控制系统的状态空间表达式大赛(刘豹加强)

第1章

控制系统的状态空间表达式Chapter1

StatespacedescriptionofcontrolsystemsCh1控制系统的状态空间表达式

通过本章学习，学生应该了解系统的内、外部描述的差异；掌握状态变量及状态空间表达式的相关概念；掌握状态空间表达式的模拟结构图；掌握状态空间表达式的建立方法；掌握状态变量的线性变换；掌握传递函数阵的概念和求法。教学目标Ch1控制系统的状态空间表达式1、状态变量的定义及其解释；2、状态空间表达式的模拟结构图；3、状态空间表达式的建立方法；4、状态向量的线性变换；5、从状态空间表达式求传递函数阵。重点由传递函数建立状态空间表达式的方法；有重根时化约旦型时的方法（广义特征向量）。难点Ch1控制系统的状态空间表达式……系统的方框图表示系统系统的环境系统输入系统输出系统的外部变量系统的内部变量Ch1控制系统的状态空间表达式

系统的数学描述是反映系统中各变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。（两种模型）输入输出模式的数学模型（外部描述）状态变量模式的数学模型（外部和内部描述）1、传递函数、线性微分方程；2、缺点；1、状态方程、输出方程；2、优点；现代控制理论是以状态空间描述为数学模型。Ch1控制系统的状态空间表达式

系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的变化，因而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且可以方便处理初始条件。

状态空间法可同时适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统及随机过程等。Ch1主要内容1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3

状态空间表达式的建立1.4

状态矢量的线性变换1.5由传递函数求状态方程1.6由状态空间表达式求传递函数阵1.7

离散系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式状态变量

能够完全表征系统运动状态的最小个数的一组内部变量。a)在任何时刻,就表示系统在该时刻的状态；（1）完全表征b)当上述初始状态确定，且给定时的输入，则系统在任何一个时刻的状态就完全确定了。1.1状态变量及状态空间表达式a）物理特征——指足以完全表征系统的运动状态而个数又是最小的一组内部变量。（多了不可以，少了也不可以。）（2）最小性b）数学特征——它们是内部变量中线性无关的一个极大无关组。（3）不唯一性①一个n阶微分方程描述的系统，其状态变量的个数是n；②状态变量的个数应等于系统独立储能元件的个数。1.1状态变量及状态空间表达式状态向量不同状态向量之间具有非奇异变换关系。是指由状态变量记作：或构成的向量，又称状态矢量，简称为状态。1.1状态变量及状态空间表达式状态空间说明：状态空间是建立在实数域上的。1）在特定时刻

，状态向量就是状态空间的一个点;2）当给定时的状态，随着时间的推移，将在状态空间描绘出一条状态轨线(或称状态轨迹)。

以状态变量为坐标轴构成的维空间。描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组。1.1状态变量及状态空间表达式状态方程例：R-L-C电路。试确定其状态变量和状态方程。解：系统动态方程令1.1状态变量及状态空间表达式同一系统，选取不同的状态变量，会得到不同的状态方程。

从理论上讲，并不要求状态变量是具有实际物理意义或可以测量的，但工程实践上，应选有物理意义或易测量的量作为状态变量。1.1状态变量及状态空间表达式

指定的系统输出量与状态变量、输入变量之间的关系式。输出方程1.1状态变量及状态空间表达式

状态方程和输出方程合在一起构成系统的状态空间表达式。它是对一个系统动态行为的完整描述。又称为系统的动态方程。SISO:系统矩阵输入矩阵或控制矩阵输出矩阵MIMO:系统矩阵输入矩阵或控制矩阵输出矩阵直接传递矩阵状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式动态系统的结构图动力学部件输出部件3）当采用向量形式表示状态空间表达式时，可变量个数增加并不增加问题的复杂性。说明：1）输入引起系统状态的变化是一个动态过程，采用微分方程或差分方程来表征，即状态方程；2）状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，即输出方程；1.1状态变量及状态空间表达式

对上述SISO系统，由不同状态方程，消去中间变量可以得到相同的高阶微分方程和传递函数。

反过来考虑，对同一个系统，由其高阶微分方程和传递函数，会得到不同的状态方程。1.1状态变量及状态空间表达式状态空间表达式的系统框图标量信号矢量信号1.2状态空间表达式的模拟结构图

用模拟结构图反映系统状态变量间的信息传递关系，有助于建立系统的状态空间表达式。

模拟结构图是由积分器、加法器和放大器构成的图形，用来表示各状态变量间信息传递关系，为系统提供了一种物理图像，又称为状态变量图。1.2状态空间表达式的模拟结构图确定积分器的个数和位置积分器的数目应等于状态变量个数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器、比例器；用箭头将这些元件连接起来模拟结构图绘制步骤1.2状态空间表达式的模拟结构图由微分方程绘制模拟结构图一阶标量方程三阶微分方程在状态空间表达式的建立部分会讲如何利用。1.2状态空间表达式的模拟结构图由状态空间表达式绘制模拟结构图＋＋－3－6－2＋＋＋＋··1.2状态空间表达式的模拟结构图

对多输入多输出系统的结构图一般用矢量结构图的形式来表示。1.3状态空间表达式的建立从系统框图出发；从系统机理出发；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化。

用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。建立表达式的三个途径1.3状态空间表达式的建立－从系统框图出发从系统框图出发

将系统结构图中的各个环节变换成相应的模拟结构图；把每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入便是相应的；根据模拟图写出相应的状态空间表达式。例1-1系统传递函数方块图如图所示，输入为，输出为。试求其状态空间表达式。1.3状态空间表达式的建立－从系统框图出发

1.3状态空间表达式的建立－从系统框图出发1.3状态空间表达式的建立－从系统框图出发

特别：对于包含零点的环节，可先展开成部分分式。自己写出其状态空间表达式。1.3状态空间表达式的建立－从系统机理出发从系统机理出发1)确定系统输入、输出和状态变量；2)列出方程；3)消去中间变量；4)整理成标准的状态方程和输出方程。

对具有不同能量属性（机械的、电气的、热力的等）的控制系统，根据其工作机理（基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等），可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：1.3状态空间表达式的建立－从系统机理出发

例求图中网络的状态空间表达式，系统输入为u1，u2，输出y。

解：状态变量选为

。根据基尔霍夫定律写出回路、节点电压和电流方程1.3状态空间表达式的建立－从系统机理出发

将状态变量代入，并整理得到矩阵形式1.3状态空间表达式的建立－实现问题内部结构状态空间表达式外部描述？实现后续内容

系统的外部描述是系统的传递函数或运动微分方程式表示。

由系统的输入输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。1.3状态空间表达式的建立－实现问题关于实现的几点说明其相应的传递函数为实现存在的条件为：1、并非任意微分方程或传递函数都能求得其实现。

d反映了输出是否受u的直接作用！对由n

阶常系数微分方程（SISO）描述的对象1.4状态空间表达式的建立－实现问题2、实现的非唯一性。4、这种实现保持了原系统的输入输出关系，并且能将系统的内部结构特性确定下来。5、同一系统的不同实现，系统矩阵的特征值相同(后面续讲）。3、若原传递函数不出现零极点对消，则必有n

个独立状态变量，必有n

个一阶微分方程与之等效。（最小实现）1.4状态空间表达式的建立－实现问题传递函数中没有零点的实现n阶常系数微分方程(SISO)相应的传递函数为不同系统结构，会得到不同的状态空间表达式。1.4状态空间表达式的建立－实现问题选状态变量结构1由微分方程1.4状态空间表达式的建立－实现问题友矩阵输出方程

将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出的各阶导数。状态方程

特征多项式是传递函数分母1.4状态空间表达式的建立－实现问题

输出方程为：状态方程：结构21.4状态空间表达式的建立－实现问题状态方程输出方程1.4状态空间表达式的建立－实现问题例：求下列系统状态空间表达式。解：设状态变量由得到1.4状态空间表达式的建立－实现问题写成矩阵形式模拟结构图见下1.4状态空间表达式的建立－实现问题状态方程和输出方程（模拟结构图）自己试解结构2的状态空间表达式。1.4状态空间表达式的建立－实现问题下面是对状态变量的另一种取法解：设状态变量状态方程输出方程1.4状态空间表达式的建立－实现问题矩阵形式1.4状态空间表达式的建立－实现问题传递函数中有零点的实现

如果单输入—单输出系统的微分方程为则相应的传递函数为1.4状态空间表达式的建立－实现问题从3阶系统出发找出实现规律。选取状态变量状态方程输出方程1.4状态空间表达式的建立－实现问题第1种算法引进微分算子1.4状态空间表达式的建立－实现问题选状态变量1.4状态空间表达式的建立－实现问题1.4状态空间表达式的建立－实现问题引进微分算子1.4状态空间表达式的建立－实现问题选取状态变量组1.4状态空间表达式的建立－实现问题可见，当m=n,m<n时状态方程是一样的；但输出方程不同。实际上是一样的。m<n可以看作m=n的特例（多余项系数为０）1.4状态空间表达式的建立－实现问题＋－－－＋＋＋＋－1.4状态空间表达式的建立－实现问题例子1.4状态空间表达式的建立－实现问题＋+++－－－综合点前移－－－＋＋＋＋＋＋＋另一解法状态变量含有输入导数项1.4状态空间表达式的建立－实现问题－＋＋＋－＋1.4状态空间表达式的建立－实现问题－－＋＋＋1.4状态空间表达式的建立－实现问题－－－＋＋＋＋＋1.4状态空间表达式的建立－实现问题1.4状态空间表达式的建立－实现问题－－－＋＋＋＋＋＋＋1.4状态空间表达式的建立－实现问题推广1.4状态空间表达式的建立－实现问题，试写出状态空间表达式。解：由于看教材Ｐ30例1-71.4状态空间表达式的建立－实现问题不同的状态空间表达式是系统不同的结构形式引起的。熟悉对应关系！1.4状态空间表达式的建立－实现问题MIMO微分方程的实现双输入双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为同单输入一单输出系统一样，系统的实现也是非唯一的。现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：对每一个方程积分：1.4状态空间表达式的建立－实现问题故得模拟结构图，如下图所示：1.4状态空间表达式的建立－实现问题取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则一种实现为：1.5状态矢量的线性变换

状态空间表达式的非唯一性系统特征值的不变性及系统的不变量1.5状态矢量的线性变换

对于一个给定的线性定常系统，状态变量的选取不唯一，相应地可用不同形式的状态空间表达式描述该系统。本质上讲，这是由于系统的不同结构形式造成的。状态空间表达式的非唯一性

在选取的不同状态矢量之间，存在着一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。1.5状态矢量的线性变换由的任意性可知，状态空间表达式非唯一。设线性定常系统的状态空间表达式为取线性非奇异变换：带入上式，得：即（矩阵任意非奇异阵）1.5状态矢量的线性变换新状态变量是原状态变量的线性组合。取线性变换阵

则新的状态变量为例：设系统的状态空间表达式为1.5状态矢量的线性变换说明：有时会对采取的变换提出要求。如事先给定系统矩阵或输入矩阵。（见P33,3）1.5状态矢量的线性变换系统矩阵为对角形的实现为并联实现。例1.5状态矢量的线性变换1.系统特征值系统特征值的不变性及系统的不变量系统的特征值，即的特征值，就是系统矩阵的根。回忆实矩阵的特征值情况：1、n阶矩阵n个特征值；２、可以是实数或共轭复数；实对称阵特征值是实数。３、属于一个特征值的特征向量不唯一；４、n个相异特征值对应的n个特征向量定线性无关。1.5状态矢量的线性变换2.特征值的不变性和系统的不变量其特征方程为：对上面的系统进行变换得因此，经过非奇异变换后，系统的特征值不变。1.5状态矢量的线性变换其特征多项式仍为可见，系统的特征多项式的系数也不变。称特征多项式的系数称为系统的不变量。1.5状态矢量的线性变换3.特征矢量例：求矩阵A特征矢量一个n维矢量，经过以A作为变换矩阵的变换，得到一个新的矢量经A变换后，方向不变，仅长度变化。如果，则称为A的对应于的特征矢量。自己做一遍1.5状态矢量的线性变换问题：求系统特征值，可以直接写出系统的约旦标准矩阵。？1）无重根时2）有q

重根时？4.状态空间表达式变换成约旦标准型1.5状态矢量的线性变换1）A为任意形2）A为标准型（友阵）a)无重根b)有重根a)无重根b)有重根根据系统矩阵的形式及有无重根介绍T的求法c)有共轭复根1.5状态矢量的线性变换(1-a)任意形无重根

对线性定常系统，若系统的特征值两两互异，则必存在非奇异变换，将状态方程化为对角线标准型。1.5状态矢量的线性变换解：例：设系统状态空间描述为将系统转换成约旦标准型(对角线型）状态空间表达式。1.5状态矢量的线性变换得到1.5状态矢量的线性变换

如果系统矩阵A有重根，且A的线性独立的特征向量个数等于系统的阶数n，则可将其化为对角线标准型。

(1-b)任意形有重根

当A有重根时，经线性变换一般可将A化为约当标准型J，矩阵J是主对角线上均为约当块的准对角型矩阵。1.5状态矢量的线性变换的代数重数的几何重数1.5状态矢量的线性变换将A化为约当标准型的变换矩阵Ｔ的确定令1.5状态矢量的线性变换

1.5状态矢量的线性变换对应的特征向量；向量对应的广义特征向量。(上述过程是针对一个若当块进行的)1.5状态矢量的线性变换解：特征方程对应的特征向量1.5状态矢量的线性变换第3个方程不独立，令，得又由(第3个方程不独立)1.5状态矢量的线性变换1.5状态矢量的线性变换A矩阵为标准型1.5状态矢量的线性变换(2-a)

标准型无重根A的特征值两两相异，则化A为对角线标准型的变换阵T为范德蒙德(Vandermonde)矩阵，即1.5状态矢量的线性变换实际上，设对应的特征向量为1.5状态矢量的线性变换令

对其它特征值同样求得相应的特征向量。如此得到将标准矩阵化为对角矩阵的范德蒙德变换阵。1.5状态矢量的线性变换【例】线性定常系统由得1）确定系统特征值将状态方程化为规范形式.解：1.5状态矢量的线性变换2）组成变换阵1.5状态矢量的线性变换系统状态方程对角线规范形式为：(2－b)

标准型有重根其特征值是m重根，是两两相异的，则将系统状态方程化为Jordan规范形的非奇异矩阵T的形式为1.5状态矢量的线性变换1.5状态矢量的线性变换【例】线性定常系统,其中1)确定系统特征值得将状态方程化为约当规范形.解:1.5状态矢量的线性变换2)确定T阵3）求系数矩阵1.5状态矢量的线性变换得到约当规范形为：1.5状态矢量的线性变换1、有一对共轭复根时，如2-c)A阵有共轭复根的情况变换后则(以4阶系统为例）1.5状态矢量的线性变换2、若有2对共轭复根，为互异根。1.5状态矢量的线性变换5.系统的并联实现已知系统的传递函数为将上式展开成部分分式。根据系统特征根的两种情况进行讨论：一、所有根均为互异；二、有重根。1.5状态矢量的线性变换具有互异根的情况为系统的特征根，将其展开成部分分式：可由待定系数法确定。系统特征根为互异，将系统传递函数写成1.5状态矢量的线性变换取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式为:模拟结构图１1.5状态矢量的线性变换以上两式为互为对偶。系统的模拟结构图也互为对偶。从模拟结构图上可知，系统的约旦标准型实现为并联实现。模拟结构图21.5状态矢量的线性变换2.有重根是重根，其余此时的部分展开式为：为互异根。1.5状态矢量的线性变换系统的模拟结构图：c11c12c1qC1q-11.5状态矢量的线性变换由模拟结构图得：1.5状态矢量的线性变换系统的状态空间表达式为其中1.6由状态空间表达式求传递函数子系统在各种连接时的传递函数(阵）传递函数（阵）1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）（一）SISO系统对上式两边进行拉氏变换,得输入-输出之间的传递函数关系(U－X)1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）（二）MIMO系统

当i≠j时，意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）同SISO情况取拉氏变换可得(分母是系统矩阵的特征多项式，分子是多项式矩阵）1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）1）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分母多项式。结论：2）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。3）传递函数（阵）不变性。同一系统的不同状态空间描述，得到同样的传递函数（阵）。1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）关于传递函数（阵）不变性则，对应的传递函数（阵）为即同一系统其传递函数（阵）是唯一的。令或则原状态空间表达式转换成为非奇异矩阵1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）例：（多输入-多输出）已知系统的状态空间表达式为

其中

求系统的传递函数矩阵。

1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）1.6由状态空间表达式求传递函数－传递函数（阵）例：（单输入-单输出）已知系统的状态空间表达式同上其中求传递函数。解：1.6由状态空间表达式求传递函数－组合系统的TFM

在控制系统中，往往有多个子系统组成一个系统，其连接方式有串联、并联或反馈连接等。1.6由状态空间表达式求传递函数－并联系统的TFM一、并联连接＋＋

所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和。并联联结特点：有：1.6由状态空间表达式求传递函数－并联系统的TFM则组合系统的状态空间表达式为

由上可见，并联联结组合系统的状态向量是两个子系统状态向量的合成，1.6由状态空间表达式求传递函数－并联系统的TFM并联系统的传递函数阵为上述结论可推广到N个子系统的并联联结。略1.6由状态空间表达式求传递函数－串联联结的TFM二、串联联结串联联结特点：有：1.6由状态空间表达式求传递函数－串联联结的TFM组合系统的状态方程和输出方程分别为1.6由状态空间表达式求传递函数－串联联结的TFM而相应的串联联结系统的传递函数矩阵为注意次序写成矩阵形式如下自己验证一下。1.6由状态空间表达式求传递函数－串联联结的TFM例给出如下组合系统的状态空间描述1.6由状态空间表达式求传递函数－串联联结的TFM组合系统的状态空间表达式为1.6由状态空间表达式求传递函数－反馈联结系统的TFM三、具有输出反馈联结的系统－反馈联结特点：

反馈组合系统是最为重要的一类控制系统，在此只考虑输出反馈联结组合系统。1.6由状态空间表达式求传递函数－反馈联结系统的TFM组合系统的状态空间描述即1.6由状态空间表达式求传递函数－组合系统的TFM法一、直接由传递函数计算公式（见书，计算时只用F11）可得考虑SISO情形具有输出反馈系统传递函数矩阵求法法二、也可找y,u关系同理可得：特例：常数反馈－1.6由状态空间表达式求传递函数－反馈联结系统的TFM例试写出其开环、闭环系统的传递函数矩阵。1＋＋＋＋1.7离散时间系统的状态空间表达式

对离散系统有同样的实现问题，只是它是基于差分方程或脉冲传递函数的。

连续系统的状态空间表达式是根据传递函数或微分方程建立的，这一过程称为实现。在此，只讨论其状态空间描述的形式及建立方法。1.7离散时间系统的状态空间表达式线性离散系统状态空间描述，形式上类似于连续系统，一般形式为其中：：n维状态向量：r维输入/控制向量：m维输出向量1.7离散时间系统的状态空间表达式在认为两相邻采样时刻，不变的条件下，状态空间表达式也可以用模拟结构图(下图)表示。下图中T代表单位延迟器，类似于连续系统中的积分器。对定常离散系统，实现的任务就是确定一种状态空间表达式：＋＋＋＋1.7离散时间系统的状态空间表达式

离散系统的数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，以下分别讨论其与状态空间表达式的关系：差分方程化为状态空间表达式脉冲传递函数化为状态空间表达式1.7离散时间系统的状态空间表达式1.差分方程输入函数为bu(k)差分方程化为状态空间表达