（精心整理）相交线与平行线复习和练习题

相交线与平行线复习及练习题知识点梳理一、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。命题：判断一件事情的语句叫命题。平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。三、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。三、经典例题题型一互余与互补例1一个角的余角比它的补角的少20°.则这个角为（）A.30°B.40°C.60°D.75°分析若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.解设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.则根据题意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故应选B.说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.题型二平行线的性质与判定例2判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()3)两直线平行，同旁内角相等。()4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。()答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。例3已知：如图1，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A.135°B.130°C.50°D.40°分析要求∠2的度数，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.解因为l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B.说明本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例4如图2，已知直线l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.分析如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.解因为l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.说明本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.图2图1F图2图1F图3E 图3例5如图3，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（）A.60° B.50°C.40°D.30°分析要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF∥AB，由有∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解如图3，过∠2的顶点作EF∥AB.所以∠1＝∠AEF，又因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠3＝∠CEF，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A.说明本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例6如图4，AB∥CD

，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝72°，则∠EGF等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°分析要求∠EGF的大小，由于AB∥CD

，则有∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，而EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以可以求得∠EGF＝54°.解因为AB∥CD

，所以∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，又因为EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以∠BEG＝∠FEG＝54°.故应选B.图4B图4BDGFCAE课堂作业：如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.例7已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。∵∠BED=∠FED-∠FEB，∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∴∠1+∠2+∠D=180°。∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。即∠BED=∠B-∠D。例8已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。证法一：过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。又∵EH∥CD（已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠BFE=∠FEC。证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代换）。∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。证法三：（如图12）连结BC。∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE（等式的性质）。即∠FBC=∠BCE。∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。题型三尺规作图例9已知角α和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.图5c图5cαA图6cαcBCP分析要作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，可以先作出底角∠B＝α，再在底角的一边截取BA＝c，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.作法（1）作射线BP，再作∠PBQ＝∠α；（2）在射线BQ上截取BA＝c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC.则△ABC为所求.如图6.AOBB′O′图7A′D′C′DC例10AOBB′O′图7A′D′C′DC分析只要再过点O′作一条射线O′A′，使得∠A′O′B′＝∠AOB即可.作法（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D；（2）以O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′B′于点D′；（3）以D′为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C′；（4）过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.说明在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.课后作业:选择题1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到L的距离一定是1;C．相等的角是对顶角;D．钝角的补角一定是锐角.2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对(1)(2)(3)3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A．40°B．140°C．40°或140°D．不确定4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）A．a∥b，b∥c;B．a⊥b，b⊥c;C．a⊥c，b∥c;D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（1）、（4）D．（3）、（4）7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）A．∠1与∠5，∠2与∠6;B．∠3与∠7，∠4与∠8;C．∠2与∠6，∠3与∠7;D．∠1与∠5，∠4与∠88．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，则∠2的度数为（）A．36°B．54°C．45°D．68°(4)(5)(6)9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线L的条数为（）A．1B．2C．3D．410．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为（）A．65°B．80°C．100°D．115°11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）A．30°B．70°C．30°或70°D．100°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上）13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度，∠BOC=___度．17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE为_________．(7)(8)(9)18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．19．如图9，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=_______度．20．如图，∠ABD=∠CBD，DF∥AB，DE∥BC，则∠1与∠2的大小关系是________．三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22．（7分）如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B与∠B′有什么关系？为什么？23．（6分）如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（要求给出两个答案）．24．（6分）如图，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA平分∠EBF的道理．25．（7分）如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度数．26．（8分）如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．课堂作业答案：22.∠A＝∠F.∵∠1＝∠DGF（对顶角相等）又∠1＝∠2∴∠DGF＝∠2∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）∴∠DBA＝∠C（两直线平行，同位角相等）又∵∠C＝∠D∴∠DBA＝∠D∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠F(两直线平行,内错角相等).课后作业答案:1．D2．D点拨：图中的邻补角分别是：∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠AOD，∠COE与∠DOE，∠BOE与∠AOE，∠BOD与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共6对，故选D．3．D4．C5．C6．A7．C点拨：本题的题设是AB∥CD，解答过程中不能误用AD∥BC这个条件．8．B点拨：∵AB∥CD，∠1=72°，∴∠BEF=180°-∠1=108°．∵ED平分∠BEF，∴∠BED=∠BEF=54°．∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故选B．9．C点拨：如答图，L1，L2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略．10．B11．D点拨：∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．故选D．12．C点拨：由题意，知或解之得∠B=30°或70°．故选C．13．120°14．（1）BC；同位角相等，两直线平行（2）CD；内错角相等，两直线平行（3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行15．（2），（3），（5）16．115；65点拨：设∠BOC=x°，则∠AOC=x°+50°．∵∠A