统计学第10章.电子教案教学课件

第十章时间序列分析

时间序列分析概述

时间序列的分析指标长期趋势的测定

季节变动和循环变动测定时间序列预测方法Excel在时间序列分析中的应用第一节时间序列分析概述时间序列的概念时间序列的种类时间序列的编制方法一、时间序列的概念社会经济现象总是随着时间的推移而变化,将不同时间上社会经济现象的统计指标按时间顺序排列后形成的序列就称为时间序列。时间序列也称为动态序列,描述现象发展变动的过程。分析时间序列可以掌握社会经济现象发展变化的过程,揭示其规律性,用以预测其未来发展趋势。表10-1列举了四个时间序列,分别反映我国2004—2013年城乡居民储蓄存款年底余额及年增加额、城镇居民家庭人均可支配收入及恩格尔系数。指标年份城乡居民人民币储蓄存款年底余额/亿元城乡居民人民币储蓄存款年增加额/亿元城镇居民家庭人均可支配收入/元城镇居民家庭恩格尔系数/%2004119555.3915937.749421.637.72005141050.9921495.6010493.036.72006161587.3020544.0011759.535.82007172534.1910946.9013785.836.32008217885.3545351.1615780.837.92009260771.6642886.3117174.736.52010303302.4942530.8419109.435.72011343635.8940333.3921809.836.32012399551.0055915.2024564.736.22013447601.5748050.5626955.135.0表10-1

我国2004—2013年城乡居民储蓄和收入的时间序列资料来源:国家统计局,《中国统计年鉴2014》。通过表10-1可以看出,一个时间序列由两个基本要素构成:一个是现象所属的时间;另一个是反映该现象在一定时间条件下数量特征的指标值。在表10-1所列的时间序列中,现象所属的时间是以年为单位。时间序列也可以是以季、月、日等为单位,但在同一时间序列中,各指标值的时间单位一般要求相同,这样在分析研究中可以无须考虑时间单位不同所造成的差异。二、时间序列的种类时间序列按其统计指标的性质不同,可分为总量指标时间序列、相对指标时间序列和平均指标时间序列3种类型。总量指标时间序列也称绝对数时间序列,是基础序列;相对指标和平均指标时间序列是派生序列。(一)总量指标时间序列总量指标时间序列反映的是被研究现象总水平(或总规模)的发展变化过程,即时间序列是由现象在各时间的总量指标值构成的。例如,表10-1中各年的“城乡居民人民币储蓄存款年底余额”和“城乡居民人民币储蓄存款年增加额”两个时间序列就是总量指标时间序列。根据总量指标反映现象的时间状况不同,总量指标时间序列又可分为时期指标时间序列和时点指标时间序列。1.时期指标时间序列时期指标时间序列是由一系列时期指标形成的,序列中的每个指标数值都是反映某种社会现象在一段时期内发展过程的总量,简称时期序列。例如,表10-1中“城乡居民人民币储蓄存款年增加额”就是时期序列,各时期的长度为1年。2.时点指标时间序列时点指标时间序列是一系列时点指标形成的,序列中每个指标数值都是反映现象在某一时点(刻)上所达到的状态或水平,简称时点序列。例如,表10-1中各年的“城乡居民人民币储蓄存款年底余额”就是一个时点序列,它反映了在各年底这一时刻上存款的总额。时点序列没有时期,只有间隔,该时点序列的间隔为1年。3.时期序列与时点序列的不同特点时期序列中的每个指标数值,都反映现象在一定时期内发展过程的总量。而时点序列中的每个指标数值,则反映现象在某一时点上的总量。二者的不同主要体现在以下3个方面:第一,时期序列各时期指标数值可以相加,相加的结果有实际的意义;时点序列中的各指标数值除非计算过程需要相加,一般不能相加,相加的结果无实际意义。第二,时期序列中,每个指标数值的大小与时期的长短有关;时点序列中,每个指标数值的大小与时间的间隔长短无直接关系。第三,时期序列的每个指标数值,是跟随现象发展过程作连续登记得到的;时点序列中的每个指标数值,是采用间断统计的方式获得的。将现象某一相对指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列形成的序列,称为相对指标时间序列,它反映被研究现象数量对比关系的发展变化过程。如表10-1中“城镇居民家庭恩格尔系数”就是一个相对指标时间序列。相对指标时间序列中各时间的指标值是不能加总的。(二)相对指标时间序列(三)平均指标时间序列将现象某一平均指标在不同时间的数值按时间先后顺序排列形成的序列,称为平均指标时间序列,它反映现象平均水平的发展趋势。如表10-1中“城镇居民家庭人均可支配收入”就是一个平均指标时间序列。平均指标时间序列中各时间上的指标值也是不能加总的。三、时间序列的编制方法编制时间序列,最重要的是遵循可比性原则。所谓可比性,指的是序列中对应于不同时间的指标值可以相互比较,符合这一性质的时间序列才能够正确反映社会经济现象的变动过程和规律。具体地说,可比性包含以下方面:时间长短一致,经济内容一致,总体范围一致,计算方法与计量单位一致。表10-2中时间序列的编制就不符合可比性原则。首先时期的长短直接决定了指标值的大小,时期长短不同,指标值便不可比。其次,虽然时点序列指标值的大小与时点间隔长短没有直接关系,但保持相同的时点间隔才能准确地反映现象的变化状况。本例中“国内生产总值”是时期序列,指标值所对应的时期长短不同;“年末总人口”是时点序列,指标值所对应的时点间隔的长短也不相同。年份1978—19801981—19901991—20002001—20102011—2013国内生产总值/亿元12269.5105849.661992722714071606265年份19801990200020102013年末总人口/万人9625998705114333126743134091表10-2

国内生产总值时间序列和年末总人口时间序列数据第二节时间序列的分析指标时间序列分析的水平指标时间序列分析的速度指标

水平分析与速度分析的结合与应用一、时间序列分析的水平指标(一)发展水平时间序列中与其所属时间相对应的反映某种现象发展变化所达到的规模、程度和水平的指标数值就称为发展水平。例如,表10-1中,2011—2013年我国城镇居民家庭人均可支配收入分别是21809.8元、24564.7元、26955.1元,说明这3年我国城镇居民家庭人均可支配收入所达到的规模和水平。发展水平既可以是总量指标的数值,也可以是相对指标和平均指标的数值。时间序列中各时间的指标值一般用yi表示(i=1,2,…,n)。其中,i表示时间,n为时期序列的项数。yi即是时间序列中第i期的发展水平。按在时间序列中先后顺序的不同,发展水平又分为最初、中间和最末3种水平。第一个指标值y1叫最初水平;最后一个指标值yn叫最末水平;中间各项数值y2,y3,…,yn-1叫中间水平;所要研究的那个时期的发展水平,称为报告期水平,又称为计算期水平;用作对比基础的时期的发展水平,称为基期水平。(二)平均发展水平将一个时间序列各期发展水平加以平均而得的平均数,叫平均发展水平,又称为动态平均数或序时平均数。序时平均数与一般平均数(静态平均数)区别在于:序时平均数是根据动态序列计算的,表明了被研究现象本身在一段时间内发展变化的一般水平,反映的是被研究现象本身的数量在不同时间上的差异;静态平均数是根据同一时期(静态)的变量序列计算的,说明了总体各单位某个标志值在特定的时间下的一般水平,反映的是总体各单位在某一标志值上的差异。按照时间序列中指标的性质不同,时间序列平均发展水平的计算方法也不尽相同。1.总量指标时间序列序时平均数的计算

(2)时点序列的序时平均数从理论上讲,要准确计算时点序列的序时平均数,应当掌握现象在每一时点上的数据。即以“天”为最小的时间单位,时间序列的发展水平应是每天的指标值,则这种序列被称为连续时点序列。但实际上,时点序列大多是间断统计得到的,其时点是有间隔的,这样的时间序列被称为间断时点序列。根据掌握资料的情况不同,时点序列序时平均数的计算方法也有所不同。①连续时点的情况。若掌握的资料是每日的指标值,即为连续时点序列,用简单算术平均数计算序时平均数即可。例如,得知某只股票连续五天的收盘价,要计算这五日的平均收盘价,用式(10.1)计算即可。日期3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日收盘价/元7.216.717.518.217.8【例10-2】根据表10-3中某只股票连续五个交易日的收盘价资料,计算该股票这五日的平均收盘价。股票收盘价是时点数据,某只股票连续五个交易日的收盘价即为连续时点序列。根据式(10.1),该股票这五个交易日平均收盘价为:y=7.2+16.7+17.5+18.2+17.85=15.48(元)表10-3

某只股票2014年3月2日—3月6日的收盘价-

【例10-5】某单位3月份产品的库存量变化情况如表10-4所示。求3月份该单位产品的平均库存量是多少?表10-4某单位3月份库存量单位:件日期3月1日3月13日3月16日3月25日库存量218120206116

2.相对指标或平均指标时间序列序时平均数的计算(1)相对指标时间序列序时平均数的计算相对指标是两个总量指标的对比,因此相对指标时间序列可能是两个时期序列或两个时点序列的对应项对比的结果,也有可能是时期和时点序列对应项对比的结果。在计算相对指标时间序列的序时平均数时,应当先分清分子、分母的时间序列分别是时期序列还是时点序列,是间断相等还是间隔不相等,然后分别求出用来对比的分子指标时间序列和分母指标时间序列的序时平均数,再进行对比。

(2)平均指标时间序列序时平均数的计算平均指标也是由两个总量指标对比得到的,因此其时间序列序时平均数的计算方法同相对指标时间序列序时平均数的计算方法是一致的,也有三种情况,关键还是区分分子指标和分母指标是时期指标还是时点指标,再分别按不同的时间序列序时平均数的计算方法进行计算。(三)增长量指标增长量也称为增长水平,是表明某种现象在一段时期内增长的绝对量。它等于报告期水平与基期水平之差,即

增长量=报告期水平-基期水平

增长量有正负之分,若为正值表明增加,若为负值表明减少,故又称为增减量指标。根据基期确定方法的不同,增长量可分为逐期增长量和累积增长量。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差,用公式表示为:逐期增长量=报告期水平-前一期水平

=yi-yi-1

(i=2,3,…,n)(10.6)1.逐期增长量2.累积增长量累积增长量是报告期水平与某一固定时期水平(通常是时间序列最初水平)之差,用公式表示为:

累积增长量=yi-y1

(i=2,3,…,n)(10.7)不难看出,同一时间序列中,累积增长量等于相应时期逐期增长量之和,即yi-y1=(y2-y1)+(y3-y2)+…+(yi-yi-1)

(i=2,3,…,n)(10.8)同样,相邻的两个累积增长量之差等于相应的逐期增长量,即(yi-y1)-(yi-1-y1)=yi-yi-1

(i=2,3,…,n)(10.9)3.年距增长量对于按月(季)编制的时间序列,为了消除季节变动的影响,还可以计算年距增长量。它等于本期发展水平比上年同期发展水平增加(减少)的数量,即

年距增长量=报告期水平-上年同期水平(四)平均增长量指标

【例10-6】根据表10-5的资料计算2014年7月—2014年12月我国天然原油产量的逐期增长量、累积增长量以及年平均增长量(以2014年6月的指标值作为累积增长量的固定水平)。表10-5

2014年6月—2014年12月我国天然原油产量指标2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月天然原油产量当月值/万吨1750.21734.21748.81715.91793.61763.01832.3解:按式(10.6)和式(10.7)计算的逐期增长量和累积增长量如表10-6所示。若2013年12月的天然原油产量为1789.9万吨,则2014年12月的年距增长量为:

1832.3-1789.9=42.4(万吨)表10-6

2014年7月—2014年12月我国天然原油产量的逐期增长量和累积增长量指标2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月天然原油产量当月值/万吨1750.21734.21748.81715.91793.61763.01832.3逐期增长量/万吨

-1614.6-32.977.7-30.669.3累积增长量/万吨

-16-1.4-34.343.412.882.1

二、时间序列分析的速度指标

3.环比发展速度与定基发展速度的关系

4.年距发展速度

【例10-7】根据表10-7的资料,计算2014年7月—2014年12月我国发电量当月值的环比发展速度和定基发展速度。指标2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月发电量当月值/亿千瓦小时4580.75047.94959.34541.74446.44487.24902.2表10-7

2014年6月—2014年12月我国发电量的当月值指标2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月发电量当月值/亿千瓦小时4580.75047.94959.34541.74446.44487.24902.2环比发展速度

1.101990.982450.915790.979021.009181.09249定基发展速度

1.101991.082650.991490.970680.979591.07019解:按式(10.12)和式(10.13)计算的各年环比发展速度和定基发展速度如表10-8所示。若2013年12月的发电量为4779.6亿千瓦小时,则年距发展速度为:

4902.2/4779.6=1.026表10-8

2014年7月—2014年12月我国发电量的环比发展速度和定基发展速度(二)增长速度

从发展速度与增长速度的定义不难看出,二者有着密切的关系,是一个问题的两种说明,它们之间相差一个基数(1或者100%)。发展速度没有正负数值之分,只有大于1或小于1之分。增长速度则有正负值之分:当发展速度大于1,则增长速度为正值,表示现象的发展水平是递增的;当发展速度小于1,则增长速度为负值,表示现象的发展水平是递减的;当发展速度等于1,则增长速度为0,表示现象的发展水平维持不变。

1.环比增长速度2.定基增长速度

3.年距增长速度

【例10-8】根据表10-7的资料,计算2014年7月—2014年12月我国发电量当月值的环比增长速度和定基增长速度,结果列于表10-9中。表10-9

2014年7月—2014年12月我国发电量当月值的环比增长速度和定基增长速度指标2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月发电量当月值/亿千瓦小时4580.75047.94959.34541.74446.44487.24902.2环比增长速度

0.10199-0.0176-0.0842-0.0210.009180.09249定基增长速度

0.101990.08265-0.0085-0.0293-0.02040.07019

(三)平均发展速度和平均增长速度平均速度指标有平均发展速度和平均增长速度两种。前者说明某种现象在一段较长时间内逐期变化发展的一般程度,后者说明某现象在一段较长时间内逐期增长或降低的一般程度。平均增长速度与平均发展速度也同样仅相差一个基数,即

平均增长速度=平均发展速度-1平均发展速度是一定时期内各期环比发展速度的序时平均数,常用的计算方法有几何平均法和高次方程法。1.几何平均法

【例10-9】根据表10-10中我国2008—2013年城镇居民人均总收入指标值,用几何平均法计算这期间的平均发展速度和平均增长速度,并预测2020年我国城镇居民人均总收入能达到什么水平。表10-10我国2008—2013年城镇居民人均总收入指标2008年2009年2010年2011年2012年2013年城镇居民人均总收入/元17067.818858.121033.423979.226959.029547.1

2.高次方程法

在具体的统计分析中,几何平均法与高次方程法两者是有区别的。几何平均法和高次方程法的数理论据、计算方法和应用条件有所不同。几何平均法的侧重点是从最末水平出发来进行研究,按照几何平均法所确定的平均发展速度推算的最末一年发展水平,与实际资料最末一年的发展水平相同。高次方程法的侧重点则是从各年发展水平的累计总和出发来进行研究的,按照高次方程法所确定的平均发展速度推算的全期各年发展水平的总和,与全期各年的实际发展水平的总和相同。几何平均法既适用于时期数列,又适用于时点数列;而高次方程法一般适用于时期数列。我国制定国民经济发展长期计划,大致也有两种规定指标数值的方法。一种是以长期计划的最后一年应达到的水平来规定,如人口数、国内生产总值、工业主要产品产量、社会消费品零售总额等。另一种是以整个计划期应达到的累计数来规定,如固定资产投资额等。在计算平均发展速度时,前者应采用几何平均法,后者应采用高次方程法。三、水平分析与速度分析的结合与应用在进行实际的动态分析时,有两点需要特别注意:第一,如果资料中有几年的环比增长速度特别快,而有几年又是负增长,出现显著的悬殊和不同的发展方向,或者所选择的最初水平和最末水平受特殊因素的影响过高或过低,则用这样的资料来计算平均发展速度,就会降低甚至失去指标的代表意义和实际分析意义。因此,要联系各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度。第二,要结合基期水平进行分析。因为发展速度是报告期水平除以基期水平而得,从数量关系来看,相同的报告期水平,基期水平低,速度就高;基期水平高,速度就低。因此,速度高可能掩盖低水平,而速度低可能隐藏着高水平,要结合“增长1%的绝对量”指标来兼顾速度与水平。

【例10-10】根据表10-7的资料,计算2014年7月—2014年12月我国发电量当月值的增长1%的绝对量,结果列于表10-11中。表10-11

2014年7月—2014年12月我国发电量当月值增长1%的绝对量指标2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月发电量当月值/亿千瓦小时4580.75047.94959.34541.74446.44487.24902.2增长1%的绝对量/亿千瓦小时

45.80750.47949.59345.41744.46444.872第三节长期趋势的测定时间序列的构成与分解长期趋势的测定方法一、时间序列的构成与分解(一)时间序列的构成在统计分析中,一般按作用特点和影响效果将影响时间序列变动的因素归为四大类,即趋势变动(T)、季节变动(S)、循环变动(C)和随机变动(I)。相应的时间序列的变动可以看作是这四类因素所导致的变动叠加在一起的结果。1.趋势变动趋势变动也称为长期趋势,指现象在发展变化过程中由于受到某种固定的、起根本性作用的因素的影响而在较长时间内展现出来的总态势。它具体表现为不断增加或减少的趋势,或者围绕某一常数值波动而无明显增减变化的水平趋势。如我国城镇居民人均总收入呈现长期递增的趋势。2.季节变动季节变动是指现象在一年内由于受社会、政治、经济、自然等因素的影响,形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动。季节变动一般以年为周期,但也可推广到小于一年的任意时间间隔为周期的时间序列中(如以小时、天、星期、月为周期)。季节变动是一种极为普遍的现象,农业生产、交通运输、建筑业、旅游业、商品销售以及工业生产中都有明显的季节变动规律。如每逢节假日,我国的客运量、旅游业的收入等都出现一个高峰等。特别需要注意的是,由于季节变动的最大周期是一年,因此年度资料的时间序列不含季节变动。3.循环变动循环变动是指现象围绕长期趋势出现的以若干年为周期、有涨有落的周期性运动。循环变动与季节变动有着本质的区别:季节变动的周期小于一年并且有固定的周期;循环变动的周期大于一年并且规律性较低,通常较难识别。循环变动的一个重要例子就是经济增长中出现的繁荣—衰退—萧条—复苏—繁荣的周而复始的运动。4.随机变动随机变动指现象由于各种偶然因素的影响而呈现的不规则运动,它们是时间序列分析中无法由以上三种变动解释的部分,因此也称为剩余变动。(二)时间序列的分解在进行时间序列分析时,通常以长期趋势值(T)为绝对量基础,再根据季节变动(S)、循环变动(C)及随机变动(I)对时间序列(Y)的影响是否独立,建立两种组合模型,即加法模型和乘法模型。1.加法模型:Y=T+S+C+I加法模型假定四类变动是相互独立的,对时间序列的影响程度以绝对数表示,时间序列各期的指标值是各类变动对时间序列影响的绝对量之和。2.乘法模型:Y=T×S×C×I乘法模型假定四类变动之间存在交互作用,时间序列各期指标值是长期趋势值(T)与其他变动影响比率的乘积。其中,长期趋势仍是绝对数形式,其他各类变动对时间序列各期指标值的影响程度以相对数的形式表示,各个时间上的季节变动和循环变动数值在100%上下波动,且在它们各自的一个周期范围内,其平均值为100%;不规则变动值也是在100%上下波动,但只有从长时间来看其平均值才趋于100%。这种相对数形式亦可称为比率或指数,如季节指数或者季节比率。

二、长期趋势的测定方法长期趋势是现象发展过程中由其本质因素决定的,因此研究长期趋势可以掌握现象发展最基本的规律性,从而对其未来发展趋势作出预测。定长期趋势而后将其从时间序列中剔除,利于更好地分析其他影响因素的变动规律。常用的测定长期趋势的方法主要有移动平均法和趋势模型法。(一)移动平均法移动平均法是测定时间序列趋势变动的基本方法。具体做法是在时间序列中按一定的间隔长度逐期移动,并计算出各间隔期内各期指标的平均数,以此作为各间隔中间项的趋势值,通常称作各期的中心化移动平均数。由于在加总平均的过程中随机因素的影响会相互抵消,因此中心化移动平均数就显示了现象由其本质因素所决定的趋势值。根据所平均的项数是奇数还是偶数,移动平均法又可分为奇数项移动平均和偶数项移动平均。1.奇数项移动平均法

2.偶数项移动平均数法

在利用移动平均法分析趋势变动时,有以下问题需要特别注意:第一,移动平均项数(N)的确定是能否准确进行趋势测定的关键。N的取值太小,则不能完全消除序列中短期偶然因素的影响,从而不能较好地反映现象发展的变动趋势。N的取值越大,则所得的移动平均数对时间序列的修匀作用越强,所反映的趋势越明显。但若N的取值过大,则反映趋势变化的能力下降,甚至会脱离现象发展的真实趋势。第二,一般来说,若原时间序列中包含季节变动或循环变动等周期性因素的影响,则N的取值应等于周期的长度,这样所得的移动平均数既能消除周期性变动的影响,也能消除随机变动的影响。

【例10-11】根据表10-12中我国2012年第一季度—2014年第四季度的国内生产总值,分别进行3项和4项移动平均。表10-12我国2012年第一季度—2014年第四季度国内生产总值及其移动平均数时间国内生产总值_当季值(亿元)中心化移动平均数N=3N=42012年第1季度116147.9

2012年第2季度130765.8127878.9133530.8

2012年第3季度136722.9139325136514.7135022.72012年第4季度150486.4138430.9139581.2138047.92013年第1季度128083.5140533.9143080.4141330.82013年第2季度143031.8140611.7147004.7145042.52013年第3季度150719.8153311.7149674.8148339.72013年第4季度166183.6151889.1152728.9151201.82014年第1季度138763.8153398.6155869.2154299.12014年第2季度155248.4152431.1158977.6157423.42014年第3季度163281.1165715.5

2014年第4季度178616.9

从表10-12中可以看出,3项移动平均首尾各少1项趋势值,4项移动平均首尾各少2项趋势值。将表10-12中的3项、4项移动平均后的趋势值作折线图(见图10-2)从图中可以看出,移动项数越大,修匀效果越明显。另外,因为是季度数据,4项移动平均消除了季节变动的影响,因此其趋势值接近线性,更好地揭示了国内生产总值变化的长期趋势。图10-2

12个季度我国国内生产总值及其移动平均数的折线图(二)趋势模型法趋势模型法是根据时间序列长期趋势的表现形态,建立一个合适的趋势方程来描述现象各期指标值随时间变动的趋势规律性,并据此进行各期趋势值测定的方法。基本步骤如下:第一,选取合适的模型。时间序列中长期趋势的表现形态是多种多样的,有线性形态也有非线性形态,因此所配合的趋势模型有直线模型也有各种曲线模型。它们相互区别的本质是所描述的现象(yt)随时间(t)的变化有不同的变化率。第二,估计模型参数。趋势模型的形式确定之后,估计模型参数值即可得到时间序列各期的趋势测定值。趋势模型中的自变量是时间t,t一般按时期的先后顺序取值为1,2,…,n(n为时间序列的时期数);因变量则是时间序列的指标值yt(t=1,2,…,n)。第三,计算趋势变动测定值。将各期时间t的取值代入已估计出参数的趋势模型,得出的因变量数值就是相应时期的趋势变动测定值。1.线性趋势模型

估计线性趋势模型中参数a、b通常采用最小二乘法,其计算公式与直线回归方程中参数的计算公式相同,即计算公式为:

(10.25)

表10-13我国2002—2013年城镇居民人均可支配收入、趋势值及残差年份t观测值(yt)残差200217702.85881.0181821.782200328472.27645.521826.679200439421.69410.02411.5762005410493.011174.53-681.5272006511759.512939.03-1179.532007613785.814703.53-917.7332008715780.816468.04-687.2362009817174.718232.54-1057.842010919109.419997.04-887.64220111021809.821761.5548.25520121124564.723526.051038.65220131226955.125290.551664.549将表10-13中时间序列的实际值与趋势值绘制成图10-3。图10-3我国2002—2013年城镇居民人均可支配收入及其线性趋势2.非线性趋势模型

(2)指数曲线

把各时期的t值代入模型即可求出各期的趋势测定值,如表10-14第⑤栏所示。当然,第⑤栏的趋势值也可通过对第④栏各期对数估计值求反对数得到。把测定出的趋势值即第⑤栏的数据绘成图(见图10-4),可以看出,用指数曲线模型测定的趋势值与原各期指标值的拟合程度较好,因此用该指数曲线模型能较准确地反映我国1990—2013年社会消费品零售额的增长趋势。图10-4我国社会消费品零售总额趋势值第四节季节变动和循环变动测定季节变动的测定方法循环变动的测定方法不规则变动的测定方法一、季节变动的测定方法进行季节变动的测定,首要目的是掌握现象在一年中各季度或月份的数值受季节性因素影响的程度,以便更好地指导当前各种经济活动的进行。其次,根据季节变动的规律性,结合长期趋势,可以进行经济预测,规划未来的行动。最后,对季节变动的影响程度进行测定,也是为了能够剔除季节变动对时间序列的影响,更好地研究现象发展变化的长期趋势或其他方面的规律性。季节变动测定的基本思路是:设各种变动因素是以乘法模型进行组合形成时间序列,则以时间序列中不含季节变动的长期趋势值为衡量基准,计算加入季节变动后各期的指标值与原趋势值的比率,以此衡量各期指标值受季节变动影响的程度。若时间序列的变动中只有趋势变动而不含季节变动,则各期指标值与长期趋势值的比率应为100%;若时间序列在趋势变动的基础上加上季节变动的影响,则各期指标值会偏离长期趋势值,相应的各期指标值与长期趋势值的比率会大于或小于100%。与100%的离差越大,说明该期指标值受季节因素影响的程度越大。由于季节变动是一种各年变化强度大体相同且每年重现的有规律的变动,因此从理论上讲,各年同期(月或季)的指标值与趋势值的比率应基本相同,其差异是随机因素作用的结果,从而可以通过对各年同期的比率分别求平均来消除随机变动的影响。相应的平均数就称作一年内各期的季节指数,用S表示。如果所分析的是以月份为时期的时间序列,则相应地就有12个月的季节指数,分别表示一年内各月的指标值受季节性因素影响的程度。(一)同期平均法同期平均法的基本原理是:通过对多年的同期数据进行简单算术平均,以消除各个季节周期上的不规则变动,再与水平趋势值(全部数据的总平均数)对比,得到季节指数,用以表明季节变动的规律。具体来说,同期平均法还可分为直接按月(季)平均法和比率按月(季)平均法两种。1.直接按月(季)平均法

【例10-14】某企业产品销售收入的季度数据如表10-15所示,试用直接按月(季)平均法计算各季度的季节指数。表10-15某企业产品销售收入

单位:亿元季度年份12342009129.32248.82408.30560.432010168.77346.81578.36777.882011205.12424.14696.85927.072012236.85480.28778.721014.83

表10-16采用直接按月(季)平均法的季节指数计算表单位:亿元季度1234同季度合计740.061500.052462.233280.21同季度平均185.02375.01615.56820.05季节指数/%37.0875.17123.38164.37同期平均法计算的季节指数实质上表示:从多个季节周期平均来看,各季节水平相对于平均水平的相对变化程度。季节指数Si大于100%,表示所研究现象在第i期处于旺季;反之,季节指数Si小于100%,表示第i期是个淡季。从表10-16的计算结果可以看出,该企业产品销售的旺季是三季度和四季度,其中产品销售最旺的是四季度,该季度的销售收入相当于全年平均销售收入的164.37%;销售收入最低的是一季度,其销售收入只相当于全年平均销售收入的37.08%。从根据各季度产品销售收入数据绘制出的折线图(见图10-5)可以看出,销售收入的季节变动与季节指数所反映的规律是一致的。图10-5某企业产品销售收入的折线图2.比率按月(季)平均法

【例10-15】根据表10-15,用比率按月(季)平均法计算某企业产品销售收入各季度的季节指数。解:计算过程和结果如表10-17所示。季度年份1234季度平均20090.3840610.7389581.2125891.664392120100.3606540.7411181.2359311.662297120110.3641430.7529621.2370961.645798120120.3773480.7651791.2406521.6168211季节指数(Si)/%37.1574.96123.157164.731表10-17采用比率按月(季)平均法的季节指数计算表单位:亿元3.季节指数及其调整

若计算结果不满足式(10.31),就需要对其进行调整(即归一化处理)。这种调整实质上就是将误差平均分摊到各期季节指数中去。调整方法是:用各项季节指数除以全部季节指数的均值。或者说,将所求的各项季节指数都乘以一个调整系数,即可得到最终所求的季节指数。此调整系数的公式为:

(10.32)可以证明,同期平均法计算的季节指数应该是自动满足关系式(10.31)的。同期平均法是计算季节指数最简单的方法,计算结果也容易理解。但它只适用于时间序列近似呈水平趋势的情况。若时间序列呈现出明显的上升或下降趋势,则同期平均法计算的季节指数就不够准确了。比如,当存在上升趋势时,即使完全没有季节变动,按同期平均法计算,年末季节指数也会大于年初季节指数。所以,当现象呈现出明显上升趋势,按同期平均法计算时,总会高估年末季节指数,而低估年初季节指数;相反,若现象呈现明显的下降趋势,则会高估年初季节指数,而低估年末季节指数。为了避免这种局限性,测定季节变动时就应先剔除长期趋势。(二)移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法的基本原理是:假定时间序列有明显的上升或下降趋势,首先测定出时间序列各期的趋势值;其次设法从原序列中消除趋势成分;最后再通过平均的方法消除不规则变动,从而测定出季节变动规律。长期趋势的测定可用移动平均法,也可用趋势方程拟合法,还可以先采用移动平均法修匀时间序列,再采用趋势方程拟合法。但在计算季节指数的过程中,测定长期趋势最简便、最常用的方法是移动平均趋势剔除法。移动平均趋势剔除法计算季节指数的具体方法和步骤如下:第一,计算移动平均值(M)对原序列计算平均项数等于季节周期(L)的中心化移动平均值。通过这样的移动平均可消除原序列中的季节变动(S)和不规则变动(I)。若序列不包含循环变动即Y=T·S·I,则所求移动平均值就作为长期趋势值,即M=T。假定时间序列也包含循环变动即Y=T·S·C·I,则所求移动平均值包含着趋势和循环变动,即M=T·C,可称之为趋势—循环值。

【例10-16】某公司近4年来各季度的产品销售额数据如表10-18所示,试用移动平均趋势剔除法计算各季度的季节指数。表10-18某公司的产品销售额单位:万元季度年1234第1年5144.438968.7810785.5317796.95第2年4404.646606.588196.9915040.07第3年4738.967451.088696.4011856.87第4年3595.824933.545909.928855.79解:根据表10-18的数据,计算4项中心化移动平均值(M),并计算趋势(或趋势—循环)剔除值(Y/M),计算结果如表10-19所示。表10-19趋势值和趋势剔除值计算表年季度销售额(Y)/万元4项中心化移动平均值(M)趋势剔除值(Y/M)第1年15144.43

28968.78

310785.5310581.4501.019287417796.9510193.7001.745877第2年14404.649574.8580.46002126606.588906.6800.74175638196.998603.8600.952711415040.078751.2131.718627第3年14738.968919.2010.53132127451.088583.7280.86804738696.408042.9351.081247411856.877585.3501.563128第4年13595.826922.3480.51945124933.546198.9030.79587335909.92

48855.79

为便于计算,先将表10-19中的趋势剔除值按季度对齐排列,如表10-20所示。计算同季度平均数得到季节指数,由于4个季度的季节指数总和接近4,因此不需要调整。表10-20

季节指数计算表季度年1234第1年

1.01931.7459第2年0.46000.74180.95271.7186第3年0.53130.86801.08121.5631第4年0.51950.7959

平均0.50360.80191.01771.6759季节指数/%50.3680.19101.77167.59可见,该公司产品的销售第四季度是旺季,第一和第二季度是淡季,第三季度相当于全年的平均水平。计算出季节指数后,可用于预测,也可以用于从原时间序列中分离出季节变动,以便更清晰地显示其他因素的变化形态。测定和分析循环变动的主要目的是认识和掌握现象循环变动的形态,预见下一个循环周期可能产生的影响,从而对好的影响加以利用,不利的影响加以遏制。可以借鉴季节变动测定的方法,从时间序列中剔除趋势变动、季节变动,再消除随机变动,从而得到反映循环变动影响程度的循环指数。这种方法也称作剩余法。(二)循环变动的测定【例10-17】根据表10-21中第②栏我国2000—2014年各季度国内生产总值的数据,用剩余法进行循环变动的测定。具体步骤如下:表10-21我国2000—2014年国内生产总值循环变动的测定（节选）年/季度时间(t)国内生产总值Y=T·S·C·I/亿元季节指数(S)Y/S=T·C·I⑥的趋势值(T)C·I=Y/S·T循环指数(C)不规则变动

①②③④=②/③⑤⑥=②/⑤⑦⑧=⑥/⑦⑨=⑧的13项移动平均⑩=⑧/⑨2000/1120797.1

0.38606453869.5151788.231.040188

2244094.3

0.77518056882.6353654.371.060168

3368607.158655.0251.1696711.16611658833.8655587.761.058396

4499776.359645.93751.6728101.66948459764.7557590.811.037748

第三步,对第⑧栏的数值进行移动平均,以消除随机变动的影响,从而得到各期相应的循环指数C。为了更好地消除随机变动,可以按不同的项数进行平均,取其中修匀效果较好的一个。这里取的移动平均项数为13,所得的中心化移动平均数列于第⑨栏。同季节变动的分析一样,可以通过比较循环指数与100%的偏差程度,来衡量循环变动的程度。对第⑨栏的循环指数绘图,如图10-7所示,显示了明显的循环变动特征。图10-6第⑦栏的趋势值和第⑥栏剔除了季节变动的指标值图10-7我国国内生产总值的循环指数三、不规则变动的测定方法不规则变动是由随机的偶然因素引起的变动,是趋势变动、季节变动和循环变动不能解释的部分。在乘法模型中,不规则变动同样可用剩余法来测定,即利用已经计算得到的仅包含循环变动C和不规则变动I的数据资料(C×I),除以循环变动指数C,就可得到随机变动指数I。

图10-8各季度的不规则变动指数第五节时间序列预测方法趋势外推法自回归预测法移动平均预测法和指数平滑法

一、趋势外推法所谓趋势外推法,就是利用趋势模型去预测现象在未来时间上的长期趋势值。趋势外推法简单方便,不依赖任何其他数据。只需按原来的时间顺序将预测期的时间变量值t代入趋势方程中,即可计算出预测期的趋势值。但该方法假定影响现象长期趋势的基本因素在预测期仍然起着同样的作用,所以现象的长期趋势随时间推移而变化的数量关系可延伸到预测期。因此实际应用中,须认真分析影响长期趋势的基本因素是否会出现显著变化,且须注意的是外推的时间不宜太远。

二、自回归预测法

三、移动平均预测法和指数平滑法(一)移动平均预测法移动平均预测法就是用移动平均值作为下一期的预测值。其思想是假定时间序列的变动是平稳的,则可通过对若干期指标值求平均来消除或减少时间序列由于偶然因素所造成的短期波动。移动平均预测法具体来说又分为简单移动平均预测和加权移动平均预测两种。1.简单移动平均预测

2.加权移动平均预测

值得注意的是,移动平均预测法只有一期的预测能力,若要进行多期预测,则必须对预测值再计算移动平均数,这可能产生预测误差的积累。加权移动平均预测法中权数的选择也具有较大的随意性,因此,预测的准确性较差。

表10-22

1996—2013年我国粮食产量及其预测值（节选）

单位:万吨年份时间(t)粮食产量(yt)1996150453.50

1997249417.10

1998351229.53

1999450838.5850366.7150496.052000546217.5250495.0750731.982001645263.6749428.5448593.212002745705.7547439.9246510.772003843069.5345728.9845643.692004946946.9544679.6544313.9620051048402.1945240.7445447.6120061149804.2346139.5647028.3320071250160.2848384.4648860.6720081352870.9249455.5749748.5820091453082.0850945.1451456.2620101554647.7152037.7652524.73(二)指数平滑法指数平滑法也称为指数修匀预测法,是通过计算一系列指数平滑值来消除不规则变动,以反映时间序列的长期趋势。这种方法既可以直接用于预测,也可以用于估计预测模型的参数。按修匀次数的多少指数平滑法又可以分为一次指数平滑、二次指数平滑、三次及多次指数平滑。1.一次指数平滑法

第二,平滑系数α的确定。平滑系数α取值的大小关系着预测的准确性。若时间序列平稳度较高,则各期指标值对预测值的影响应较平均,各期权数α(1-α)i的衰减速度就应小些,那么平滑系数α就要取较小值,一般取0.1<α<0.3。若时间序列的波动幅度较大,则远期值对预测值的影响应比较小,此时的平滑系数α就要取较大值,一般取0.4<α<0.9。这样才能使得各期权数α(1-α)i的衰减速度较大,弱化远期值的影响,以提高预测值随近期数据变化的敏感程度。在实际操作中,没有什么标准来决定α的正确取值,所以一般需要多试几种不同的α值。分别计算时间序列现有的各期数据的预测值,再取预测误差最小的α值建立指数平滑模型进行预测。第三,指数平滑法也只有一期的预测能力,若要进行多期预测,同样可能产生预测误差的积累。2.二次指数平滑法

同理可得各期的一次指数平滑预测值,如表10-23第④栏所示。表10-23某地区1996—2013年房地产开发投资额及预测值

单位:亿元年份时间(t)房地产开发投资额(yt)atbt①②③④⑤⑥⑦⑧

328.17328.17

19961328.17328.17328.17328.170.00

19972330.34329.47328.95329.990.78

19983377.40358.23346.52369.9417.57330.7719994421.46396.17376.31416.0329.79387.5120005522.07471.71433.55509.8757.24445.8220016783.82658.98568.80749.15135.26567.1120027989.41857.24741.86972.61173.06884.40200381202.481064.38935.371193.39193.511145.67200491473.291309.731159.991459.47224.611386.902005101525.011438.901327.331550.46167.351684.082006111719.871607.481495.421719.54168.091717.812007121995.821840.481702.461978.51207.041887.632008131908.741881.441809.851953.03107.392185.552009142337.712155.202017.062293.34207.212060.422010152901.072602.722368.462836.99351.402500.552011163036.312862.872665.113060.64296.653188.392012173153.443037.212888.373186.05223.263357.2932013183483.403304.923138.303471.55249.943409.32201419

3721.48201520

3971.42图10-9某地区1996—2013年房地产投资开发额

把各年的预测值绘成折线图与原时间序列比较(见图10-10),可以看出,二次指数平滑法由于考虑了时间序列在不同时期直线参数的变化,其预测值与原时间序列的拟合程度较好。图10-10某地区房地产开发投资额预测值

第六节EXCEL在时间序列分析中的应用

高次方程法计算的平均发展速度长期趋势的测定季节变动与循环变动的测定时间序列模型预测

一、高次方程法计算的平均发展速度【例10-22】使用例10-9的我国2008—2013年城镇居民人均总收入数据,用高次方程法计算这期间的平均发展速度。解：所求平均发展速度

应满足下列条件：利用Excel求解的具体步骤如下：1．输入数据,如图10-11所示。A、B、C列为原始输入数据,A列为年份,B列为城镇居民人均总收入数据,变量名用Y表示。另外在F2中存放平均发展速度,先输入一个初步的估计值,如1.05。在F4中存放

的计算结果,计算过程是:首先计算,在D3中输入公式“=F$2^C3”,并复制到D4:D7区域;其次在F3中输入公式“=SUM(D3:D7)”即可。

2．在“数据”选项卡的“分析”命令组中,点击“规划求解”,调出“规划求解参数”对话框,按图10-12所示填写,然后按“求解”按钮即可在F2中得到平均发展速度,为111.69%。如果“规划求解”没有出现在选项卡上,则必须先加载该分析工具库。图10-11高次方程法计算平均发展速度图10-12

“规划求解参数”对话框

二、长期趋势的测定

在Excel中,有两种方法实现移动平均,一是使用AVERAGE函数,并且利用到公式的复制;二是使用“移动平均”分析工具,该工具可以自动产生一系列的AVERAGE函数,与第一种方法实质上相同的,只不过在进行偶数项移