2022届高考数学一轮复习第2讲复数考点讲义【含答案】

复数一、复数的概念1、虚数单位：(1)它的平方等于，即；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；(3)与的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；(4)的周期性：、、、。2、数系的扩充：复数。3、复数的定义：形如()的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。4、复数的代数形式：通常用字母表示，即()，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。5、复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数()，当且仅当时，复数()是实数，当时，复数叫做虚数，当且时，叫做纯虚数，当且仅当时，就是实数。6、复数集与其它数集之间的关系：。7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。这就是说，如果、、、，那么、。例1-1．设为虚数单位，则下列命题成立的是()。A、，复数是纯虚数B、在复平面内对应的点位于第三象限C、若复数，则存在复数，使得D、，方程无解CA选项，只有当时，复数是纯虚数，错，B选项，，对应的点位于第一象限，错，C选项，若复数，则存在复数，使得，对，D选项，，方程成立，错，∴C正确。例1-2．若复数(为虚数单位)，则()。A、B、C、D、A，∴，故选A。例1-3．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为。由题意得，∵为纯虚数，∴，解得。二、复数的几何意义1、复平面、实轴、虚轴：复数()与有序实数对是一一对应关系。建立一一对应的关系。点的横坐标是，纵坐标是，复数()可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2、复数复平面内的点。这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。3、复数的模：复数()的模就是其在复平面内的点到原点的距离。。4、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数()的共轭复数为()。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。例2-1．复数在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限B，在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B。例2-2．设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限A由得，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A。例2-3．设复数(是虚数单位)，则在复平面内，复数对应的点的坐标为()。A、B、C、D、B∵，∴，∴复数对应的点为，故选B。三、复数的四则运算设、(、、、)是任意两个复数：1、复数与的和的定义：。(1)复数的加法运算满足交换律：。(2)复数的加法运算满足结合律：。2、复数与的差的定义：。3、乘法运算规则：，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。乘法运算律：(1)；(2)。4、复数除法的定义：满足的复数()叫复数除以复数的商，记为：或者。(1)除法运算规则：设复数()，除以(、)，其商为()，即，∵，∴，由复数相等定义可知，解这个方程组，得，于是有：；(2)利用于是将的分母有理化得：原式，∴；点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数。所以可以分母实数化。把这种方法叫做分母实数化法。例3-1．设为虚数单位，复数()。A、B、C、D、D，故选D。例3-2．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则()。A、