概率与数理统计第二

关于概率与数理统计第二第一页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数一、分布函数的定义1）定义设X

是一个随机变量，x

是任意实数，函数称为

X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX第二页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数例1

设随机变量X的分布律为:Xpk-212解：当x<-2时，01xX2-2x2）例子求X的分布函数.第三页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数满足Xx的X取值为X=-2,

x1X2-2x满足Xx的X取值为X=-2,或

1，

Xpk

-212第四页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数同理当-2012x1第五页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数分布函数F(x)在x=xk

(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

pk=P{X=xk}.说明：Xpk

-212-2012x1第六页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数

例2

一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：（1）若

x<0,则是不可能事件，于是（2）X第七页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数（3）若

,则是必然事件，于是第八页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数01231F(x)x第九页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数二、分布函数的性质1）性质：分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看出，分布函数

F(x)

具有以下基本性质：（1）

F(x)是一个单调不减的

函数．

0

1231F(x)第十页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数（2）（3）-10123

x1第十一页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数2）用分布函数计算某些事件的概率{}aXP<}1{limnaXPn-£=¥®)0()1(lim-=-=¥®aFnaFn{}aXP={}{}aXPaXP<-£={}bXaP£<={}aXP=+的分布函数，则是随机变量设X第十二页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数用分布函数计算某些事件的概率（续）{}{}bXPbXP<-=³1()01--=bF第十三页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数例3()ïïïïîïïïïíì£<£<£<£<=xxxxxxxF31321211213210200þýüîíì>21XP⑷{}3<XP⑵{}1=XP⑶{}3£XP试求：⑴{}42<<XP⑸{}31<£XP⑹的分布函数为设随机变量X第十四页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数解：()()0}{--==aFaFaXP{}()0-=<aFaXP{}3£XP⑴()3F=1={}3<XP⑵()03-=F1211={}1=XP⑶()()011--=FF612132=-=þýüîíì>21XP⑷÷øöçèæ-=211F43411=-={}42<<XP⑸()()204FF--=12112111=-={}31<£XP⑹()()0103---=FF125211211=-=第十五页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数例4设随机变量X

的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有()()+¥<<¥-+=xBarctgxAxF．、试求常数BA()()BarctgxAxFxx+==-¥®-¥®limlim0BA2p-=()()BarctgxAxFxx+==+¥®+¥®limlim1BA2p+=第十六页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数例4（续）解方程组得解第十七页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数例5

设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度1，另半圆周上均匀刻[0，1）诸数字，求陀螺旋转后停下时触及桌面上的点的刻度X的分布函数。解：第十八页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数第十九页，共八十六页，2022年，8月28日§3随机变量的分布函数本节小结：1）分布函数的定义及性质；2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是第二十页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度

概率密度及其性质指数分布均匀分布

正态分布与标准正态分布第二十一页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度一.连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X

的分布函数， 存在非负实函数，使得对于任意实数，有则称X

为连续型随机变量，其中函数称为X

的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量X

由其密度函数唯一确定!第二十二页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度

概率密度f(x)

具有以下性质：f(x)0x1说明:第二十三页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度

f(x)x0第二十四页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数不是概率！注意1由此可见根据性质4以及导数的定义，有第二十五页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的一个重要特点：密度函数的概率含义：注意2：注意3：第二十六页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度证明：所以有：þýüîíì£<-£aXnaP1{}aXP=£0第二十七页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度说明⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．第二十八页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例1设X

是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质第二十九页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例1（续）第三十页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例1（续）第三十一页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例1（续）第三十二页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例2第三十三页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例3第三十四页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例4由分布函数的性质有解得第三十五页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例4（续）第三十六页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例5某电子元件的寿命（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.解：设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}第三十七页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例5（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重的Bernoulli试验．令：Y=“5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数”则B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}第三十八页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度二.一些常用的连续型随机变量二.一些常用的连续型随机变量1．均匀分布若随机变量Ｘ的密度函数为记作X~U[a,b]第三十九页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证第四十页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度均匀分布的概率背景：⑴．类似地，我们可以定义XXabxll0()上的均匀分布；，区间ba[)上的均匀分布；，区间ba(]上的均匀分布．，区间ba第四十一页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度

均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。第四十二页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度均匀分布的分布函数abxF(x)01[]的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量XbaX第四十三页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例6：设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：设该乘客于7时

X分到达此站．[]上的均匀分布．，服从区间则300X第四十四页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例6（续）令：B={候车时间不超过5分钟}第四十五页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例7第四十六页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例7（续）第四十七页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度2．指数分布如果随机变量X

的密度函数为第四十八页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证第四十九页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度指数分布的分布函数指数分布的应用：指数分布常作为各种“寿命”分布的近似分布，如：“灯泡的寿命”，“动物的寿命”，“电话问题中的通话时间”，“随机服务系统中的服务时间”都常假定服从指数分布。注意:第五十页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度指数分布的重要性质：设X服从指数分布，则若把X解释为寿命，则上式表明：如果已知某人活了s年，则他至少再活t年的概率与年龄s无关，所以人们风趣地称指数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”----即把过去的年龄忘记了。第五十一页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度第五十二页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度例8（续）令：B={等待时间为10~20分钟}第五十三页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度3．正态分布xp(x)0的密度函数为如果连续型随机变量X()()()+¥<<¥-=--xexfx22221smsp()，为参数，其中0>+¥<<¥-sm正态分布．记作()2~sm，NX2服从参数为则称随机变量X的，sm第五十四页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度x0标准正态分布第五十五页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证第五十六页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)第五十七页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)为此，我们只需证明：第五十八页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)则有，，作极坐标变换：qqsincosryrx==第五十九页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)ssmdxduxu=-=则，作变换：第六十页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)第六十一页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度正态分布密度函数的图形性质x0第六十二页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度正态分布密度函数的图形性质x0第六十三页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度正态分布密度函数的图形性质x0第六十四页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度0x第六十五页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度正态分布的重要性质：xp(x)0第六十六页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：

⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．

⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．

⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．第六十七页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度标准正态分布的计算第六十八页，共八十六页，2022年，8月28日§4

连续型随机变量及其概率密度标准正态分布的计算（续）x0x-x(){}xXPxx£=F³我们可直接查表求出对于0:0，我们有公式如果<x()()òò-¥---¥-==-Fxtxdtedttx2221pjQ()ò¥+--=-Fxuduex2221p，得，作变换dudtut-=-=ò¥---=xudue22211pò+¥-=xudue2221p()xF-=1第六十九页，共八十六页，2022年，8月28日