【上课用】解密05 导数及其应用（讲义）-【高频考点解密】 高考数学二轮复习讲义 分层训练（全国通用）

解密05导数及其应用考点热度★★★★★内容索引核心考点1导数的概念及计算核心考点2导数的应用高考考点三年高考探源预测导数的概念、几何意义及计算2019课标全国Ⅰ13,20（1）2019课标全国Ⅱ10,21（1）2019课标全国Ⅲ7,20（1）2020课标全国Ⅰ152020课标全国Ⅲ15从近三年的考查情况来看，本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等；以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视.导数的应用2019课标全国Ⅰ202019课标全国Ⅱ212019课标全国Ⅲ202020课标全国Ⅰ202020课标全国Ⅱ212020课标全国Ⅲ202021全国甲卷文202921全国甲卷理212021全国乙卷文12、212021全国乙卷理10、20核心考点一导数的概念及计算考法导数的概念及计算变式一导数的计算1、（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））已知函数的导数为，且，则（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.【详解】由得，当时，，解得，所以，.故选：B2、（2021·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.☆技巧点拨☆1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：（1）分析函数的结构和特征；（2）选择恰当的求导公式和运算法则求导；（3）整理得结果．3．求较复杂函数的导数的方法对较复杂的函数求导数时，先化简再求导．如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．4．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数．（2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．变式二导数的几何意义1、（2021·河南·新乡县一中高三阶段练习（文））曲线在点处的切线方程为()A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义即可求解﹒【详解】∴在(0，1)处切线方程为：，即﹒故选：A﹒2、（2021·湖北·高三期中）若，则的切线的倾斜角满足（）A．一定为锐角 B．一定为钝角C．可能为直角 D．可能为0°【答案】A【分析】求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．【详解】，设，则，时，，递减，时，，递增，而，所以时，，所以，切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．故选：A．3、（2021·四川·高三阶段练习（理））若曲线在点处的切线方程为，则（）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由导数求出参数，将切点代入切线方程即可求出.【详解】，依题意可得，即，因为，所以.故选：D☆技巧点拨☆导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．核心考点二导数的应用考法导数的应用变式一利用导数研究函数的单调性1、（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期末（理））已知是的极值点，则在上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，因为是的极值点，可得，解得，所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，由，又由，所以，所以当时，函数取得最大值，最大值为.故选：A.2、（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.3、（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】先求出的奇偶性和单调性，再利用奇偶性和单调性解不等式，参变分离后转化为在恒成立，换元后求出取值范围.【详解】定义域为R，且，故为奇函数，且恒成立，故单调递减，因为，故，根据函数单调递减，可得：，整理得：，所以题干条件等价于在恒成立，令，则，设，，则，因为，所以，故，所以在上单调递减，所以，所以，解得：故答案为：☆技巧点拨☆函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现．常见的题型及其解法如下：1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f′(x)；（2）确认f′(x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．变式二利用导数研究函数的极值与最值1、（2021·山东泰安·高三期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.【答案】【分析】把函数有两个极值点，转化为有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点.利用导数研究的单调性与极值，即可求出m的取值范围.【详解】的定义域为，.要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.，令得：x>1；令得：0<x<1；所以在上单减，在上单增.当时，；当时，；作出和的图像如图，所以-1<m<0即实数m的取值范围为.故答案为：【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，2、（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期末（理））设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间.【答案】（1），；（2）答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.（1）的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.（2）由（1）知：.①当时，在上恒成立，所以在单调递减；②当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递增区间为，单减区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递增区间为，单减区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.☆技巧点拨☆1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．2．求函数f(x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f(x)在[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．变式三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1、（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）已知函数，.（1）若在处的切线斜率为，求的值；（2）若在处取得极值，求在上的最大值.【答案】（1）或（2）【分析】（1）由已知可得出，即可解得实数的值；（2）由已知可得，求得实数的值，然后利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求得函数在区间上的最大值.（1）解：因为，则，因为在处的切线斜率为，所以，整理得，解得或.（2）解：因为在处取得极值，即，解得，所以，则，令，解得，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，.2、（2021·广西河池·高二阶段练习（理））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4）（2）【分析】（1）求出，令，由导数的正负即可得到函数f（x）的单调递增区间和递减区间；

（2）求出函数在区间中的单调性，求出极大值和极小值以及区间端点的函数值，比较大小即可得到答案．（1）由函数得，

令，解得x＜−1或x＞4，；令，解得−1＜x＜4，

故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）；（2）由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增，

当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减，

当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，

所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝，

当x＝4时，函数f（x）取得极小值f（4）＝，

又，

所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为☆技巧点拨☆1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点．变式四导数与方程、不等式等的综合问题的值1、（2021·云南·高三阶段练习（理））已知函数，.（1）求证：在上恒成立；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）求出，设，然后可得在上单调递增，然后可证明；（2）分、两种情况讨论，当时，构造函数，然后得其单调性，然后可证明，然后对应可得到时，即可得到答案.（1）证明：因为，设，则，令，则所以在上单调递增，，即所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以（2）当时，，设，即，由（1）可得所以，从而在上单调递增，，于是当任意的实数，在上恒成立；当时，在上恒成立，因为，于是，故不符合题意.综上，实数的取值范围为.2、（2021·江苏连云港·高三期中）已知函数.（1）若，试讨论函数的单调性；（2）若函数存在两个零点，证明：.【答案】（1）在和上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析【分析】（1）求出导函数，并且求解的两个根，从而得函数的单调性；（2）求出导函数，然