控制理论基础本科生课件第二章

2.2拉普拉斯变换实际为f(t)1(t)=>f(t)=0t<0简写为:f(t)<-->F(s)单边拉普拉斯变换对,只适用于因果系统前一页后一页2.2拉普拉斯变换实际为f(t)1(t)=>f(t)=01常用信号的单边拉普拉斯变换1)1(t)2)e-at前一页后一页常用信号的单边拉普拉斯变换1)1(t)2)e-at前一页后一2前一页后一页3)tn(n为整数)前一页后一页3)tn(n为整数)34)脉冲函数=15)sin,cos函数前一页后一页4)脉冲函数=15)sin,cos函数前一页后一页4Laplace变换的性质线性性质（齐次可加性）时移（延时）特性位移特性时域微分特性（微分定理）时域积分特性（积分定理）卷积定理终值定理初值定理Laplace变换的性质线性性质（齐次可加性）5一、线性（叠加、比例定理）１、其次性２、可加性一、线性（叠加、比例定理）１、其次性6二、时移(延时)特性前一页后一页tf(t-t0)t0tf(t)=t二、时移(延时)特性前一页后一页tf(t-t0)t0tf(7三、位移特性前一页后一页要点：ss-a三、位移特性前一页后一页要点：8四、时域微分特性(定理)前一页后一页四、时域微分特性(定理)前一页后一页9前一页后一页..…前一页后一页..…10

Example1Example111Example2线性、微分定理Example2线性、微分定理12Example3线性、微分定理?Example3线性、微分定理?13!!14Example4应用Laplace变换的性质计算Example4应用Laplace变换的性质计算15说明：初始条件：说明：初始条件：16若初始条件为零用s替代微分，用1/s替代积分若初始条件为零用s替代微分，用1/s替代积分17五、时域积分特性(定理)前一页后一页五、时域积分特性(定理)前一页后一页18六、卷积定理前一页后一页卷积的定义：六、卷积定理前一页后一页卷积的定义：19前一页后一页七、终值定理前一页后一页七、终值定理20八、初值定理八、初值定理21Laplace逆变换?Laplace逆变换?22方法方法23有理分式的Laplace逆变换有理分式的Laplace逆变换24二、部分分式展开==>F(s)的n个极点（特征根）前一页后一页特征方程二、部分分式展开==>F(s)的n个极点（特征根）前一页后一25F(s)的n个极点实根复数根(共轭成对)单根重根单根重根前一页后一页jF(s)的n个极点实根复数根(共轭成对)单根重根单根重根前一26极点在复平面上的分布F(s)有单实极点 F(s)有共轭单极点F(s)有重极点极点在复平面上的分布F(s)有单实极点 27F(s)有单实极点：S1,S2,…Sn前一页后一页F(s)有单实极点：S1,S2,…Sn前一页后一页28解法1--留数定理（复变函数论）解法1--留数定理（复变函数论）29解法2前一页后一页解法2前一页后一页30前一页后一页Ki的求解方法二:前一页后一页Ki的求解方法二:31例:前一页后一页解A(s)=S3+3S2+2S==>s1=0,s2=-1,s3=-2例:前一页后一页解A(s)=S3+3S2+2S==322.F(s)有单共轭单极点前一页后一页F(s)有一对共轭单极点S1,2=-j,则:A’(s),B(s)为s的实系数多项式2.F(s)有单共轭单极点前一页后一页F(s)有一对共轭33前一页后一页前一页后一页34例:前一页后一页解令A(s)=0例:前一页后一页解令A(s)=035前一页后一页前一页后一页363.F(s)有重极点 前一页后一页F(s)在S=S1处有r重极点，3.F(s)有重极点 前一页后一页F(s)在S=S1处有r37前一页后一页前一页后一页38f(t)

<-->

F(s)f(t)由F(s)的极点,零点所确定前一页后一页左半S平面的共轭极点对应衰减的振荡,右半S平面的共轭极点对应增长的振荡,虚轴上的共轭极点对应时间函数为等幅振荡实轴上的极点对应时间函数按极点的阶数不同,具有e-at,te-at,…的函数形式f(t)<-->F(s)f(t)由F(s)的极点,零点所39

实极点之一

前一页后一页jw1/s1/s21/s3(t)t2(t)t(t)0t(t)10tt(t)0tt2(t)1 实极点之一 前一页后一页jw1/s1/s21/40实极点之二

前一页后一页jw1/(s+a)a>0e-at(t)0t0t11/(s-a)a>0-aeat(t)jwa实极点之二 前一页后一页jw1/(s+a)e-at41虚轴上的共轭极点前一页后一页jwjw0-jw0jwjw0-jw0tt虚轴上的共轭极点前一页后一页jwjw0-jw0jwjw042

左、右半S平面的共轭极点前一页后一页jwjw0-jw0-ajwjw0-jw0ajwjw0-jw0-attt 左、右半S平面的共轭极点前一页后一页jwjw43拉普拉斯变换在控制工程中的应用复频域分析法:利用拉氏变换分析系统.前一页后一页求解微分方程微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。求传递函数拉普拉斯变换在控制工程中的应用复频域分析法:利用拉氏变换分析44{x(0)}y(t)f(t)前一页后一页y(t)=T[f(t)]微分方程y(t)拉氏变换Y(s)=N[F(s)]代数方程Y(s)表达式拉氏反变换初始条件一、微分方程的变换解{x(0)}y(t)f(t)前一页后一页y(t)=T[f(t45例:解:前一页后一页求全响应y(t)例:解:前一页后一页求全响应y(t)46前一页后一页前一页后一页47前一页后一页自由响应强迫响应由系统的特征根(固有频率)确定自由响应:强迫响应:由F(s)的极点确定,所以与f(t)的函数形式确定Re[Si]<0,瞬态响应稳态响应前一页后一页自由响应强迫响应由系统的特征根(固有频率)确定自48前一页后一页f(t)因果函数A(S)B(S)二、传递（系统）函数若初始条件为零(t)1==>g(t)G(s)前一页后一页f(t)因果函数A(S)B(S)二、传递（系统）49G(s)如何计算?1)根据定义,由微分方程入手2)g(t)<--->G(s)前一页后一页微分算符用s来表示G(s)如何计算?1)根据定义,由微分方程入手2)g(t)<50性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m<n，且所具有复变量函数的所有性质。性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。传递函数的性质性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m<n，且所51性质4如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质5如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。传递函数数学模型是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operationalmode）性质6传递函数与微分方程之间有关系。如果将置换性质4如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号52性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。

性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

53控制理论基础本科生课件第二章54控制理论基础本科生课件第二章552.2拉普拉斯变换实际为f(t)1(t)=>f(t)=0t<0简写为:f(t)<-->F(s)单边拉普拉斯变换对,只适用于因果系统前一页后一页2.2拉普拉斯变换实际为f(t)1(t)=>f(t)=056常用信号的单边拉普拉斯变换1)1(t)2)e-at前一页后一页常用信号的单边拉普拉斯变换1)1(t)2)e-at前一页后一57前一页后一页3)tn(n为整数)前一页后一页3)tn(n为整数)584)脉冲函数=15)sin,cos函数前一页后一页4)脉冲函数=15)sin,cos函数前一页后一页59Laplace变换的性质线性性质（齐次可加性）时移（延时）特性位移特性时域微分特性（微分定理）时域积分特性（积分定理）卷积定理终值定理初值定理Laplace变换的性质线性性质（齐次可加性）60一、线性（叠加、比例定理）１、其次性２、可加性一、线性（叠加、比例定理）１、其次性61二、时移(延时)特性前一页后一页tf(t-t0)t0tf(t)=t二、时移(延时)特性前一页后一页tf(t-t0)t0tf(62三、位移特性前一页后一页要点：ss-a三、位移特性前一页后一页要点：63四、时域微分特性(定理)前一页后一页四、时域微分特性(定理)前一页后一页64前一页后一页..…前一页后一页..…65

Example1Example166Example2线性、微分定理Example2线性、微分定理67Example3线性、微分定理?Example3线性、微分定理?68!!69Example4应用Laplace变换的性质计算Example4应用Laplace变换的性质计算70说明：初始条件：说明：初始条件：71若初始条件为零用s替代微分，用1/s替代积分若初始条件为零用s替代微分，用1/s替代积分72五、时域积分特性(定理)前一页后一页五、时域积分特性(定理)前一页后一页73六、卷积定理前一页后一页卷积的定义：六、卷积定理前一页后一页卷积的定义：74前一页后一页七、终值定理前一页后一页七、终值定理75八、初值定理八、初值定理76Laplace逆变换?Laplace逆变换?77方法方法78有理分式的Laplace逆变换有理分式的Laplace逆变换79二、部分分式展开==>F(s)的n个极点（特征根）前一页后一页特征方程二、部分分式展开==>F(s)的n个极点（特征根）前一页后一80F(s)的n个极点实根复数根(共轭成对)单根重根单根重根前一页后一页jF(s)的n个极点实根复数根(共轭成对)单根重根单根重根前一81极点在复平面上的分布F(s)有单实极点 F(s)有共轭单极点F(s)有重极点极点在复平面上的分布F(s)有单实极点 82F(s)有单实极点：S1,S2,…Sn前一页后一页F(s)有单实极点：S1,S2,…Sn前一页后一页83解法1--留数定理（复变函数论）解法1--留数定理（复变函数论）84解法2前一页后一页解法2前一页后一页85前一页后一页Ki的求解方法二:前一页后一页Ki的求解方法二:86例:前一页后一页解A(s)=S3+3S2+2S==>s1=0,s2=-1,s3=-2例:前一页后一页解A(s)=S3+3S2+2S==872.F(s)有单共轭单极点前一页后一页F(s)有一对共轭单极点S1,2=-j,则:A’(s),B(s)为s的实系数多项式2.F(s)有单共轭单极点前一页后一页F(s)有一对共轭88前一页后一页前一页后一页89例:前一页后一页解令A(s)=0例:前一页后一页解令A(s)=090前一页后一页前一页后一页913.F(s)有重极点 前一页后一页F(s)在S=S1处有r重极点，3.F(s)有重极点 前一页后一页F(s)在S=S1处有r92前一页后一页前一页后一页93f(t)

<-->

F(s)f(t)由F(s)的极点,零点所确定前一页后一页左半S平面的共轭极点对应衰减的振荡,右半S平面的共轭极点对应增长的振荡,虚轴上的共轭极点对应时间函数为等幅振荡实轴上的极点对应时间函数按极点的阶数不同,具有e-at,te-at,…的函数形式f(t)<-->F(s)f(t)由F(s)的极点,零点所94

实极点之一

前一页后一页jw1/s1/s21/s3(t)t2(t)t(t)0t(t)10tt(t)0tt2(t)1 实极点之一 前一页后一页jw1/s1/s21/95实极点之二

前一页后一页jw1/(s+a)a>0e-at(t)0t0t11/(s-a)a>0-aeat(t)jwa实极点之二 前一页后一页jw1/(s+a)e-at96虚轴上的共轭极点前一页后一页jwjw0-jw0jwjw0-jw0tt虚轴上的共轭极点前一页后一页jwjw0-jw0jwjw097

左、右半S平面的共轭极点前一页后一页jwjw0-jw0-ajwjw0-jw0ajwjw0-jw0-attt 左、右半S平面的共轭极点前一页后一页jwjw98拉普拉斯变换在控制工程中的应用复频域分析法:利用拉氏变换分析系统.前一页后一页求解微分方程微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。求传递函数拉普拉斯变换在控制工程中的应用复频域分析法:利用拉氏变换分析99{x(0)}y(t)f(t)前一页后一页y(t)=T[f(t)]微分方程y(t)拉氏变换Y(s)=N[F(s)]代数方程Y(s)表达式拉氏反变换初始条件一、微分方程的变换解{x(0)}y(t)f(t)前一页后一页y(t)=T[f(t100例:解:前一页后一页求全响应y(t)例:解:前一页后一页求全响应y(t)101前一页后一页前一页后一页102前一页后一页自由响应强迫响应由系统的特征根(固有频率)确定自由响应:强迫响应:由F(s)的极点确定,所以与f(t)的函数形式确定Re[Si]<0,瞬态响应稳态响应前一页后一页自由响应强迫响应由系统的特征根(固有频率)确定自103前