材料力学.著人民课后答案khdaw-lxywyl

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3

-6=95.5

- =113M π×30Δl=ΔlA

+

=FN1E

+FN2E

=1.NANA 4×501.AB -6=44.1M π×38 4×(-60)×AA2

=

- =-18.1Δl=ΔlA

+ΔlB

=FNABlAE

+FNBClBE50×103×0. -60×103×1.22×=200×109×π×382×10-6+200×109×π×652×10-=0.0881×10-3m=0.2-2 直径d=36mm的钢杆ABC与铜杆CDC处连接杆受力如图所示。若不考虑杆的自重,试:求CD二截面的铅垂位移E的表达式

=0AC段长度为

杆全长为l杆的总伸长Δl=FP2l写E2-2解: uC=uA

(FN)ABlA

(FN)BCl 2150×103×2000+1030×103×3000 2=0=2.

200 uD=uC

(FN)CD =2.947

100×103×2500105×103

=5.FP2l=Δl

+

=

l1

(l-

η=

Es Ec + η1-+ E= EcEsEcη+(1-η)Es2-3长度l=1.2m1.1010-3m2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上;直径d=15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上;铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。若在钢杆的C端施加轴向拉力FP,且已知钢和铝的弹性模量分别为Es=200GPa,Ea=70GPa;轴向载荷FP=60kN试求钢杆C端向下移动的距离。2-3解:1.铝筒:

-

=-FPlAB(Ea

uA=60×103×1.uB=70×103×1.10×10-3×106=0.FP 60×103×2.2.钢杆:uC=uB

=0.935Es

×

=4.42-4 直杆在上半部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷其集度均p=10kN/m;在自由端D处作用有集中力FP=20kN。已知杆的横截面面积A=2.010-4m2,l=2m。试求ABE三个横截面上的正应力杆内横截面上的最大正应力,并指明其作用位置。2-4解:由已知条件用截面法求FNA=40kN FN =20kN FNE=30kFN

=2.0×10-4=200FNB=100MAFNE=150MAσmaxσA200MPa(A截面25螺旋压紧装置如图所示。现已知工件所受的压紧力为F=4kN。装置中旋紧螺栓螺纹的内径d1=13.8mm;固定螺栓内径d2=17.3mm。两根螺栓材料相同其许用应力[σ]=53.0MPa。试校核各螺栓的强度是否解:∑MB=0 FA=2∑Fy=0 FB=6k A A

π4

π×1382×10-613.8MPa<[σ安全。 σ= 6000 2553MPa<[σ A -4×17.32-52-6现场施工所用起重机吊环由两根侧臂组成。每一侧臂ABBC都由两根矩形截面杆所组成,ABC三处均为铰链连接如图所示。已知起重载荷FP=1200kN每根矩形杆截面尺寸比例b/h=0.3材料的许用应力[σ]=78.5MPa。试设计矩形杆的截面尺寸b和h。2-6解:由对称性受力图∑Fy=0 4FNcosα=FN

1200×

=3.275×1059602+9602+σ=FN ≤ 0.3 0.3 ×78.b=0.3h≥0.3×0.118=0.0354m=35.h=118mm b=35.2-7 图示结构中BCAC都是圆截面直杆直径均为d=20mm材料都是Q235钢其许用应力[σ]=157MPa。试求该结构的许用载荷。=0FB=0FB2(1=02+3B-=(222∑3FP=13 ×FB≤ π×

2-7

(3431 π3P≤ ×4d (4=1 3× - 2由12

4×20× ×157× =67.4kFP

2(1 3)FA 2(1 3)×[σ]πd2=90.28k (5 比较(4)(5)式, [FP]=67.4k讨论:有一种解法,认为[FP]=[σ]Aa+[σ]Ab(AaAb分别AC杆和BC杆的横截面面积),这是不正确的。因为保持平衡时,两杆内应力并不是正好都同时达到许用应力。22-8图示的杆件结构中12杆为木制34杆为钢制。已知12杆的22截面面积

=A2=4000

34杆的横截面面积

=A4=

;1杆的许用应力σw20MPa34杆的许用应力σs120MPa。试求结构的许用载荷[FP]。2-83解:由图(a):∑Fy=0 F3=53∑Fx=0 F1=-4F3=-

FP由图b

∑ =0 F4=4F3=4 3∑Fy=0 F2=-5F3=-3|F1|>|F2|F1|≤[σw13 3A

-]

6

=60kP≤F

1 4 × 3>F4

[s

-P≤5[σ]A3=5×120×10× =57.6k[FP]=min(57.6kN,60kN)=57.6k*2 由铝板和钢板组成的复合柱通过刚性板承受纵向载荷FP=其作用线沿着复合柱的轴线方向。试确定铝板和钢板横截面上的正应力。解:由于刚性板的存在又是对称加载所以铝板和钢板具有相同的压缩变形量。于是有2-9根据平衡条件,

Es

FNEa

(1FNs+FNa=- (2 Es s

=

Ns= =Es

EsAs+EaAaEaAaEsAs+Ea=

Es Esb0h+Ea·2b1 b0hEs+2b1-200×109×385×=0.03×0.05×200×109+2×0.02×0.05×70×=-175MPa压σ

= Ea

-175 aE b0hEs+2b1aE

=-175s

=-61.25MPa压*2- 铜芯与铝壳组成的复合棒材如图所示,轴向载荷通过两端刚性板加在棒材上。现已知结构总长减少了0.24mm。试求所加轴向载荷的大小铜芯横截面上的正应力。解:1.设铜芯与铝壳之间无内压二者具有相同的轴向应变其值ε=0.轴向载荷等于二者受力之和

=8×10-2-10 =EcuεAcu+=105×103×8×10-4×π×252×10-3470×103×8×10-4×π( -252)×10-4=172.1k2.铜芯应力cu

ε=105×10

=84*2-11 图示组合柱由钢和铸铁制成组合柱横截面为边长为2b的正方形,钢和铸铁各占横截面的一半(b2b)。载荷FP通过刚性板沿铅垂方向加在组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为Es=196GPa,Ei=98.0GPa。今欲使刚性板保持水平位置,试求加力点的位置x=?2-11解:

=0 (b·2bσ)·x =(b·2b)i 3b-s2s2x-b=

(13b-2 s= 将2式代入(1式得由此解得

i=98= (2 4x-2b=3b-2xx= 5b633轴向载荷作用下杆件材料的力学性能3-1 韧性材料应变硬化后,材料的力学性能发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确的:A)屈服应力提高弹性模量降低B)屈服应力提高韧性降低C屈服应力不变弹性模量不变;(D)屈服应力不变,韧性不变。正确答案 解:韧性材料应变硬化后如果再加载材料的屈服应力提高韧性即延伸率降低。所以正确答案是B)。3-2 关于材料的力学一般性能,有如下结论,请判断哪一个是正确的:(A)脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力;B)脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力;C韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力D)脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。正确答案是 (A) 解:大多数脆性材料的抗拉强度低于抗压强度。所以答案(A)是正确的。3-3 低碳钢材料在拉伸实验过程中,不发生明显的塑性变形时,承受的最大应力应当小于的数值,有以下四种答案,请判断哪一个是正确的:(A)比例极限;B)屈服强度C)强度极限D)许用应力。正确答案 解:低碳钢拉伸时当应力大于或等于屈服强度时才会出现明显的塑性变形。所以正确的答案应该是B)。3-4 根据图示三种材料拉伸时的应力-应变曲线得出的如下四种结论,请判断哪一种是正确的:A)强度极限b(1b(2)>σb(3弹性模量E(1)>E(1)>E(3延伸率δ1)>δ2δ(3B)强度极b(2)>σb(1)>b3弹性模量E(2)>E(1)>E3延伸δ1)δ2)δ3)C)强度极限b3)<b1)<b(2弹性模量E3)>E(1)>E(2延伸率δ3)>δ(2δ(1D)强度极限b(1)>σb(2)>σb(3弹性模量E(2)>E(1)>E(3延伸率δ2δ1δ(33-4

正确答案 解:图示的三种拉伸曲线表明三种材料的强度极限b(2b(1σb(3三种材料的弹性模量E2)>E(1)>E(3三种材料的延伸率δ1)>δ(2)>δ(3)。所以答案(B)是正确的。3-5 关于低碳钢试样拉伸至屈服时,有以下结论,请判断哪一个是正确的:A)应力和塑性变形很快增加因而认为材料失效B)应力和塑性变形虽然很快增加但不意味着材料失效;C)应力不增加塑性变形很快增加因而认为材料失效D)应力不增加塑性变形很快增加但不意味着材料失效。第3 轴向载荷作用下材料的力学性 正确答案 ( 解:屈服的特征是应力不增加而塑性变形很快增加这时材料已经丧失承载能力,即失效。所以正确答案是(C)。3-6 关于条件屈服强度有如下四种论述,请判断哪一种是正确的:(A)弹性应变为0.2时的应力值;B)总应变0.2时的应力值C)塑性应变为0.2时的应力值D)塑性应变为0.2时的应力值。正确答案 ( 解:条件屈服强度是人为规定的。规定:0.2塑性应变时的应力值,称为材料的条件屈服强度。所以正确答案是(C)。 低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种请判断哪一种是正确的:A)OABBCCOAB;B)OABBDDOAB;COABBAOODB;(D)OAB→BDDB。3-7

正确答案 ( 解:加载时的路径是OAB;卸载时的路径是BD;再加载路径是DB。所以正确答案是(D)。44 关于扭转剪应力公式τ(ρMxρ/Ip的应用范围有以下几种试判断哪一种是正确的。A)等截面圆轴弹性范围内加载B)等截面圆轴C)等截面圆轴与椭圆轴D)等截面圆轴与椭圆轴弹性范围内加载。正确答案是A)解:τρ)=Mx/p在推导时利用了等截面圆轴受扭后,其横截面保持平面的假设,同时推导过程中还应用了剪切胡克定律,要求弹性范围加载。所以正确答案是(A)。4-2两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后,轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为1maxτ2max,剪切弹性模量分别为G1G2。试判断下列结论的正确(A)τ1max>2max;CG1>G2则有1maxτ2maxDG1>G2则有1maxτ2max正确答案 ( 解因两圆轴等长轴表面上母线转过相同角度则剪应变相同即12。,124-3承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别d2D2(α=d2/D2)的空心圆轴,二者横截面上的最大剪应力相等。关于二者重之比(W1/W2)有如下结论,试判断哪一种是正确的。(1-4)3/2(1-4)3/2(1-2)(C)(1-4)(1-2)D)(1-4)2/3(1-2)16

16= =

正确答案 ( 即

(1-α) =(1-4)1/ (a)二者重量之比

(a)式代入b式,

W2W2

2(1- (1-4)2/

(b所以,正确答案是D)

1-4 变截面轴受力如图所示,图中尺寸单位为mm。若已知Me11765N·mMe2=1171N·m材料的切变模量G=80.4GPa求1.轴内最大剪应力,并其作用位置2.轴内最大相对扭转角φmax4-4解:1.确定最大剪应AB段MxA Me1+Me =1765N·m+1171N·m=2936N· MxAmax(AB)=WpA

MxA 1 1

=π×(70×10-3

=43.6M BC段MxBC =1171N· MxBmax(

Mx 2 2

=π×(50×10-3

=47.7M 2.确定轴内最大相对扭转角φmφmax=φAB+φB MxAB

+MxBC2936×700×10-3×=80.4×109×π×(70×10-3

1171×500×10-3×+80.4×109×π×(50×10-3=1.084×10-2+1.187×10- =2.271×10-24 图示实心圆轴承受外加扭转力偶其力偶矩Me3kN·m。试求轴横截面上的最大剪应力轴横截面上半径r15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比;去掉r=15mm以内部分横截面上的最大剪应力增加的百分比。

4-5 3×103解:1.τ1max=

=Wp

=π×0.

=70.7MM

dA

M·= ·

16

15 Mx=4Ip= πd4=4×32

=16× ==0.0625×100%=6.25请读者思考还有没有更好的解法 W2maxWp

=

1 2

=75.4M Δτ2max-1 τ 1 =1-41

=15=6.6724-6同轴线的芯轴AB与轴套CD,D处二者无接触,C处焊成一体。轴的A端承受扭转力偶作用如图所示。已知轴直径d=66mm,轴套D80mm厚度δ6mm;材料的许用剪应力[τ]=60MPa。求:结构所能承受的最大外加扭力矩。解:

=Mx

4-6 ≤60 -1≤60×10× =3387N· Mx

WmaxW

1 443

≤60×104T2≤60×106×π×80×10-

1

=2883N·所以 Tmax≤T2=2883N·m=2.883×103N·*4-7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D壁厚均为δ,横截面上的扭矩均为T=Me。试:证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 2max≈π证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力 3Memax≈δ2πD画出两种情形下,剪应力沿壁厚方向的分布。4-7解证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁,所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布a1于是由此得

Me∫A∫

D2τ 2πD

即m

2证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式,有max

3Me

3

3画出两种情形下,剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应力沿壁厚方向的分布分别如图(a-1)和(b-2)所示。4-8由同一材料制成的实心和空心圆轴,二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0,空心圆轴的内、外半径分别为R1R2,且R1/R2=n,二者所承受的外扭转力偶矩分别为MesMeh。若二者横截面上的最大剪应力相等,试证明:

111+解:因为长度和质量相等,所以面积也相等。于是00

=π(22

-R2 (a)11 =

R0R0

(b

π(2

(c)由bc二式,

2)(1-n4 由(a)式

e

2(1-

(R R0 R2-将其代入(d式,最后得到所要证明的结论1-2=== 1-2===

=(R2-R1)

(1-n)4

(1-n)

2(1-n

1-

(1-

)(1+n

1+*4-9直径d=25mm的钢轴上焊有两个凸台,凸台上套有外径D=75mm、壁δ1.25mm的薄壁管当杆承受外扭转力偶矩Me=73.6N·m时,将薄壁管与凸台焊在一起,然后再卸去外加扭转力偶。假定凸台不变形,薄壁管与轴的材料相同,切变模量G=40MPa。试:分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力,二者如何平衡确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力。4-9解分析卸载后轴和薄壁管横截面上的内力焊接前轴承受扭矩轴发生扭转变形。这时如果卸载轴的扭转变形将全部恢复,因而轴的横截面上将没有扭矩。与薄壁管焊接后再除去轴上的外加扭力矩轴的扭转变形不能完全恢复因而轴的横截面上仍然存在扭矩但已经不是加载时的扭矩而是小于原来的扭矩。二者焊接后形成一个整体如果用一个假想截面将整体截开这时的横截面由轴和薄壁管的横截面组成卸载后没有外加扭力矩作用仅仅轴的横截面上存在扭矩无法平衡因此薄壁管的横截面上必然存在与之大小相等方向相反的扭矩二者组成平衡力系使截开的部分保持平衡。设轴和薄壁管横截面上的扭矩分别为Mx1和Mx2,于是有 Mx确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力Me73.6N·m时相对扭转角为φ0于是d0d

焊接后卸载管承受扭转其相对扭φ2轴上没有恢复的相对扭转φ1φ0φ2即φ1+φ2= (b其将(a)式和(c式代入(b

φ1φ2

Mx1lMx2l

(c)Mel

Mx1l

+Mx2

(由此解其

π

Ip1+

(e)Ip1

×254×

-1

=38349.5×

-12Ip2

1

D-2δD

π× 1

72.

×10-=393922×10-12于是,卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为2m

=

Ip1+

·

Ip1+Ip2

(Ip1Ip2值代入f

73.6×75×10- =6.38MPa2m

(38349.5+393922)×10-1卸载后,轴横截面上的最大剪应力为1

=Mx1·

Ip2·Me Ip1(Ip1+Ip2 73.6×25×393922×10- (38349.5+393922)×38349.5×10-1

=21.86M梁的强度问题5 试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。5-1解:(a) A截面:FQ FP M=a+C截面:FQ FP M aba+ a+D截面:FQ= FP M aba+ a+B截面:FQ= FP M=a+ M=5(b) A截面 5C截面

a+0 M0 M 0a+ a+D截面:B截面:

= M0 M 0a+ a+0= M0 M=a+(c)题 A截面:FQ=5

M=C截面:FQ=5 M=7 B截面:FQ=-1 M=3(d) A截面

=1 M=-3 C截面:FQ=2ql M=-8D截面:FQ=1ql M=-1 B截面:FQ=0 M=(e)题 A截面:FQ=-2FP, M=FPlC截面:FQ=-2FP, M=0B截面:FQ=FP M=(f) A截面 C截面

=0 M=FP2=0 M=FP2D截面:

=-

M=FP2B截面:FQ=-FP M=5 试写出以下各梁的剪力方程、弯矩方程。解aFQ(x)=-M22FQ(x)=-M22FQ(x)=-M2FQ(x)=-M2

M(x)=M(x)=M(x)=M(x)=

Mx (0≤x≤l)2lMx+M (l≤x≤2l)2lMx+3M (2l≤x≤3l)2lMx+2M (3l≤x≤4l)2l5-2b Q(x)= 4ql-qx M(x) 4qlx 2 (0≤x≤FQ(x)= 1ql M(x) 1ql(2l x (l≤x≤24cF

dFQ(x) 5ql-M(x) 5qlx1442Q(x)=dFQ(x) 5ql-M(x) 5qlx1442Q(x)=0 M(x)

(2l≤x≤3(0≤x≤2FQ(x)=-ql+q(3l-x) M(x)=ql(3l x) 1q(3l-x)2(2l≤x≤32eFQ(x)=qx M(x) 1 (0≤x≤2FQ(x)=ql-q(x-l) M(x) x 2

-1q(x-l)2 (l≤x≤2l)f Q(x)= 2+qx M(x)= 2qlx 2 (0≤x≤FQ(x)= ql+q(2l-x) M(x) ql(2l-x) 1q(2l- (l≤x≤2 5-3 52中各梁的剪力图、弯矩图并确定剪力和弯矩的绝对值的最大值。2解:(a)∑MA=0 FRB=M(22∑Fy=0 FRA=M(2M|FQ|max=2|M|max=25-32∑ =0 -ql2-ql·l+ql·l+FRB·2l=2FRB=1ql(↑)4∑Fy=0 FRA=1ql(4 C=FRB·l=4ql·l=4ql(+ A=|FQ|max=54|M|

=∑Fy=0 FRA=ql(∑MA=0 MA=2∑MD=0 ql2+ql·l-ql·l-MD=2 D=2|FQ|max=|M

=32(d)∑MB=FRA·2l-q·3l·2

-ql·l=FRA=5ql(↑)4∑Fy=0 FRB=3ql(↑42∑MB=0 MB=q2∑∑D=0 MD=32|FQ|max=54 |M|max=32∑Fy=0 FRC=∑MC=0 -ql·3l+ql·l+MC= MC=2∑MB=0 MB=12∑Fy=0 FQB=5-3图续|FQ|max=|M|max=2∑MA=0 FRB=1ql(↑22∑Fy=0 FRA=1ql(22∑Fy=0 -1ql+ql-FQB=2FQB=12∑MD=0 1ql·

-ql

l+MD=2 D=-8 E=8|FQ|max=12|M|max=1q8

*5-4已知图示梁的剪力图以及ae两截面上的弯矩MaMe均为零。为确定bd两截面上的弯矩MbMd,现有下列四种答案,试分析哪一种是正(A)Mb=Ma+Aa→b(FQ),Md=Me+Ae→d(FQ);(B)Mb=Ma-Aa→b(FQ),Md=Me-Ae→d(FQ);(C)Mb=Ma+Aa→b(FQ),Md=Me-Ae→d(FQ);D)Mb=Ma-Aab(FQ),Md=Me+Aed(FQ)上述各式中AabFQ为截面ab之间剪力图的面积以此类推。剪力图的面积可以为正,也可以为负。5-4解:根据微分关系的定积分以及ab之间剪力图的面积为负值Mb Ma Aa→b(FQde之间剪力图的面积为正值所以Me=Md+Ad→e(FQ以改写后为因此,正确答案是(B)

Ad→e(FQ) Ae→d(FQMd Me Ae→d(FQ*5-5 静定梁承受平面载荷但无集中力偶作用其剪力图如图所示。若已知A端弯矩MA=0。试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。并梁在何处有约束,且为何种约束。5-5解:FQ图线性分布且斜率相同知,梁上有向下均布载荷q,AB处FQ向上突变知,AB处有向上集中力;又因AB处弯矩无突变,说明AB处为简支约束,由AB处FQ值知FRA=20kN(FRB=40kN(↑由Fy=0

FRA+FRB-q×4= q=15kN/FQDB处值知,MDB处取极值MD=20×3

-15×2

kN·MB=-q×1×2

=-7.5kN·梁上载荷及梁的弯矩图分别如图(b)(a)所示*5 试作图示刚架的剪力图和弯矩图并确定|FQ|max|M|max5-6解:图a∑MA=FRB·2l-FP·l-FP·l=FRB=FP(↑∑Fy=0 =FP(∑Fx=0 FA =FP(←弯矩图如图a1其中|M|max=2FPl位于刚节点C截面。图(b):∑Fy=0 =ql(2∑MA=0 FRB 1ql(22∑Fx=0 FA 1ql(2弯矩图如图b-1其中|M|max=ql2图c

∑ =0 FA =ql(←∑MA=ql2-ql·2

-FR

·l=FRB= 1ql(↓)2∑Fy=0 FAy 1ql(2弯矩图如图c-1),其中|M图d

ql2∑ =0 FA =ql(∑MA=l2-22

- +FRB·l=FRB= 3ql(↑)F

ql(∑y=0 FAy 弯矩图如图d1其中|M|

=ql25-7 长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁有图中所示的四种支承方式,如果从梁的强度考虑,请判断哪一种支承方式最合理。5-7解:A)Mmax=18 Mmax=40

=1q2 正确答案是(B)5 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为mm。求11截面上AB两点的正应力。5-8解1.计算梁11截面上的弯矩M= 1×103N×1m+600N/m×1m×12

=-1300N·2.确定11截面上AB两点的正应力1300N·1300N·m- --2-20× -3IσA=MzyIB点

100× m×(150× m=2.54106Pa=2.54MPa拉应力-1300N·m

150×

m-40×10-3B -B - - 100× m×(150× m=1.62106Pa=1.62MPa压应力5-9 加热炉炉前机械操作装置如图所示,图中的尺寸单位为mm。其操作臂由两根无缝所组成。外伸端装有夹具,夹具与所夹持钢料的总重FP=2200N,平均分配到两根上。求:梁内最大正应力(不考虑自重)5-9解计算最大弯矩Mmax=-2200N×2395×10-3m=-5.269×103N·确定最大正应力max

2

π3

α=D4=D

66mm =0.

2×32(1-α5.269×103N·max 2 π(108×10-3m2 =24.71×106Pa=24.71

(1-0.61145-10图示矩形截面简支梁,承受均布载荷q作用。若已知q=2kN/ml3mh2b240mm。试求:截面竖放c和横放b时梁内的最大正应力,并加以比较。解计算最大弯2

5-10 ql 2×10N/m×(3mM

=2.25×103N·max 确定最大正应力平放:max

25×103N·m×=240×10-3m×(120×10-3m竖放

=3.91×106Pa=3.913m

6

2.25×10N·m×120×10-3m×(240×10-3m=1.95×106Pa=1.95比较平放与竖放时的最大正应力max平放)max竖放

=3.1.

≈2.511圆截面外伸梁其外伸部分是空心的梁的受力与尺寸如图所示。mm。已知FP=10kN,q=5kN/m许用应力[σ]=140MPa,试校核梁的强度。5-11解:画弯矩图如图所示。实心部分与空心部分的最大正应力分别为max

32×30.65×103N·=(40×10-3m=

=113.8×106=113.8MPa<max

32×20×103

=100.3×1064(40×10-3m)4(40×10-3m)3×1 所以,梁的强度是安全的5 悬臂梁AB受力如图所示其中FP=10kN,M=70kN·ma 3m。梁横截面的形状及尺寸均示于图中mmC0为截面形心,截面对中性轴的Iz1.02×10mm,拉伸许用应力[σ]=40MPa,压缩许用应力[σ-=120MPa。试校核梁的强度是 5-12解:画弯矩图如图所示。C截面和D截面上的最大拉应力与最大压应力分别为 -C - 30×10N·m×96.4× 1.02×108×10-12 - 30×10N·m×153.6× -

=28.35×6=45.7×

Pa=28.35M D截面

1.02×108×10-12

Pa=45.18M 40×103N·m×153.6×10-3 1.02×108×10-12 =60.2×10Pa=60.2MPa> 40×103N·m×96.4×10-3 1.02×108×10-12 =37.8×10Pa=37.8M所以,梁的强度不安全。5 No.10号工字钢制成的ABD梁左端A处为固定铰链支座,点处用铰链与钢制圆截面BC连接,BCC处用铰链悬挂。已知圆截面d20mm梁和杆的许用应力均为[σ]=160MPa。试求:结构的许用均布载荷集度[q]。5-13解:画弯矩图如图所示。强度计算对于梁

=0.5m

=Mmax≤[σ]W

0.5q≤Wq≤[σ]W0.

160×106×49×10-0.对于杆

=15.68×103N/m=15.68kN/

A

4FB

4×2.25 ≤πd2×q≤4×2.25

π×(20×10-3)2×160×4×2.=22.34×103N/m=22.34kN/所以结构的载荷为[q]=15.68kN/5 图示外伸梁承受集中载荷FP作用,尺寸如图所示。已知FP20kN许用[σ160MPa试选择工字钢的号码5-14解 =FP×1m=20×103N×1m=20×103N·m

=Mmax≤WW≥FP×1m

20×103N· - =0.125× =125160×106所以No.16工字钢。5-15图示之AB为简支梁,当载荷FP直接作用在梁的跨度中点时,梁内最大弯曲正应力超过许用应力30。为减小AB梁内的最大正应力,在AB梁配置一辅助梁CD,CD也可以看作是简支梁。试求辅助梁的长度a。解没有辅助梁时

5-15 有辅助梁

FPlm

≤=1.30Mmax≤WFPl(3-22WFPl(3-2

=FP4

= 1.30×1.30×(3-2a)=0.a=1.5-16矩形截面悬臂梁左端为固定端,受力如图所示,图中尺寸单位为mm。若已知FP1=60kN,FP2=4kN。求:固定端处横截面上ABCD四点的正应力。5-16解1.确定固定端处横截面上的内力分量FN FP1=60kMy=FP2×1.2m=4kN×1.2m=4.8kN·Mz FP1×20×10-3m=60kN×0.02m=1.2kN·2.确定固定端处横截面上ABCD四点的正应力Aσ FN A

-Mz60×=200×120×10-

6×4.8×120×2002×10-

6×1.2×200×1202×10-=2.5×106Pa-6×106Pa-2.5×106=2.5MPa-6MPa-2.5MPa=-6Bσ FNBA

My+ z=2.5MPa-6MPa+2.5MPa=-1

-Wy+=2.5MPa+6MPa+2.5MPa=11MσD

FNA

My+MzW =2.5MPa+6MPa-2.5MPa=65-17图示悬臂梁中,集中力FP1FP2分别作用在铅垂对称面和水平对称面内,并且垂直于梁的轴线,如图所示。已知FP1=800N,FP2=1.6kN,l=1m,许用应力[σ]=160MPa。试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸:截面为矩形,h2截面为圆形。5-17解截面为矩形My=FP2l=1600N×1m=1600N·Mz FP1×2l=800N×2m=1600N·σmax

My+MzW

≤

≤66×23b

+6×1600≤160×3×2.3×2.4×160×=0.03556m=35. 材料力学教师截面为圆形My=FP2l=1600N×1m=1600N·Mz FP1×2l=800N×2m=1600N·M2y+M2y+2z16002+ ≤32×2262.7≤160×3232×2262.π×160×

=2262.7N·d =0.0524m=52.5-18旋转式起重机由工字梁AB及拉杆BC组成,ABC三处均可以简化为铰链约束。起重载荷FP22kN,l2m。已知[σ]=100MPa。试:选择AB梁的工字钢的号码。5-18解受力分析起重载荷位于AB梁中点时,梁处于状态。这时,梁承受弯曲与轴向压缩的共同作用。2∑MA=0 -FP×l+FBC×lsin30°=0 FP=22k2AB梁在B点承受的轴向压缩力 FBCcos30°=19052强度设计首先按照弯曲强度设计,然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。FP

m

Mmax≤WW≥

22×103N× - =110× =1104×160×106所以No.16工字钢。No.16工字钢的横截面面积与弯曲截面模量分别为A=26. =26.1×10-4W=141cm3=141×10-6再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度Aσ FN+A 26.1×10-

22×103×4×141×10-=7.3×106Pa+78×106=85.3MPa<所以No.16工字钢梁的强度是安全的5 试求图(a)和(b中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。5-19解:a)为拉弯组合σab)为单向拉伸

a×3a+

FP·2 2 24

3·Pb= P 520图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图。试假定骨骼为实心圆截面确定横截面BB上的应力分布;假定骨骼中心部分其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成,忽略海绵状承受应力的能力,确定横截面BB上的应力分布;12两种情形下骨骼在横截面BB上最大压应力之比。解:1.N1=-

FN π×26.4

=-0.795 445×61×10-M1max= π×26.7×10-=14.526Mmax=14.526-0.795=13.73max=-14.526-0.795=-15.32y方向应力分布如图c所示中性轴为zC

5-20π×26. 1π×26. 1-4×445×14σN2

A2=

π26.

26.7 24=-0.795×4=-1.063Mz =14.526×σM2max

Wz

1

2

15=15.494Mσm+ax=15.494-1.06=14.43-ax=-15.494-1.06=-16.55zC为中性轴y轴应力分布如图d所示--σ σ1

=16.55=1.08 15.

=15.32=0.-2 16.-25-21正方形截面杆一端固定,另一端自由,中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。若已知FP=1kN杆各部分尺寸如图中所示。试求:杆内横截面上的最大正应力,并其作用位置。解:A=5×10×10-6=50×10-6Wy

5×10-- -

=1×10-6Wz

6

×10-

- FN=1kMy=1000×5×10-3=5N·Mz=1000×2.5×10-3=2.5N·m

=FN+

+Mz=1000 +2. ×106=140= 5-21最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A如图*5 从圆木中锯成的矩形截面梁,受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下hb的比值横截面上的最大正应力尽可能小曲率半径尽可能大。z解:1.σ= z

6= = 6

b( -bdb=

=d(bd2-b3)=d2-3b2=333

5-22h2=d2-b2=2232

hb=MzEI

(正应力尽可能小Iz=dIz

-h2-h2=0 h2=3d b2=d2-h2=143h (曲率半径尽可能大3bz*5-23工字形截面钢梁,已知梁横截面上只承受弯矩一个内力分量,z=20kN·m,Iz=11.3×106mm4,其他尺寸示于图中。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。解 ∫-

ydA

ydN AσxdA I

I 0 008= Iz 0.006dy 0.088d =-I

6×1×702+88×1 -702

×10-20×=-11.3×10-

×10-9[3×702+44× -702)=-143× =-143k|FN|·yC yC 2×

=0.0699m=即上半部分布力系合力大小为143kN压力作用位置离中心轴y=70mm处,即位于腹板与翼缘交界处。习题5-23 习题5-24 矩形截面悬臂梁受力如图所示其中力FP的作用线通过截面形心。试:FPbhl和β求图中虚线所示截面上点a处的正应力a处正应力为零时的角度β值解: My=FP WyMz=FP Wz

66

l=WaWz

-

b2h2(bcosβ-令σa=0,则tanβ=b β=arctan 5-25 根据杆件横截面正应力分析过程,中性轴在什么情形下才会通过截面形心?关于这一问题有以下四种答案,请分析哪一种是正确的。A)My=0Mz0FN≠0B)My=Mz=0,FN0(C)My=0,Mz≠0,FN≠0D)My≠0Mz0FN=0正确答案是D)解:只要轴力FN0,则截面形心处其拉、压正应力一定不为零,而其弯曲正应力一定为零二者叠加的结果其合正应力一定不为零所以其中性轴一定不通过截面形心,所以正确答案是(D)。526关于斜弯曲的主要特征有以下四种答案请判断哪一种是正确的。A)My0Mz≠0,FN0,中性轴与截面形心主轴不一致且不通过截面形心;B)My≠0Mz0FN=0中性轴与截面形心主轴不一致但通过截面形心;C)My≠0,Mz≠0,FN=0中性轴与截面形心主轴平行但不通过截面形心;D)My≠0Mz0FN≠0中性轴与截面形心主轴平行但不通过截面正确答案 解:斜弯曲时,由于轴力为零,所以中性轴一定通过截面形心。而且斜弯曲与平面弯曲的不同点之一是中性轴与形心主轴不一致。所以正确答案是(B)。 槽形截面悬臂梁加载如图所示。图中C为形心,O为弯曲中心。关于自由端截面位移有以下四种结论,请判断哪一种是正确的。A)只有向下的移动没有转动;B)只绕点C顺时针方向转动;C)向下移动且绕点O逆时针方向转动D)向下移动且绕点O顺时针方向转动。正确答案 ( 5-27解:FP向弯曲中心简化得到一个力和一个力偶力偶的转向为顺时针。所以,正确答案是(D)。528等边角钢悬臂梁受力如图所示。关于截面A的位移有以下四种答案,请判断哪一种是正确的。A)下移且绕点O转动;(B)下移且绕点C转动;C)下移且绕z轴转动;D)z5-28

正确答案 ( 解:因为FP的作用线通过弯曲中心,而且沿着对称轴方向,因而产生平面弯曲。平面弯曲时横截面绕中性轴转动而中性轴通过截面形心所以,正确答案是(D)。-29四种不同截面的悬臂梁在自由端承受集中力其作用方向如图所示图中O为弯曲中心。关于哪几种情形下可以直接应用正应力公式有以下四种结论,请判断哪一种是正确的。A)仅ab可以B)仅bc可以C)除c之外都可以D)除d之外都不可以。正确答案 ( 5-29解情形a):因为力FP的作用线虽然通过弯曲中心但不是主轴方向所以不是平面弯曲;情形b因为FP的作用线虽然沿着主轴方向但不通过弯曲中心因而将产生扭转,所以也不是平面弯曲;情形c):因为FP的作用线虽然通过弯曲中心但不是主轴方向所以也不是平面弯曲;情形d):因为力FP的作用线既通过弯曲中心又是主轴方向所以将产生平面弯曲。因此正确答案是(D)66梁的变形分析与刚度问题- 与小挠度微分方程d2 d =-El对应的坐标系有图(a)(b)(c)(d)所示的四种形式。试判断哪几种是正确的:(A)图(b)和c);B)图b和aC)图b和dD)图c和d正确答案 ( 6-1解:根据弯矩的正负号和曲线的凸凹性,可以判断图c和d两种情形d2dx2M都是异号的所以正确答案是D)6-2简支梁承受间断性分布载荷,如图所示。试说明需要分几段建立微分方程,积分常数有几个,确定积分常数的条件是什么?(不要求详细解答)6-2解1.4段积分8个积分常数2.确定积分常数的条件是x=0=0x==w2=2x=2l=w3=3x=3l=w4=4x=4l=06-3具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状,并说明需要分几段建立微分方程积分常数有几个确定积分常数的条件是?(不要求详细解答)6-3解1.3段积分6个积分常数2.确定积分常数的条件是x=0 w1=0 =x=l w1=w2x=2 w2=0 w2 w3 =3x=4 w4=06-4 试用叠加法求下列各梁中截面A的挠度和截面B的转角。图中q、laEI等为已知。解(a)题

6-4

q(

1 ·θB=(θB)1+(θB)2=(θB)1+(θA)2==12E (逆时针

6E

E6-4a解图(14q2q 4q2wA=(wA)1+(wA)2

8E

2

3E 2

72E =384EI(b题

6-4a解图(2ql(2 1.

=(θB

+(θB

=E=

+(ql)·(216E=-12EI顺时针

2(2

(ql)(2 =(wA)1+(wA)2+(wA)3=5=-24EI(

3 l-8EI

16E 6-4b)6 已知刚度EI的简支梁的挠度方程为w(x)= q0x(l3-2lx2+x3)24EI据此推知的弯矩图有(A)～(D)四种答案,试分析哪一种是正确的。解:根

6-5d2 d2可以得到

d =

EI和d =-d2d = (a)将所给的x4次导数

w(x)= q0x(l3-2lx2+x3)24EI4将(b式代入(a)式后,

dd

24

(bq

=这一结果表明梁上作用有连续均布载荷。图A中的弯矩图就是对应连续均布载荷的弯矩图,所以正确答案是(A)。6-6图示承受集中力的细长简支梁,在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述,试判断哪一种是正确的:A)大大降低梁的强度和刚度B)对强度有较大影响对刚度的影响很小可以忽略不计;C对刚度有较大影响对强度的影响很小可以忽略不计;(D)对强度和刚度的影响都很小,都可以忽略不计。6-6解:强度取决于截面上点的应力,现在梁在弯矩最大的中间截面开孔,而且又是竖向的,使得截面的惯性矩减小,从而使点的应力增加,因而对强度影响较大。对刚度的影响是指对梁的变形的影响由于梁的变形是梁的所有横截面变形累加的结果因此个别截面的削弱不会对梁的变形产生很大的影响。所以正确答案是B)。6-7轴受力如图所示,已知FP=1.6kN,d=32mm,E=200GPa。若要求加力点的挠度不大于许用挠度[w]=0.05mm,试校核该轴是否满足刚度解:由挠度表查得6-7 FP C=6lEI( - -b1.6×103×0.246×0.048× - -2462)×10-6× 6×(246+48)×10-3×200×109×24×10-=2.4610-5m=0.0246mm<[w安全6 图示一端外伸的轴在飞轮重量作用下发生变形已知飞轮重W20kN,轴材料的E=200GPa轴承B处的许用转角[θ]=0.5°。试设计轴的直径解:由挠度表查得

6-8FPal×

3

3 20000×1×2×3×200×109≤0.

×πd0.1117m取d=112mm6-9图示承受均布载荷的简支梁由两根竖向放置的普通槽钢组成。已知q10kNml=4m材料的[σ]=100MPa许用挠度[w]=l/1000,E200GPa。试确定槽钢型号。6-9解:1.强度设计

Mmax 8

σ

≤Wz

10000× - 8×100× =2× 每根槽

=Wz2No.16a槽钢W刚度设计

=108.3cm45

384EI

Iz

5×10000×43×384×200×

=0.41667×10-4 =2083.34No.22a槽钢Iz2393.9cm。最后选定两根No.22a槽钢。4- 试求图示梁的约束力,并画出剪力图和弯矩图。解(a)题变形协调方程A=(θA)1+(A =MAl M0· =0 MA=08约束

-3 6M0

FRA=FRB

= 剪力图、弯矩图如图a-3)a-4)所示。b题B= MAl

2

l2

3 =48MA+24lFRA (1wB=41 MA FRA 4 2!

3!

4 =2192MA+64lFR =2联立式(1)2)解

(2MA= FRA 3其剪力图、弯矩图如图(b-2)(b-3)所示习题6-10图( 习题6-10图(b*6-11ABBCB处用铰链连接,AC两端固定,两梁的弯曲刚EI受力及各部分尺寸均示于图中。FP=40kNq=20kN/m。试画出梁的剪力图与弯矩图。6-11解变形协调(wB)1=(wBq× (wB =

8 FP(22

x×3

Fx×(wB = 6 (3×4-2)

3

F×43=x

FP

×10

q× 40× 20×Fx 6× 8× =-8.75kFRA=20×4-8.75=71.25kN(↑ A=8.754-202 =-125kN·m(逆时针FRC=40+8.75=48.75kN(MC=-402-8.754=-115kN·m顺时针剪力图和弯矩图分别如图(b)和(c)所示。*6-12图示梁ABCD横截面尺寸相同,梁在加载之前,BC之间存在间隙0=1.2mm。若两梁的材料相同,弹性模量E=105GPa,q=30kN/m,试求AD端的约束力。6-12解:变形协调方程wC-wB= =1. (1wC=

F(250)3×3×105×103×50×

=-0.0952 (2-30× F(400)3×wB

8×105×103×50×

3×105×103×50×

(3=-1.755+0.39将式2)3)代入式(1CD

0.4853F=0.F=1.144AB

FRD F=1.144kN( =1.144250=286N·m顺时针FR =30×400×10- -1.144=10.856kN( - =1.144×400 2×30× × =-1942N·应力状态与强度理论及其工程应用 木制构件中的微元受力如图所示,其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求:面内平行于木纹方向的剪应力垂直于木纹方向的正应力。7-1解(a)题平行于木纹方向的剪应力τx′y′=-4-(-1.6)sin[2×(-15)]20·cos[2×(-15°)]=0.6垂直于木纹方向的正应力σx′=-4+(-1.62

+-4-(-1.6)27cos[2×(-15°)]+0=-3.847b题平行于木纹方向的剪应力τx′y′=-1.25cos[2×(-15°)]=-1.08M垂直于木纹方向的正应力σx′=-(-1.25)sin[2×(-15)]=-0.6257 层合板构件中微元受力如图所示,各层板之间用胶粘接,接缝方向如图中所示。若已知胶层剪应力不得超过1MPa。试分析是否满足这一要求7-2解τx′y=2-(-1sin2×(-6005·cos2(-60°2=-1.55M|τx′y|=1.55MPa1MPa不满足7-3 从构件中取出的微元受力如图所示AC为自由表面无外力作用)。试求σx和τxy。解-100=σx-20.75σx=-

+0-(σx-100)·cos(2×60)2σx=-33.3M =0-[-33.3-100]sin(2×60)=57.7M2τxy=-τy =-57.7M 7-37-4 构件微元表面AC上作用有数值为14MPa的压应力其余受力如图所示。试求σx和τxy。解 0. 2+0.cos2α 0. 2+0.=2 -=-0.1+0.0.+1+0.0.+0.=2 (σx+92+14)-2

=0.+(-14)-(σx+92+14)-14×(-0.342)=2解 σx=37.97Mτyx=(-14)-(37.97+92+14)×0.94=-74.252习题7-4 习题7-57-5 对于图示的应力状态若要求其中的最大剪应力max160MPa,试求τxy取何值。解:1.当应力圆半径r>OC坐标原点到应力圆圆心的距离(240-140 +(240-140 + |τxy|>183.3MPa (1(240-140) +1=240(240-140) + 100+2τx2100+2τx2

<160M解 (2由式1)(2)知,显然不存在。r<(240-(240-140 +2 |τxy|<183.3MPa

>240+2(240-140 +(240-140 + =100+2τx2τ100+2τx2τ + <160解得|τxy|120MPa所以取|τxy|120MPa7-6图示外径为300mm的由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下焊缝上沿焊缝方向的剪应力和垂直于焊缝方向的正应力。只承受轴向载荷FP=250kN只承受内压p=5.0MPa两端封闭同时承受轴向载荷FP=250kN和内压p=5.0MPa两端封闭)7-6解P 250×Pδ图(a):σx=πD (300-8)×8=34.07MPa(压δσx′=-34.07+-34.07cos(2×20)=-30.09M σx′y′=-34.07sin(2×20)=-10.95M2图bσx=pD=5(300-8)=45.63M 4σy=pD=5×(300-8)=91.25 2×σx′=45.63+91.25+45.63-91.25cos(2×20)=50.97M τx′y′=45.63-91.25sin(2×20)=-14.662图(a)b)叠加σx=45.63-34.07=11.56Mσy=91.25Mσx′=11.56+91.25+11.56-91.25cos(2×20)=20.88M τx′y′=11.56-91.25sin(2×20)=-25.6M27 承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。已知内p5MPa材料E75GPaν0.33。试求圆筒的半径改变量。7-7解m=3.5×(254×2+7.64×7.t=3.5×(254×2+7.62×7.

=59.36M=118.72t=2π(r+Δr)-

=rΔr=t·r E

t-

+r 3(118.72-0.33×59.36)×254=0.3475×7-8 构件中点的应力状态如图所示。试选择合适的强度理论对以下两种情形作强度校核:构件为钢制σx