2022年浙江省杭州市拱墅区公益中学数学九上期末经典试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，、、分别切于、、点，若圆的半径为6，，则的周长为（）A．10 B．12 C．16 D．202．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（）A． B． C． D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）．A． B．C． D．5．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．6．二次函数图像的顶点坐标是（）A． B． C． D．7．若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（）A．3 B．5 C．2.5 D．49．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A． B． C． D．10．若A（﹣3，y1），，C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y111．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm12．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是()A．1，-3，10 B．1，7，-10 C．1，-5，12 D．1，3，2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限．△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为________14．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+5＝_____．15．一圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长为________．16．已知P（﹣1，y1），Q（﹣1，y1）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1_____y1．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）17．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）18．__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，连接，．（1）直接写出，，三点的坐标；（2）点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．若点关于直线的对称点恰好在轴上，求出点的坐标；（3）在平面内是否存在一点，使关于点的对称（点，，分别是点，，的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．（8分）某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果（千克），增种果树（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？21．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价多少元？22．（10分）已知9a2-4b2=0，求代数式--的值．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(-4，2)，BA⊥轴于A．(1)画出将△OAB绕原点旋转180°后所得的△OA1B1，并写出点B1的坐标；(2)将△OAB平移得到△O2A2B2，点A的对应点是A2（-2，4），点B的对应点B2，在坐标系中画出△O2A2B2；并写出B2的坐标；(3)△OA1B1与△O2A2B2成中心对称吗？若是，请直接写出对称中心点P的坐标．24．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）计算：25．（12分）近年来，“在初中数学教学候总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了n名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题：n名学生对使用计算器影响计算能力的发展看法人数统计表看法

没有影响

影响不大

影响很大

学生人数（人）

40

60

m

（1）求n的值；（2）统计表中的m=；（3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数．26．定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；（3）如图3，C是函数（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD=CD，CE=BE，PA=PB，从而求解．【详解】∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，

∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．

在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP==8，

∴△PDE的周长为2AP=1．

故选C．【点睛】此题综合运用了切线长定理和勾股定理．2、D【解析】根据配方的正确结果作出判断：．故选D．3、D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解此题的关键．4、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断．【详解】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．5、D【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【详解】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．6、D【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．【详解】∵，∴二次函数的顶点坐标为．

故选：D．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题．7、A【分析】根据一元二次方程有两个实数根可得：△＞0，列出不等式即可求出的取值范围，从而求出实数的可能值.【详解】解：由题可知：解出：各个选项中，只有A选项的值满足该取值范围，故选A.【点睛】此题考查的是求一元二次方程的参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键.8、C【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，

∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，

又∵点E是AB中点，

∴OE是△DAB的中位线，

在Rt△AOD中，AB==5，

则OE=AD=．

故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．9、C【解析】根据已知三点和近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选：C，【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．10、A【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【详解】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y1．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解是解题的关键．11、C【分析】连接CE，先由三角形内角和定理求出∠B的度数，再由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠CEA的度数，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半即可解答．【详解】解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠BCE+∠B＝30°，∵Rt△AEC中，AC＝8cm，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．12、A【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，则a=1，b=−3，c=10.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式.二、填空题（每题4分，共24分）13、(4+)【分析】根据题意先作B3E⊥x轴于E，观察图象可知为三次一个循环，求点M的运动路径，进而分析求得翻滚10次后AB中点M经过的路径长．【详解】解：如图作B3E⊥x轴于E，可知OE=5，B3E=，观察图象可知为三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：，则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为：.故答案为：(4+).【点睛】本题考查规律题，解题的关键是灵活运用弧长公式、等边三角形的性质等知识解决问题.14、1【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到m2﹣m﹣1=0，则m2﹣m=1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+5的值．【详解】∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，∴m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1，∴m2﹣m+5=1+5=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．15、2【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷1．【详解】解：底面半径为3，则底面周长=6π，设圆锥的母线长为x，圆锥的侧面积=×6πx=12π．解得：x=2，故答案为2．16、＜【分析】先根据反比例函数中k＝﹣3＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∵比例函数y＝﹣中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵﹣1＜﹣1＜0，∴P（﹣1，y1），Q（﹣1，y1）在第二象限，∵函数图象在第二象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y1．故答案为：＜．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质，掌握其函数增减性是关键．17、15π【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷1．【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm1．故答案为：15π．【点睛】本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．18、【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）,,；（2）；（3）存在点或，使关于点的对称恰好有两个顶点落在该抛物线上．【分析】（1）分别令y=0，x=0，代入，即可得到答案；（2）由点与点关于直线对称，且点在y轴上，轴，得，易得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，即可求解；（3）根据题意，平行于轴，平行于轴，，，点在点的右边，点在点的下方，设点的横坐标为，则的横坐标为，点的横坐标为，分三种情况讨论：①若、在抛物线上，②若、在抛物线上，③，不可能同时在抛物线上，即可得到答案．【详解】（1）令y=0，代入，得，解得：，令x=0，代入，得:y=3，∴,,；（2）∵点与点关于直线对称，且点在y轴上，∴，∵轴，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，把,，代入，得：，∴，∴直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，∴，，∴，解得：，（舍去），∴；（3）根据题意，平行于轴，平行于轴，，，点在点的右边，点在点的下方，设点的横坐标为，则的横坐标为，点的横坐标为．①若、在抛物线上，则∴∴∵点O与O′关于点P中心对称，即点P是OO′的中点，∴；②若、在抛物线上，则，解得：，∴同①可得：；③，不可能同时在抛物线上，综上所述存在点或，使关于点的对称恰好有两个顶点落在该抛物线上．【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握几何图形的特征与二次函数的性质，是解题的关键．20、（1）；（2）增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.【分析】（1）设，将点（12，74）、（28，66）代入即可求出k与b的值，得到函数关系式；（2）根据题意列方程，求出x的值并检验即可得到答案.【详解】（1）设，将点（12，74）、（28，66）代入，得，解得，∴y与x的函数关系式为；（2）由题意得：，解得：，，∵投入成本最低，∴x=10，答：增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意中的x、y的实际意义是解题的关键.21、平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元【解析】试题分析:本题考查一元二次方程解决商品销售问题,设每件衬衫应降价x,则每件的盈利为（40－x）,每天可以售出的数量为（10+x）,由题意得:（40－x）（10+x）=600,解得=10,=20,由于为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,所以=20.试题解析:（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出10+x，由题意，得（40-x）（10+x）=600，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元.22、±3【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，已知等式利用平方差公式化简，整理得到2b=3a或2b=-3a，代入计算即可求出值．【详解】原式=--====-2·，∵9a2-4b2=0，∴=，∴=±，∴原式=-2×=-3或原式=.点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23、（1）图见解析，B1（4，-2）；（2）△图见解析，B2（-2，6）（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）．【分析】（1）找出点A，点B关于原点O的对称点A1，B1，顺次连接起来即可；（2）找出点A，点B，点O的对应点，顺次连接起来即可；（3）根据中心对称图形的性质，找出对称中心P，写出坐标，即可．【详解】（1）△OA1B1如图所示；B1（4，-2）；（2）△OA2B2如图所示；B2（-2，6）；（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）【点睛】本题主要考查图形变换和坐标，熟练掌握平变换和旋转变换的性质，是解题的关键．24、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）1【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；(2)原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】(1)方程整理得：x2﹣4x=3，配方得：x2﹣4x+4=3+4，即(x﹣2)2=7，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；(2)=1．【点睛】本题考查了利用配方法求一元二次方程的解以及实数的混合运算，涉及了：零指数、二次根式以及特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及特殊角的锐角三角函数的值．25、（1）200；（2）1；（3）900.【解析】试题分析：（1）将“没有影响”的人数÷其占总人数百分比=总人数n即可；（2）用总人数减去“没有影响”和“影响不大”的人数可得“影响很低”的人数m；（3）将样本中“影响很大”的人数所占比例乘以该校总人数即可得．试题解析：（1）n=40÷20%=200（人）．答：n的值为200；（2）m=200-40-60=1；（3）1800×=900（人）．答：该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数约为900人．故答案为（2）1．考点：1.扇形统计图；2.用样本估计总体．26、（1）见解析；（2）；（3），P点坐标为或【分析】（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再证出∠OMP＝∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出结论；（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，B