用DFT进行频谱分析及其误差问题研究

ADDINCNKISM.UserStyle目录1.引言 12.利用DFT对有限长序列进行谱分析 12.1谱分析原理 12.2实验结果及分析 23.利用DFT对周期序列进行谱分析 23.1谱分析原理 23.2实验结果及分析 34.利用DFT对连续时间非周期信号进行谱分析 44.1谱分析原理 44.2实验结果及分析 55.利用DFS对连续时间周期信号进行谱分析 55.1谱分析原理 55.2实验结果及分析 66.利用DFT进行谱分析的误差问题及其参数选择 76.1谱分析的误差分析 76.2谱分析的近似性问题 76.3谱分析的参数选择 87.利用DFT进行谱分析的误差仿真 97.1混叠效应仿真 97.2栅栏效应仿真 97.3频谱泄露效应仿真 108.结束语 14参考文献 15致谢 161引言随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理己成为当今一门极其重要的学科和技术领域，数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。任意一个信号都具有时域与频域特性，信号的频谱完全代表了信号，因而研究信号的频谱就等于研究信号本身。通常从频域角度对信号进行分析与处理，容易对信号的特性获得深入的了解。因此，信号的频谱分析是数字信号处理技术中的一种较为重要的工具。[1]众所周知，傅里叶变换和Z变换是信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更加重要的数学变换即离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）。DFT[2]之所以重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使得数字处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大加大了数字信号处理的灵活性。信号的频谱分析的实质，就是通过信号的傅立叶变换(FT)来分析信号的频谱结构，信号的FT可以借助于DFT用计算机仿真方法实现。一般地，信号按时间是否连续可分为连续时间信号和离散时间信号，按周期性可分为周期信号和非周期信号，在时域内信号可分为4大类：离散非周期信号(有限长序列)、离散周期信号(周期序列)、连续非周期信号(一般模拟信号)、连续周期信号。2利用DFT对有限长序列进行谱分析2.1谱分析原理假设x(n)为长度为L的有限长序列，其FT和N点DFT分别为(1)（k=0，1…，-1）(2)对比式(1)，(2)可得，，即是在区间[0，]上对的N点等间隔采样。因此序列的FT可以通过DFT近似得到。对于有限长序列，可知其FT是周期为的连续谱，其DFT是在区间[0，]上对其FT进行N点等间隔采样得到的离散谱。因此对于不同的变换长度N，同一个序列的DFT也不同。随着N的增大，其DFT的包络越来越接近FT，对其频谱分析也越精确。需要注意的是在选择DFT的参数时，应满足N≥L.[1]2.2实验结果及分析长度为8，前4个单位为1的有限长序列，对序列进行频谱分析，绘制出其幅频特性曲线。其谱分析可以通过直接计算其N点DFT来近似。使用matlab仿真[3]的程序和结果如下。图1(a)和(b)分别为R(n)的8点和64点DFT，是离散谱线。（a）的8点DFT频谱（b）的64点DFT频谱图1的DFT频谱由仿真结果可知，比较图1（a）、(b)随着DFT点数N的增加，其包络越来越接近序列的FT，即由离散频谱转换为连续谱。在对有限长序列进行谱分析时，通过适当选取DFT的长度，达到用DFT进行谱分析的目的，尤其需要注意的是第k(0≤k≤N-1)条离散谱线对应的FT的频率为。3利用DFT对周期序列进行谱分析3.1谱分析原理设为周期为N的周期序列，对于周期序列的频谱分析可分3步进行：（1）截取其一个周期对应的主值序列，对主值序列进行N点DFT得到其离散谱，即DFT[]==，k=0，1，…，N-1。（2）由周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及其主值序列的DFT之间的对应关系，可得周期序列DFS对应的是以N为周期进行周期延拓得到的，即。（3）对比周期序列的FT和DFS之间的关系式=，得周期序列对应的的频谱。由于是以N为周期的离散谱，所以周期序列的FT是以为周期的离散谱，每个周期有N条谱线，第k条谱线(k次谐波分量)位于处，FT的幅度与离散傅立叶级数成正比。3.2实验结果及分析（a）X(n)的周期序列(b)X(n)的DFT频谱图2X(n)周期序列及其DFT频谱此次仿真中采用的周期序列X(n)是以单位长度为4的序列以16为周期进行延拓得到的，见图2。对周期序列X(n)的频谱分析，分3步进行：（1）截取主值序列X(n)；（2）由周期序列的DFS和主值序列的DFT之间的关系，可以得到周期序列的DFS是X(n)以16为周期进行周期延拓得到的；（3）对比周期序列的FT和DFS之间的关系式=，可得周期序列的频谱结构(见图2)。需要注意的是FT频谱结构与DFS结构相同，不同的是FT幅度谱的大小为DFS离散谱幅度的，第k条谱线对应的频率。4利用DFT对连续时间非周期信号进行谱分析4.1谱分析原理DFT是一种时域和频域均离散化的变换，可用计算机直接计算，而连续信号的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算。因此对连续信号的谱分析，可通过对连续信号时域进行采样，应用DFT进行近似谱分析[1]。连续时间非周期信号的傅立叶变换对为(3)(4)为便于计算机处理，需要在时域对进行截断、采样处理，同样在频域上也需要对离散化。具体过程如下：(1)在时域内对进行采样、截断处理：首先将以为间隔进行采样得到采样序列，然后将采样序列截断成从t=0开始长度为的有限长序列，包含N个采样值，则公式(3)变为(5)由于时域采样的采样周期为，由时域采样定理，频域产生以为周期的周期延拓。如果是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，频谱周期为，取其中的一个周期的FT，相应的式(5)变为(6)(2)在频域的一个周期内对进行频域采样，取N个样点，每个样点的间隔为，即。则公式(5)，(6)分别为(7)(8)重写式(7)，(8)如下：(9)(10)式(9)，(10)就是由DFT求连续非周期信号的傅立叶变换的采样值的近似计算公式。（a）采样序列波形（b）的DFT频谱图3采样序列波形及其频谱4.2实验结果及分析此次仿真中中用到的连续信号为，其中，，，截取连续信号时间区间为[0，0.055s]，对为采样间隔进行采样得到的采样序列波形见图3，对采样序列进行谱分析的结果见图5。需要注意的是，在选取连续信号的采样间隔时，应满足采样定理，即，为信号频谱的最高频率，所以选取的采样间隔应尽可能小一些。5利用DFS对连续时间周期信号进行谱分析5.1谱分析原理对于周期为的连续信号，其频谱可以用周期信号的傅立叶级数对来表示，即（11）（12）将连续周期信号的傅立叶级数与序列的离散傅立叶级数(DFS)联系起来，需进行如下变换。在时域一个周期T0内对信号进行N点采样，采样间隔为，则式(11)变为(13)对式(12)进行时域采样和频域截断，使它成为有限长序列，如果截断长度刚好等于一个周期(时域采样造成的频域周期延拓的一个周期)，则式(12)变为(14)对比DFT和DFS的定义，式(12)，(13)可表示为(15)(16)式(15)，(17)就是用DFS(DFT)来计算连续周期信号傅立叶级数对的近似公式。对比周期序列的傅立叶变换的表达式，可得用DFS近似计算周期连续信号的傅立叶变换的公式为(17)其中为由式(14)得到的计算连续周期信号的傅立叶级数的近似公式。需要注意的是，对于序列，谱分析中的频率为数字频率，单位为rad，对于连续信号，谱分析中的频率为模拟频率，单位为rad/s，两个频率之间的关系为，即二者是线性关系。5.2实验结果及分析 (a)正弦信号的波形(b)正弦信号的DFT频谱图4正弦信号及其DFT频谱此次仿真中用到的连续周期信号为正弦，见图4。其频谱图见图4中离散谱线所示，其包络为宽度周期的门函数对应的频谱。由仿真结果可知，连续周期信号的频谱是离散的、非周期的，它可以通过截取一个周期内的连续信号的频谱(图4)中连续包络进行离散化得到。对于离散序列信号，其FT必然以2π为周期；对于连续信号，其FT必然是非周期的。常用信号的谱分析最终可以归结为4种形式，对于一般的连续的非周期信号，其FT是非周期和连续的；对于连续的周期信号，其FT是非周期和离散的；对于一般有限长序列信号，其FT是连续和周期的；对于周期序列信号，其FT是离散的和周期的。在对信号进行谱分析时，一定要首先判断信号频谱的大致情况(即离散还是连续、周期还是非周期)，然后再选择合适的谱分析公式对信号进行谱分析。总之，只要能够深刻理解各种信号谱分析的原理，掌握DFT这一谱分析的有力工具，对各种信号的谱分析将会变得简单。6利用DFT进行谱分析的误差问题及其参数选择6.1谱分析的误差分析所谓信号谱分析，就是计算信号的傅立叶变换。连续信号傅立叶变换不便于用计算机处理，因此要通过频域采样，应用DFT进行分析。又由于DFT的无限逼近性。[5]因此，这种分析只能是近似分析，不可避免存在一定的误差。另外，根据信号与系统分析的相关原理，若信号在时域持续时间无限长，则在频域的频谱必有限宽；若信号在频域的频谱无限宽，则在时域的持续时间必有限长。因此，理论上不存在有限时间的带限信号。在DFT近似谱分析中，若信号持续时间很长以致难于存储和计算，就要截取有限点进行DFT[4]；若信号频谱很宽容易造成采样后的混叠失真，就要用滤波器滤去幅度较小的高频成分。这些技术处理同样也带来了相应的误差问题。6.2谱分析的近似性问题[6]6.2.1近似性参数如前所述，信号在谱分析之前通常都需要经过预滤波、截断等预处理，因此DFT谱分析的结果其实最终只能获得一个近似值。DFT谱分析的近似性主要与三个参量有关：（1）信号带宽。信号带宽越宽则谱分析近似性越低。（2）采样频率。信号采样频率越高则分辨率越高，谱分析近似性也越高。（3）截取长度。截取长度越长则信号损失就越小，谱分析近似性就越高。6.2.2混叠效应[7][8]连续信号的谱分析首先要经过时域离散化即采样，然后才能通过DFT实现频域离散化。从理论上来说，要满足采样定理2，否则由于傅立叶的周期性，在ω=π附近发生频率混叠现象。但是在实际的工程应用中，一般采样频率要取到连续信号最高频率的三至五倍，即：≥3～5。而且加入预滤波环节，才能切实改善频率混叠。6.2.3栅栏效应[8]DFT的实质就是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样。N点DFT就是N点等间隔采样，而采样点之间的频谱只能是未知量。这就如同在N+1条栅栏的缝隙中观察整个信号的频谱，只能从N条栅栏隙中看到N个离散采样点处的谱特性，因此该现象称为栅栏效应。由于“栅栏”的存在，有可能挡住比较大的频谱分量，造成较大的误差。为了改善栅栏效应，常采用原序列尾部补零的做法，以增加变换区间长度，从而增加采样点数，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。6.2.4频谱泄露效应对于频率为的正弦序列，它的频谱应该只是在处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在处有离散谱，而是在以为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从频率上“泄露”出去的，这种现象称为频谱“泄露”。6.3谱分析的参数选择谱分析中有几个重要的参数，如频率分辨率F、采样点数N、观察时间、采样频率等等，参数的选择有如下几个原则：(1)根据时域采样定理：2。(2)频率分辨率，因此采样点数，因此采样点数。(3)根据原则1、2，有：。(4)最小观察时间（又称记录时间）至少应当包含一次完整的采样过程，因此。对实信号谱分析，要求分辨率F≤50Hz，信号最高频率1kHz。试确定最小记录时间、最大采样间隔和最少采样点数。若令不变，欲使频率分辨率增大一倍，试问采样点N将如何变化。(1)根据原则4，最小观察（记录）时间===0.02s.(2)最大采样间隔即为最大采样周期，根据原则1，===0.5*10s。(3)根据原则3，最少采样点数。(4)若令不变而频率分辨率增大一倍，说明采样密度增加了一倍，则采样点N应当加倍，即N=80。7利用DFT进行谱分析的误差仿真7.1混叠效应仿真由图5可见，正弦信号频率均是1kHz，采样率0.5kHz，2kHz，3kHz，5kHz，数据长度64点，分别做DFT变换。将(a)，(b)，(c)，(d)四个图相比较可得。DFT的结果和我们想象中的连续时间域的频谱是很相似的。当不满足采样定理条件2时，混叠现象是比较严重的。当≥3～5，混频现象还是存在的，但是不是那么明显了，几乎可以忽略。只有加入预滤波环节，才能切实改善频率混叠。（a）时DFT频谱（b）时DFT频谱（c）时DFT频谱（d）时DFT频谱图5混叠效应仿真图7.2栅栏效应仿真本次所用实验信号x(t)一个长度为16的一次函数信号，其傅里叶变化如图6（a）所示。图(b)、(c)、(d)分别是x(t)的64、128、256点的DFT频谱。由图可见，随着采样点数的增加，x(t)的DFT频谱越来越接近其FT频谱。采样点数越小，栅栏现象越是明显。图6（a）x(t)FT频谱（b）x(t)的64DFT频谱（c）x(t)的128DFT频谱（d）x(t)的256DFT频谱图6栅栏效应仿真图7.3频谱泄露效应仿真对于频谱泄露效应的仿真，运用了两次三组数据对比的方法，较好的对频谱泄露效应的产生以及分析。首先是对频谱泄露效应的产生的分析，共采用了三个实例。具体如下。实例1：正弦信号频率1kHz，采样率32kHz，数据长度64点，这时信号采样包含了整数个（2个）周期的正弦信号，此时DFT的结果和我们想象中的连续时间域的频谱是很相似的。实例2：正弦信号频率1.1kHz，采样率32kHz，数据长度64点，这时信号采样包含了整数个（2.2个）周期的正弦信号，此时DFT的结果和我们想象中的连续时间域的频谱不是很相似的。实例3：正弦信号频率1kHz，采样率32kHz，数据长度60点，这时信号采样包含了整数个（1.875个）周期的正弦信号，此时DFT的结果和我们想象中的连续时间域的频谱不是很相似的。（a）实例1谱分析结果（b）实例2谱分析结果（c）实例3谱分析结果图7频谱泄露效应仿真通过修改仿真的参数，得到结论。同样是单一频率的正弦波，直接用DFT进行频谱分析的结果却大不一样。此我们可以看到“直接对信号进行DFT来分析频谱”这种分析方式的结果的准确性波动太大，比如以上的结果中，在实例1中的结果非常之好。然而在实例2、3中，稍稍修改了信号的频率和分析长度，这个时候的信号频谱仍然应该是两根谱线，分析出来的噪声都在－40dB以上。40dB分析底噪很成问题。对一个连续时间信号进行采样，对信号的有限长样点进行DFT的结果，并不总是和该信号在连续时间域的频谱一致，从上面的实验可以看出，似乎只要是有限长采样中包含了整数个周期的信号样点，DFT的结果就和连续域频谱非常一致。然而这带来新的问题，当要分析一个有限带宽信号的频谱成分时，是不可能让有限长的信号采样里恰好包含了所有频率成分的整数个周期。在以上的实例2和实例3中，DFT的结果不是两根笔直的谱线，这种现象称作“频谱泄露”，接下来要对这种现象进行分析。7.3使用前述的基本定理，可以从时域解释为什么实例2和实例3的DFT结果不是笔直的谱线，可以使用我们在上面提供的仿真代码尝试把进行DFT的序列进行周期延拓，观察周期延拓后的序列是否还是正弦序列。以下是用Matlab把一个非整周期采样的有限长正弦序列进行2倍的周期延拓。图8非整周期采样的有限长正弦序列进行2倍的周期延拓如果我们对非整周期的有限长信号序列做DFT，实际上等价出来的周期序列并不是原始的信号，我们得到的谱分析结果也不是真正的结果。同样，如果是整周期的有限长信号序列，那么周期延拓出来的样子还是和原始信号的采样序列一样，这时候DFT结果和真实的谱是一样的。7.3有限长的正弦序列的采样，可以看作是无限长的正弦信号的采样序列乘以一个有限长的矩形窗序列，时域序列相乘，归一化频率域做线性卷积。于是，三个CASE中序列的DTFT结果都是正弦信号的谱线和矩形窗函数的频谱的卷积的结果，并且我们知道，周期的正弦序列的DTFT是两根笔直的冲击函数，矩形窗序列的DTFT是诸如的函数，然后，根据卷积的原理，矩形窗的频域函数要被移动到正弦频率对应的冲击函数的位置。对接下来用三组仿真结果来从频域角度对频谱泄露进行解释。实例4：在这个实例中，用16kHz的速率采集一个2kHz的正弦信号，收集16个时域样点。DFT的样点在的频率位置出现了能量值，其余位置的DFT值都是0，这和印象中的结果是很吻合的。实例5：这个实例中，不改变已经得到16kHz的速率采集一个2kHz的正弦信号，而是在信号序列的尾部补上16点的0值，然后再做DFT。结果显示在原来的8个DFT的结果样点之间，新冒出来的DFT样点大部分不是0值，也就是说，补零之后的DFT的结果与实例4的结果有很大的不同。不过，DFT的结果序列中，最大幅度值样点的位置仍然对应着2kHz。实例6从下面的图中，我们可以看到，如果采样不是整个的周期，那么大部分样点上均出现了非零的能量值，此时的DFT结果和我们相像中的两根谱线已经相去甚远了。（a）实例4谱分析结果（b）实例5谱分析结果实例6谱分析结果图9从频域角度解释频谱泄露8结束语常用信号的谱分析最终可以归结为4种形式，对于一般的连续的非周期信号，其FT是非周期和连续的；对于连续的周期信号，其FT是非周期