）下列说法正确的是（）A.若|z|=2,则z-z=4B.若复数zi，Z2满足|Z1+Z2|=|ZLZ2|，则Z|Z2=0C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚部相等D.“aWl”是“复数z=（a-l）+（a2-l）i（aeR）是虚数”的必要不充分条件

题型二复数的四则运算11.（2021•新高考全国I）已知z=2—i,则z（'+i）等于（ ）3-23-2A.6-2i B.4-2i C.6+2iD.4+2i12.（2021•北京）在复平面内，复数z满足（1-i）-z=2,则z=（）A.1 B.i C.1-iD.1+i13.（2020•新高考全国I^等于（ ）A.1 B.-1 C.i14.(2021・全国乙)设iz=4+3i,则z等于( )D.-iA.-3-4i B.-3+4i C.3-4i15.(2021•全国乙)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( )D.3+4iA.l-2i B.l+2i C.1+i16.(2021•全国甲)已知(Li)2?=3+2i,贝1]z=( )D.1-iTOC\o"1-5"\h\z.（多选）（2022•湛江一模）若复数z=小一i,贝IJ（ ）A.|z|=2 B.|z|=4C.z的共辄复数z=45+iD./=4一2小i〃+i,.若z=（a-g）+ai为纯虚数，其中aCR,则.Y 1十7.已知复数z=a+6i（a,6GR,i为虚数单位），且^?=3+2i,则a=tb—..（多选）设zi，Z2，Z3为复数，Z1W0.下列命题中正确的是（ ）A.若忆2|=忆3|,则Z2=±Z3 B.若Z1Z2=Z1Z3，则Z2=Z3C.若Z2=Z3，则|Z[Z2|=|Z]Z3| D.若Z|Z2=|Z1F，则Z1=Z2题型三复数的几何意义.（2021・新高考全国II）复数/募在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限.已知i是虚数单位，则复数2=12。23+论―1）在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.若复数z=（2+ai）（a-i）在复平面内对应的点在第三象限，其中aGR,i为虚数单位，则实数。的取值范围为（）A.（―72.啦）B.（~y[2,0）C.（0,啦） D.[0,啦）24.如图，若向量应对应的复数为z,则z+2表示的复数为（）.（2020•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则i-z等于（ ）A.l+2i B.-2+i C.l~2i D.-2一i.在复平面内，复数2=言沔为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A.（3,4） B.（-4,3） C.《，D.（一,，-1）.（2019•全国I）设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为（x,y）,则（）A.（x+l）2+V=lB.（工一1）2+产=1C.*+（y-l）2=lD./+（y+l）2=l.（2020•全国H）设复数z”Z2满足出|=彷|=2,zi+z2=^^+i,则|zlzl=..已知复数z满足|zT—i|WL则|z|的最小值为（）A.1 B.^2-1 C.巾 D.6+1.（多选）欧拉公式eH=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）n.A.复数e"对应的点位于第二象限 B.为纯虚数eri 1 -i 1aHC.复数痘：的模长等于D.e6的共枕复数为下学专题03复数问题【高考真题】.(2022•全国乙理)已知z=l-2i,且z+aT+b=0,其中小b为实数,贝欧 )A.a=\,h=-2B.〃=—1,h=2C.a=l,b=2D.a=-1,人=—2.答案A解析~z=1+2i,z+a~z+b=1—2i+«(l+2i)+6=(l+«+b)+(2a-2i)i,由z+a"F+b=0,得a=1,b——2,故选A..(2022•全国乙文)设(l+2i)a+b=2i,其中a,b为实数，则()A.a:=1*h~~1B. 11 1C.d~~19h~~1D.ci^19b~~1答案A解析因为a,〃为实数，(a+〃)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=0,解得，。=1,h=-\.故选A.TOC\o"1-5"\h\z(2022•全国甲理)若z=-l+小i,则Y-=( )z~z-lA.-1+巾i B.-1—y[iiC.—D.—g-3.答案C解析T=-l->/3i,zT=(-1+^i)(-1-^3i)=4,心—=|=-1+^.故选C.(2022•全国甲文)若z=l+i.则|iz+3T|=( )A.44 B.4啦 C.24 D.2啦4.答案D解析因为z=l+i.所以iz+3T=i(l+i)+3(l—i)=2-2i,所以|iz+3可=2近.故选D.(2022•新高考I)若i(l-z)=l,则z+T=( )A.-2 B.-1 C.1 D.2.答案D解析由题设有1—z=；=-i,所以z=l+i,故z+T=2,故选D..(2022•新高考H)(2+2i)(l—2i)=( )A.—2+4i B.-2—4i C.6+2i D.6—2i6.答案D解析(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,故选D..(2022•北京)若复数z满足iz=3—数=,则|z|=( )A.1 B.5 C.7 D.257.答案B解析由题意3-4i 有—=l+i,故|z|=q(-4)2+(—3)2=5.故选B..(2022•浙江)已知a, a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()A.。=1,A.。=1,b=-3〃=—1,b=3a=-1,b=—3〃=1,h=38.答案B解析a+3i=-l+Z>i,而a,b为实数,故。=-1,b=3,故选B.【知识总结】.复数的相关概念及运算法则(1)复数z=a+6i(a,匕GR)的分类①z是实数=6=0；②z是虚数=6W0；③z是纯虚数Qa=0且b#0.(2)共规复数复数z=a+历(a,6GR)的共辗复数z=a-bi.(3)复数的模复数z=a+历(a,Z»eR)的模团==/+从.(4)复数相等的充要条件a+bi=c+i/ioa=c且6=d(a,b,c,JGR).特别地，a+6i=0oa=0且占=0(a,bGR).(5)复数的运算法则加减法：(a+bi)±(c+M)=(a±c)+S±J)i；乘法：(a+6i)(c+M)=(ac—6J)+(ad+bc)i：.. ,,. ,„ac+bd,bc~ad.,~,除法：(a+bi)+(c+Ji)=+,+i(c+历W0).(其中a,b,c,t/eR).复数的几个常见结论(l)(l±i)2=±2i.（3）i4n=l,i4n+l=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4"+i+i4"+2+i而+3=。（〃丘2）.【同类问题】题型一复数的概念TOC\o"1-5"\h\z（2021•浙江）已知aCR,（l+ai）i=3+i（i为虚数单位），则a等于（ ）A.—1 B.1 C.—3 D.31.答案C解析方法一因为（1+ai）i=-a+i=3+i,所以一a=3,解得a=-3.3Ii方法二因为（1+ai）i=3+i,所以l+ai=1•—=1—3i,所以a=-3.2.（2020•全国HI）若T（l+i）=l—i,则z等于（ ）- 1—j1—j2A.1-i B.1+i C.-i D.i2.答案D解析因为z=h=i工.1十i1十il-1=-i,所以z=i.3.若复数z满足l—则复数T的虚部为（）

A.iB.C.1D.A.iB.C.1D.—1z(1+i)i，3.答案C解析 = ；.z(l+i)(—i)=(2-i)(l-i),；.z(l-i)=(2—i)(l-i),；.z=2—i,***z=2+i, z的虚部为1..(2020•全国I)若z=l+i,则Iz2—2z|等于( )A.0 B.1 C.a/2 D.24.答案D解析方法一z2-2z=(l+i)2-2(l+i)=-2,|z2-2z|=|-2|=2.方法二|?-2z|=|(l+i)2-2(1+i)|=|(l4-i)(-14-i)|=|l+i|-|-l+i|=2..已知-yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共规复数为()A.2+i B.2-i C.l+2i D.l-2i.答案B解析由:^"7=1—yi,得1d_r=l—yi,即5—yi=l—yi,工《 解得x1~T1 " 1"T11—1 22 |X[尹，=2,y=l,・・・x+yi=2+i,J其共舸复数为2—i..(2021•上海)己知z=l—3i,则|z—i|=..答案小解析Vz=1—3i, z=1+3i, ~z—i=l+3i—i=l+2i, |z—i|=yjl2+22=t\[5.c1f•.如果复数一^SWR)的实部与虚部相等，那么b=( )A.-2 B.1 C.2 D.42+fti(2+bi)(—i).答案A解析一丁= r——7 =b—2i,所以实部为儿虚部为一2,故人的值为一2,故选1 1(-1)A..若复数z=(f—i)+a—i)i为纯虚数，则实数x的值为.(X2—1=0,.答案一1解析Tz为纯虚数，・•・一Ax=-1.[x—lHO,2TOC\o"1-5"\h\z(多选)若复数z=高，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )A.z的虚部为一1B.|z|=V2C.z2为纯虚数 D.z的共规复数为一l—i2 2(1—i) 2—2i9.答案ABC解析z=j1-=/।1'\7~i —9—1—i«对于A,z的虚部为一1,正确；对于1~ri(1十1)(1—1) 2B,模长团=啦，正确；对于C,因为z2=(l—i)2=—2i,故z?为纯虚数，正确；对于D,z的共舸复数为1+i,错误.10.(多选)(2022・武汉模拟)下列说法正确的是()A.若|z|=2,则Z・Z=4B.若复数Zi,Z2满足忆]+z2|=|zi—Z2|,则Z]Z2=0

C.若复数z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚部相等D.“aWl”是“复数z=（aT）+（a2-l）i（aGR）是虚数”的必要不充分条件答案AD解析若|z|=2,则z,z=02=4,故A正确；设zi=ai+bii@,b/ER）,22=02+621（02,岳WR）,由|zi+z2|=|zi—Z2|,可得|zl+z2『=（ai+"2）2+3l+62）2=|zl—Z2|2=（0—。2）2+（6一岳）2则+6|岳=0,而2122=（。|+64）（。2+岳。=。1。2—61岳+ai%2i+bia2i=2aia2+aib2i+6ia2i不一定为0,故B错误；当z=l—i时，/=一方为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数2=3—1）+（苏一l）i（aGR）是虚数，则/一1加，即 所以“在1”是“复数z=（a-l）+（a2-I）i（aWR）是虚数”的必要不充分条件，故D正确.题型二复数的四则运算TOC\o"1-5"\h\z（2021•新高考全国I）已知z=2-i,则z（W+i）等于（ ）A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i11.答案C解析因为z=2—i,所以z(，+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.(2021•北京)在复平面内，复数z满足(1-i)・z=2,则z=( )A.1 B.i C.1-i D.1+i12.答案D解析由题意可得z="j /.1.x=1+i.1—1 (1—1) (1十I)(2020・新高考全国I后寺等于( )A.1 B.—1 C.i D.-i13.14.答案D13.14.答案D解析2~i (2-i)(l~2i)~5i1+2i=(l+2i)(l-2。=丁=一（2021•全国乙）设iz=4+3i,则z等于（ ）D.3+4iA.-3-4i B.-3+4i C.3-4iD.3+4i答案C解析方法一（转化为复数除法运算）因为iz=4+3i,所以z=1="罟二。=-4i-3i2-=3-4i-r方法二（利用复数的代数形式）设z=〃+bi（mb£R）,则由iz=4+3i,可得i（〃+加）=4+3i,即一b—5=4, a=39+ai=4+3i,所以《 即《 所以z=3—4i.[a=3, 匕=一4,方法三(巧用同乘技巧)因为iz=4+3i,所以iz・i=(4+3i>i,所以一z=4i—3,所以z=3—4i.(2021•全国乙)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( )A.l-2i B.l+2i C.1+i D.|-i15.答案C解析设z=a+bi(〃，R),则z=〃一bi,代入2(z+z)+3(z—z)=4+6i,可得4〃+6bi=4+6i,所以a=l,b=l9故z=l+i.

TOC\o"1-5"\h\z（2021•全国甲）已知（l-i）2z=3+2i,则z=（ ）A.3 3C.1]+i D・—Z—i2c5y 3+2i 3+2i3i-2 ।3..答案B解析z=7"j.、.=不~=-5=-1+于・（1—1） —21 2 2.（多选）（2022•湛江一模）若复数z=5一i,则（）3-2A.|z|=2B.|z|=4C.z的共较复数z=/+i D./=4—3-2.答案AC解析依题意得团=。（小）2+（—I）2=2,故A正确，B错误；z=g+i,C正确;z2=（V3-i）2=3-2V3i+i2=2-2V3i,D错误.18.答案一i解析•・・z为纯虚数,fa—yj2=091。和，18.答案一i解析•・・z为纯虚数,fa—yj2=091。和，厂 a+i16—i也一il一的AT+^i=l+V2i=l+V2il-V2i-3i亍.己知复数z=a+Z?i（a,b£R,i为虚数单位），且"Jr=3+2i,则a= ,b= 1—1_ z]+j 〃+b.答案51解析由z=a+hi（a9i为虚数单位），则z=a—bi,所以（。一洌）=下"-a—b.a—b.a+b—i=3+2i,故-y-=3d-b~-=2,所以4=5,b=1..（多选）设ZI,Z2,Z3为复数，Z|W0.下列命题中正确的是（A.若阂A.若阂=阂，则Z2=±Z3B.若Z|Z2=Z1Z3>则Z2=Z3C.若C.若Z2=Z3，则®Z2|=|Z[Z3|D.若Z[Z2=|Zi|2,则Z1=Z220.答案BC解析由川=|1],知A错误；Z]Z2=Z]Z3，则Z|（Z2—Z3）=0,又Z]H0,所以Z2=Z3，故B正确;|ZlZ2|=|Z|||22b|Z|Z3|=kllN»又z2=Z3,所以㈤4Z2|=冈,故C正确，令Z：=i,Z2=f满足Z|Z2=kl|2,不满足Z|=Z2,故D错误.题型三复数的几何意义.（2021・新高考全国II）复数/胃在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限.答案A解析 -%+3J=*一手,所以该复数在复平面内对应的点为C，7）,该点在第一象限..已知i是虚数单位，则复数z=i2023+i（i-i）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22.答案C解析因为z=i2023+i(i—1)=-i—1—i=-1—2i,所以复数Z在复平面内对应的点是(一1,-2),位于第三象限.23.若复数z=(2+ai)(a-i)在复平面内对应的点在第三象限，其中aGR,i为虚数单位，则实数a的取值范围为()A.(一巾,A.(一巾,柩B.(-巾,0)C.(0,y[2)D.[0,媚)23.答案B解析z=(2+ai)(a23.答案B解析z=(2+ai)(a—i)=3a+(/—2)i在复平面内对应的点在第三象限，/.一"\[2<a<0.24.一 4如图，若向量OZ对应的复数为z,则z+：表示的复数为(3a<0,Ic八解得a2—2<0,24.A.l+3iB.-3-iC.3-i24.A.l+3iB.-3-iC.3-iD.3+i答案D解析由题图可得Z(l,-1),即z=l—i,, 4 4所以z+[=l-i+041+i=,-1+1-il+i25.4+4i=25.4+4i=1—i+-2-=1—i+2+2i=3+i.(2020•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i-z等于(A.1+2i-A.1+2i-2+i1—2iD.25.答案B解析由题意知，z=l+2i,.'.i,z=i(l+2i)=-2+i.25.26.在复平面内，复数z=e，(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为(26.26.A.(3,4)B.(-4,3)答案D解析因为z=5iC.5i(3+4i)26.A.(3,4)B.(-4,3)答案D解析因为z=5iC.5i(3+4i)3'3i-43-4i-(3-4i)(3+4i)-5D.*+|i,所以z=—|i,所以复数z所对应的点的坐标为(一,，27.(2019.全国I)设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),贝女 )27.A.(%+1)2+^=1A.(%+1)2+^=1B.(x-l)2+V=lC.f+(y-1A=1D.『+(y+l)2=l27.答案C解析Yz在复平面内对应的点为(x,y),：.z=x+yi(x,yGR).V|z-i|=l,.-.k+(y-l)i|=1, 1)2=1.28.(2020•全国